人教版2025年八年級數學下冊章節(jié)重點梳理 第18章 平行四邊形（4個知識點+11類題型突破）

第十八章平行四邊形0101思維導圖0202知識速記【知識點01】平行四邊形1.平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質：（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）（2）一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形（3）對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（4）兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形【知識點02】矩形1.矩形的概念和性質有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時行不行，它除了具有平行四邊形的一切性質外，還具有的性質：矩形的對角線相等，四個角都是直角。2.矩形的判定（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）三個角是直角的四邊形是矩形（3）對角線相等的平行四邊形是矩形【知識點03】菱形1.菱形的概念與性質有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質外，還具有一些特殊的性質：菱形的四條邊相等；菱形的對角線互相垂直。2.菱形的判定（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）（2）四邊相等的四邊形是菱形（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形【知識點04】正方形1.正方形的概念、性質有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質。2.正方形的判定（1）有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形（3）有一個角是直角的菱形是正方形0303題型歸納題型一利用平行四邊形的性質求解例題：（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？计谀┰谥校?，則的度數為度．鞏固訓練1．（2023上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，在中，，對角線與相交于點O，，則的周長為.2．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，的平分線AE交DC于點E，連接BE，若，則的度數為．3．（2024上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為.題型二利用平行四邊形的性質與判定綜合例題：（2023下·廣東深圳·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，E、F是對角線上的兩點．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數．鞏固訓練1．（2023下·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，中，E、F分別是、上的點，且，連接交于O．(1)連接、，判斷四邊形的形狀并說明理由．(2)若，，的面積為2，求的面積．(3)若，，，延長交的延長線于G，當時，則的長為______．2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點，作交射線于點，交于點．若，請?zhí)骄烤€段，，之間的數量關系．題型三矩形的性質例題：（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）下列命題正確的是（）A．矩形的四個角都相等 B．矩形的四條邊都相等C．矩形的對角線互相垂直 D．矩形的對角線平分內角鞏固訓練1.（23-24八年級下·河南濮陽·期中）矩形不一定具有的性質是（

）A．對角線垂直 B．四個角都是直角 C．是軸對稱圖形 D．對角線相等2.（2024·河南鶴壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性質是（

）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線相等 D．對角線互相平分題型四利用矩形的性質求解例題：（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在矩形中，點是延長線上一點，連接，若則的度數為（

）A． B． C． D．鞏固訓練1.（2024·四川涼山·二模）如圖，矩形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接．若，則的度數是（

）A． B． C． D．2.（23-24八年級下·湖北襄陽·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點，分別是的中點，，，則線段的長為．3.（23-24七年級下·上海金山·期中）如圖，長方形中，點E、F分別為邊上的任意點，、的面積分別為15和25，那么四邊形的面積為．題型五菱形的性質例題：（2024八年級下·全國·專題練習）下列選項中，菱形不具有的性質是（

）A．四邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．每條對角線平分一組對角鞏固訓練1.（23-24八年級下·河南商丘·期中）關于菱形的性質，下列說法不正確的是（

）A．四條邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線相等2.（2024八年級下·全國·專題練習）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直題型六利用菱形的性質求解例題：（2024·陜西西安·三模）如圖，點E是菱形的對角線上一點，連接，若，，則的度數為．鞏固訓練1.（2024·重慶九龍坡·二模）如圖，在菱形中，，依次連接各邊中點，得到四邊形，則°．2.（2024·四川成都·二模）如圖，在菱形中，，分別是，上的點，且，連接，．若，，則的大小為．3.（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，菱形中，，點E在邊上，點F在邊上，且，若，則．4.（23-24八年級下·河北承德·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點，，分別是邊，的中點，連接．若，則(用含的代數式表示)；若，，則菱形的面積為5.（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，頂點都在第一象限，若，則頂點的坐標為．題型七正方形的性質例題：（23-24八年級下·河南周口·期中）下列關于正方形的說法錯誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個角都是直角B．正方形有四條對稱軸C．正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離不一定相等鞏固訓練1.（23-24八年級下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對稱圖形C．對角線互相垂直且互相平分 D．對角線相等且互相平分2.（23-24八年級下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．對角線平分一組對角 B．對角線相等C．對角線互相垂直平分 D．四條邊相等3.（23-24八年級下·江蘇無錫·階段練習）正方形具有而矩形不一定具有的性質是（

