2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分析與突破性講練專題32雙曲線及其性質(zhì)理

PAGEPAGE1專題32雙曲線及其性質(zhì)一、考綱要求：1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡潔的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡潔應(yīng)用．二、概念駕馭和解題上留意點(diǎn)：1.應(yīng)用雙曲線的定義需留意的問題,在雙曲線的定義中，要留意雙曲線上的點(diǎn)動點(diǎn)具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)焦點(diǎn)的距離之差的肯定值為一常數(shù)，且該常數(shù)必需小于兩定點(diǎn)間的距離”.若定義中的“肯定值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時需留意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用．2．在焦點(diǎn)三角形中，留意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1|·|PF2|間的聯(lián)系．3.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法1定義法：由條件判定動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程.2待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，假如不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)留意分類探討或恰當(dāng)設(shè)置簡化探討.4.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略1求雙曲線的離心率或范圍.依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.2求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.三、高考考題題例分析例1.（2024課標(biāo)卷I）已知雙曲線C：﹣y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|=（）A． B．3 C．2 D．4【答案】B【解析】：雙曲線C：﹣y2=1的漸近線方程為：y=，漸近線的夾角為：60°，不妨設(shè)過F（2，0）的直線為：y=，則：解得M（，），解得：N（），則|MN|==3．故選：B．例2.（2024課標(biāo)卷II）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【答案】A例3.（2024課標(biāo)卷III）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】：雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y=x，∴點(diǎn)F2到漸近線的距離d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故選：C．雙曲線及其性質(zhì)練習(xí)題選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a＝()A．2B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(5),2)D．1【答案】D【解析】依題意，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，則a2＝1，a＝1.2．若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2eq\r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D．eq\f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝14．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,10)－eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,10)＝1【答案】A【解析】已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故選A．5．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線x＋2y－1＝0垂直，則雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(3)＋1,2) D．eq\r(3)＋1【答案】B【解析】由已知得eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\f(5a2,a2))＝eq\r(5)，故選B.6已知雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，則△F1PF2的面積為()A．48 B．24C．12 D．6【答案】B7.若雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是()A．8 B．9C．10 D．12【答案】B【解析】由題意知，雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時取等號．所以|PF|＋|PA|的最小值為9.8．已知點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0)，動點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)【答案】B9.已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)【答案】A【解析】由e＝eq\f(c,a)＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝eq\f(4a2＋2a2－4a2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4).10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別為10和4，且離心率為2，則該雙曲線的虛軸長為()A．3 B．6C．3eq\r(3) D．6eq\r(3)【答案】D【解析】由題意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因為雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以c＝6，則b＝eq\r(c2－a2)＝3eq\r(3)，所以該雙曲線的虛軸長為2b＝6eq\r(3)，故選D.11.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－2eq\r(2))2＋y2＝eq\f(8,3)相切，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\r(3) D．3【答案】A12．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為eq\f(\r(13)bc,3)，則雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(5),3)C．eq\f(\r(13),2) D．eq\f(\r(13),3)【答案】D【解析】由題意可求得|AB|＝eq\f(2bc,a)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\f(2bc,a)×c＝eq\f(\r(13)bc,3)，整理得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).因此e＝eq\f(\r(13),3).二、填空題13．過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【答案】4eq\r(3)【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為x2－eq\f(y2,3)＝0，將x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝0，得y2＝12，y＝±2eq\r(3)，∴|AB|＝4eq\r(3).14．設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為________．【答案】10【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝eq\f(2b2,a)＋8＝10.15．雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(5,4)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則C的實軸長等于________.【答案】8【解析】因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝eq\f(5,4)a，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(a,b)x，即ax－by＝0，焦點(diǎn)為(0，c)，所以eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝3，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(\f(25,16)a2－9)，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．【答案】y＝±eq\f(\r(2),2)x三、解答題17．已知橢圓D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．【答案】eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.【解析】橢圓D的兩個焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴雙曲線G的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.18．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0.【答案】(1)x2－y2＝6；(2)見解析【解析】(1)∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴雙曲線的方程為x2－y2＝6.證法二：由證法一知eq\o(MF,\s\up6(→))1＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵點(diǎn)M在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0.19．已知離心率為eq\f(4,5)的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2eq\r(34).(1)求橢圓及雙曲線的方程．(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在其次象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連接BP交橢圓于點(diǎn)M，連接PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，求