云南省楚雄彝族自治州2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

楚雄州春季學(xué)期高二年級(jí)第一次月考卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章~第五章第2節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由前5項(xiàng)的共同屬性寫出一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列前5項(xiàng)均為分?jǐn)?shù)，其分子是從1開始的正奇數(shù)，分母比對(duì)應(yīng)分子多2，則第項(xiàng)的分子為，對(duì)應(yīng)的分母為，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3.已知，，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，又，所以向量的夾角為.故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A.729 B.81 C.27 D.3【答案】C【解析】【分析】由內(nèi)向外，先計(jì)算，再算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和的關(guān)系求解即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.故選：B.6.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，∴，即，∴.故選：D.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知，，，，則，由橢圓的定義知，，又，所以，故選：A8.在數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先并項(xiàng)求和得，則可得，再由裂項(xiàng)相消法求和可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某高校無(wú)人機(jī)興趣小組通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方式測(cè)得了自主研發(fā)的無(wú)人機(jī)在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的情況下自由垂直下降的距離（單位：m）與時(shí)間（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系，則（）A.在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為10m/sB.在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為12m/sC.在s時(shí)的瞬時(shí)速度為18m/sD.在s時(shí)的瞬時(shí)速度為16m/s【答案】BC【解析】【分析】應(yīng)用平均速度計(jì)算判斷A，B，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算瞬時(shí)速度判斷C，D.【詳解】在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為m/s，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋裕丛趕時(shí)瞬時(shí)速度為18m/s，故C正確，D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】舉出反例即可判斷A；利用基本不等式即可判斷B；利用消元法結(jié)合基本不等式即可判斷C；根據(jù)基本不等式在“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以有，故B正確；對(duì)于C，由，得，又，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BCD11.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數(shù)”．下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)函數(shù)與二階導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題目所給定義可確定選項(xiàng).【詳解】A.定義域?yàn)椋?，，故A正確.B.定義域?yàn)?，，，故B正確.C.定義域?yàn)椋?，，故C正確.D.定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，某實(shí)驗(yàn)小組的8名同學(xué)利用微型天平測(cè)量某膽礬化合結(jié)晶物的質(zhì)量，8名同學(xué)在測(cè)量后得到的數(shù)據(jù)（單位：克）分別為：56，64，72，76，88，67，76，80，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是__________.【答案】76【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念及運(yùn)算公式求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為，由于，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為76.故答案為：76.13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______________.【答案】【解析】【分析】直接求導(dǎo)代入得，再求出切點(diǎn)和斜率即可得到切線方程.【詳解】由題：，所以，，所以，所以，，，，所以切線方程為，即.故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則有，解得，所以的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將題干中的兩個(gè)方程含有的項(xiàng)都用基本量來(lái)表示，根據(jù)方程組可解得公差和首項(xiàng)，進(jìn)而得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)分組求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，因此，，【小?wèn)2詳解】16.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的周長(zhǎng)為．（1）求角B的大??；（2）已知，，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化邊，然后再用余弦定理求解；（2）先求，再根據(jù)正弦定理求出，最后再代入面積公式即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，由正弦定理得：，所以，所以，又所以.【小問(wèn)2詳解】易知角為銳角，所以，，由正弦定理，所以.17.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理證明可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，連接，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以直線平面.小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，，又，所以以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，，所以，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令1，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6.（1）求的方程；（2）若直線：與相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而求出方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，代入，求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線：（，）的離心率是，焦距為6，所以，，其中，解得，，所以.所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程消去得，因?yàn)橹本€：與相交于，兩點(diǎn)，所以，即且，由韋達(dá)定理得，，又，，所以，所以，將韋達(dá)定理代入上式，得，即，解得，滿足且.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值；（2）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（3）設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列具有性質(zhì)，其中，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）9【解析】【分析】（1）由，且數(shù)列具有性質(zhì)，進(jìn)而得出的值；（2）證明為常數(shù)，即可得出結(jié)論；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用，求正整數(shù)的取值范圍即可得解.【小問(wèn)1詳解】由得，根據(jù)題意，數(shù)列具有性質(zhì)，由，所以，故.【小問(wèn)2詳解】，故(常數(shù))故數(shù)列具有性質(zhì).【小問(wèn)3詳