）A．對角線互相垂直B．對角線互相平分C．對角線相等D．四個角都是直角題型八利用正方形的性質求解例題：（23-24八年級下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內側，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．鞏固訓練1.（23-24八年級下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點，則的度數為（

）A． B． C． D．2.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．3.（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在正方形中，點在上，，，垂足分別為、，若，則．4.（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，則陰影部分的面積為.5.（23-24九年級上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．題型九矩形的性質與判定的綜合問題例題：（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形中，，過點作交的延長線于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．鞏固訓練1.（2024·云南德宏·一模）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，是的中點，連接并延長至點，使，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求菱形的面積．2.（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，是的角平分線，是的外角的平分線，過點C作，垂足為E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．3.（2024八年級下·浙江·專題練習）在中，，為上的兩點，且，．(1)求證：；(2)求證：是矩形；(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．題型十利用菱形的判定與性質綜合性問題例題：如圖，在等腰中，，平分，過點作交的延長線于，連接，過點作交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．鞏固訓練1.如圖，在中，，平分，交于點，過點作交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為，，求的長度．2.已知，四邊形是菱形．(1)若，則菱形的周長______；(2)如圖①，、是對角線，則與的位置關系是_______．(3)如圖②，點、分別在、上，且，，，點、分別在、上，與相交于點．求證：四邊形是菱形．題型十一正方形的性質與判定的綜合問題例題：（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點A落在上的點處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點E的直線折疊，點C恰好落在上的點處，得到折痕，交于點M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．鞏固訓練1.（23-24九年級下·山東淄博·期中）如圖，中，，、外角平分線交于點，過點分別作直線，的垂線，，為垂足．(1)________°（直接寫出結果不寫解答過程）(2)求證：四邊形是正方形．若，求的面積．(3)如圖（），在中，，高，，則的長度是________（直接寫出結果不寫解答過程）．2.（23-24八年級下·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，點P為射線上的一個動點，延長到點E，使，連接，以為邊作平行四邊形，直線和直線相交于點M．(1)如圖1，點P在邊上，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若點P為的中點，求點F到邊的距離；(3)若，求的長．3.（23-24八年級下·四川廣安·期中）問題情境：如圖①，點E為正方形內一點，，且，延長交于點G，連接．猜想證明：（1）如圖①，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖②，若，請猜想線段與的數量關系，并加以證明．解決問題：（3）如圖①，若，請直接寫出的長．

第十八章平行四邊形0101思維導圖0202知識速記【知識點01】平行四邊形1.平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質：（1）平行四邊形的對邊相等；（2）平行四邊形的對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）（2）一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形（3）對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（4）兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形【知識點02】矩形1.矩形的概念和性質有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時行不行，它除了具有平行四邊形的一切性質外，還具有的性質：矩形的對角線相等，四個角都是直角。2.矩形的判定（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）三個角是直角的四邊形是矩形（3）對角線相等的平行四邊形是矩形【知識點03】菱形1.菱形的概念與性質有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質外，還具有一些特殊的性質：菱形的四條邊相等；菱形的對角線互相垂直。2.菱形的判定（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）（2）四邊相等的四邊形是菱形（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形【知識點04】正方形1.正方形的概念、性質有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質。2.正方形的判定（1）有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形（3）有一個角是直角的菱形是正方形0303題型歸納題型一利用平行四邊形的性質求解例題：（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考期末）在中，若，則的度數為度．【答案】65【分析】本題考查平行四邊形的性質，根據平行四邊形鄰角互補求解即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得，故答案為：．鞏固訓練1．（2023上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，在中，，對角線與相交于點O，，則的周長為.【答案】22【分析】本題考查平行四邊形的性質以及三角形周長等知識，解題的關鍵是記住平行四邊形的對角線互相平分．根據平行四邊形對角線互相平分求出的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴的周長．故答案為：22．2．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，的平分線AE交DC于點E，連接BE，若，則的度數為．【答案】【解析】略3．（2024上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊；熟練掌握平行四邊形的性質，得出是解題的關鍵．根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，，；根據兩直線平行，內錯角相等可得；根據從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線可得；推得，根據等角對等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．題型二利用平行四邊形的性質與判定綜合例題：（2023下·廣東深圳·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，E、F是對角線上的兩點．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接交于O，根據，得，，繼可證得，即可由平行四邊形的判定定理得出結論．（2）先由，，得出，，再證，得，從而證得四邊形是平行四邊形，即可根據平行四邊形的性質得．【詳解】（1）證明：連接交于O，

∵，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質與判定，全等三角形的判定與性質．熟練掌握平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023下·吉林長春·八年級校考期中）如圖，中，E、F分別是、上的點，且，連接交于O．(1)連接、，判斷四邊形的形狀并說明理由．(2)若，，的面積為2，求的面積．(3)若，，，延長交的延長線于G，當時，則的長為______．【答案】(1)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(2)；(3)4；【分析】（1）分別證明，，即可；（2）利用平行四邊形的性質，由的面積為2，得到，再利用三角形同底等高的性質，得到的面積，再求出，則可知的面積為；（3）由是等腰直角三角形，得出，因為，得出，所以與都是等腰直角三角形，從而依次求得、、的長，則可求；【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形；證明：由題意，在中，，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的面積為．（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴，是等腰直角三角形，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質與判定，以及同底等高類的三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質，證明等腰直角三角形是解決問題的關鍵．2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點，作交射線于點，交于點．若，請?zhí)骄烤€段，，之間的數量關系．【答案】(1)見解析(2)3(3)或【詳解】解：（1）證明：，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，．平分，，，．如圖①，作交的延長線于點，．圖①，，，，．（3）如圖②、圖③，作交射線于點．當點在線段上時，如圖②．圖②，，，．四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；當點在的延長線上時，如圖③．圖③同理可得，，，即．綜上所述，線段，，之間的數量關系為或題型三矩形的性質例題：（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）下列命題正確的是（）A．矩形的四個角都相等 B．矩形的四條邊都相等C．矩形的對角線互相垂直 D．矩形的對角線平分內角【答案】A【分析】本題考查真假命題的判斷、矩形的性質，根據矩形的角、邊、對角線的特點逐項判斷即可．【詳解】解：A、矩形的四個角都相等，正確，符合題意；B、矩形的四條邊不相等，故原命題錯誤，不符合題意；C、矩形的對角線相等但不垂直，故原命題錯誤，不符合題意；D、矩形的對角線相等但不平分內角，故原命題錯誤，不符合題意；故選A．鞏固訓練1.（23-24八年級下·河南濮陽·期中）矩形不一定具有的性質是（

）A．對角線垂直 B．四個角都是直角 C．是軸對稱圖形 D．對角線相等【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．根據矩形的性質：對邊相等且平行，四個角都是直角，對角線平分且相等，矩形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，根據性質判斷即可．【詳解】解：矩形不一定具有的性質是對角線垂直．故選：B．2.（2024·河南鶴壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性質是（

）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線相等 D．對角線互相平分【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質和菱形的性質，能熟記知識點是解此題的關鍵．根據矩形的性質和菱形的性質即可解決問題．【詳解】解：矩形的性質是：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；菱形的性質是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，所以矩形具有而菱形不具有的性質是對角線相等，故選：．題型四利用矩形的性質求解例題：（23-24八年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，在矩形中，點是延長線上一點，連接，若則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，主要利用了矩形的對角線相等，等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題的關鍵．根據等邊對等角的性質可得，再求解即可．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是矩形，，，，，，故選：D．鞏固訓練1.（2024·四川涼山·二模）如圖，矩形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接．若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，根據矩形的性質可得對角線相等，進而根據已知可得垂直平分，根據等邊對等角得出，進而可得，根據即可求解．【詳解】解：∵矩形的對角線相交于點，∴，，又∵∴，∴∴∵，∴∴又∵∴∴∴，故選：C．2.（23-24八年級下·湖北襄陽·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點，分別是的中點，，，則線段的長為．【答案】6.5//【分析】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、三角形中位線等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．連接，利用勾股定理解得的值，然后根據三角形中位線的性質求解即可．【詳解】解：連接，如下圖，∵四邊形是矩形，，，∴，，∴在中，，∵分別是的中點，∴．故答案為：6.5．3.（23-24七年級下·上海金山·期中）如圖，長方形中，點E、F分別為邊上的任意點，、的面積分別為15和25，那么四邊形的面積為．【答案】40【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是能正確作出輔助線，連接，可得，再根據面積的和差可得，同理可得，即可解答【詳解】解：連接，

，又，，同理

，又，，，故答案為：40題型五菱形的性質例題：（2024八年級下·全國·專題練習）下列選項中，菱形不具有的性質是（

）A．四邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．每條對角線平分一組對角【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是本題的關鍵．根據菱形的性質可判斷．【詳解】解：∵菱形四邊相等、對角線互相垂直、每條對角線平分一組對角，∴A、B、D選項不符合題意，∵菱形的對角線不一定相等，∴菱形不具有的性質是對角線相等，∴選項C符合題意，故選：C鞏固訓練1.（23-24八年級下·河南商丘·期中）關于菱形的性質，下列說法不正確的是（

）A．四條邊相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線相等【答案】D【分析】根據菱形的性質判斷即可．此題主要考查對菱形的性質及判定的理解，關鍵是根據菱形的性質解答．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，正確不符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，正確不符合題意；C、菱形的對角線互相平分，正確不符合題意；D、菱形的對角線不一定相等，錯誤符合題意；故選：D．2.（2024八年級下·全國·專題練習）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質和菱形的性質可求解．本題考查了菱形的性質，平行四邊形的性質，掌握菱形的性質和平行四邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、不正確，菱形和平行四邊形都有兩組對邊都分別平行；B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質正確；C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質；D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質．故選：D．題型六利用菱形的性質求解例題：（2024·陜西西安·三模）如圖，點E是菱形的對角線上一點，連接，若，，則的度數為．【答案】45【分析】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，掌握菱形的四邊相等是解題的關鍵．由等腰三角形的性質可求，由菱形的性質可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，四邊形是菱形，，，，故答案為：45．鞏固訓練1.（2024·重慶九龍坡·二模）如圖，在菱形中，，依次連接各邊中點，得到四邊形，則°．【答案】35【分析】本題考查了菱形的性質和三角形中位線的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．連接，先根據菱形的性質得出，再根據三角形中位線性質得出，最后根據平行線的性質即可得出答案．【詳解】解：連接四邊形為菱形，F(xiàn)、G分別為和的中點故答案為：．2.（2024·四川成都·二模）如圖，在菱形中，，分別是，上的點，且，連接，．若，，則的大小為．【答案】/40度【分析】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是熟記菱形的性質．根據菱形的性質和全等三角形的判定方法“”即可證明，再得到，因為，故．【詳解】∵四邊形是菱形，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為．3.（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，菱形中，，點E在邊上，點F在邊上，且，若，則．【答案】【分析】此題考查菱形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，關鍵是根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質得出解答．延長，相交于點，根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質得出，進而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：延長，相交于點，作于點，四邊形是菱形，，，，在與中，，，，，，，，，設，，，，，，，，，即，解得：，，故答案為：．4.（23-24八年級下·河北承德·期中）如圖，菱形的對角線，相交于點，，分別是邊，的中點，連接．若，則(用含的代數式表示)；若，，則菱形的面積為【答案】【分析】本題考查了三角形的中線的性質，三角形的中位線的性質和菱形的面積公式，連接，根據三角形的中線的性質可得；根據是的中位線，根據三角形中位線定理求的的長，然后根據菱形的面積公式求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，、是和的中點，∴∵、是和的中點，即是的中位線，∴∴菱形的面積為故答案為：，．5.（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，頂點都在第一象限，若，則頂點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質、含角的直角三角形的性質、坐標與圖形的性質等知識．過點作于，由菱形的性質和直角三角形的性質可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，四邊形是菱形，點，，，，，，，，，，點坐標為，故答案為：．題型七正方形的性質例題：（23-24八年級下·河南周口·期中）下列關于正方形的說法錯誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個角都是直角B．正方形有四條對稱軸C．正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離不一定相等【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質，解題的關鍵是了解正方形的性質．利用正方形的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，故A正確，不符合題意；B：正方形有四條對稱軸，故B正確，不符合題意；C：正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，故C正確，不符合題意；D：由于正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，所以正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離一定相等，故D錯誤，符合題意；鞏固訓練1.（23-24八年級下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對稱圖形C．對角線互相垂直且互相平分 D．對角線相等且互相平分【答案】B【分析】本題考查的知識點是菱形、矩形、正方形的性質，解題關鍵是熟練掌握菱形、矩形、正方形的性質．根據菱形、矩形、正方形性質對選項進行逐一判斷即可求解．【詳解】解：根據菱形、矩形、正方形的性質可得：選項，菱形、正方形四條邊都相等，矩形四條邊不都相等，不符合題意，選項錯誤；選項，菱形、矩形、正方形都是軸對稱圖形，符合題意，選項正確；選項，菱形、正方形對角線互相垂直且互相平分，矩形對角線互相平分但不互相垂直，不符合題意，選項錯誤；選項，菱形對角線互相平分但不相等，矩形、正方形對角線相等且互相平分，不符合題意，選項錯誤．故選：．2.（23-24八年級下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．對角線平分一組對角 B．對角線相等C．對角線互相垂直平分 D．四條邊相等【答案】B【分析】本題考查了菱形與正方形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握菱形與正方形的性質．要熟練掌握菱形對角線相互垂直平分與正方形對角線相互垂直平分相等的性質，根據各自性質進行比較即可解答．【詳解】解：A．正方形和菱形的對角線都平分一組對角，故本選項不符合題意；B．正方形的對角線相等，菱形的對角線不一定相等，故本選項符合題意；C．正方形和菱形的對角線都互相垂直，故本選項不符合題意；D．正方形和菱形都是四條邊相等，故本選項不符合題意；故選B．3.（23-24八年級下·江蘇無錫·階段練習）正方形具有而矩形不一定具有的性質是（

）A．對角線互相垂直B．對角線互相平分C．對角線相等D．四個角都是直角【答案】A【分析】本題主要考查了矩形、正方形的性質，熟知矩形、正方形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：矩形具有的性質為對角線互相平分，對角線相等，四個角都是直角，正方形具有的性質為對角線互相平分且垂直，對角線相等，四個角都是直角，故選：A．題型八利用正方形的性質求解例題：（23-24八年級下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內側，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，正方形的性質，得到，等邊三角形的性質，得到，進而得到，等邊對等角，求出的度數即可．【詳解】解：∵正方形，∴，∵等邊三角形，∴，∴，，∴；故選C．鞏固訓練1.（23-24八年級下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，先由正方形的性質得到，則，根據等邊對等角得到，設，則，則可推出，，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，，∴，故選：B．2.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正方形的對角線平分一組對角求出，根據菱形的對角線平分一組對角可得，計算即可得解．本題主要考查了正方形的對角線平分一組對角，菱形的對角線平分一組對角的性質，熟記性質是解題的關鍵．【詳解】解：是正方形的對角線，，是菱形的對角線，．故選：B．3.（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在正方形中，點在上，，，垂足分別為、，若，則．【答案】【分析】此題考查了正方形的性質，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質，由正方形，以及對角線的長，得到對角線互相垂直，等于的一半，根據三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形為矩形，進而得到矩形的對邊相等，同時得到三角形為等腰直角三角形，由等量代換得到，求出即可．【詳解】解：正方形，，，，，，，，，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，，，．故答案為：．4.（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，則陰影部分的面積為.【答案】【分析】本題考查了正方形的面積和陰影部分的面積，根據圖形面積之間的關系即可求解．【詳解】解：，即，解得：，故答案為：．5.（23-24九年級上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．【答案】【分析】本題考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定等知識，根據正方形的性質得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．題型九矩形的性質與判定的綜合問題例題：（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形中，，過點作交的延長線于點，連接交于點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題重點考查平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識，證明及是等邊三角形是解題的關鍵．（1）由，，得，由四邊形是平行四邊形，點在的延長線上，得，則四邊形是平行四邊形，即可由，根據矩形的定義證明四邊形是矩形；（2）由平行四邊形的性質和矩形的性質得，，，因為，所以是等邊三角形，則，，所以，即可根據勾股定理求得．【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，點在的延長線上，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．（2）解：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，的長是．鞏固訓練1.（2024·云南德宏·一模）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，是的中點，連接并延長至點，使，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據菱形的性質得到，然后根據矩形的判定可證得結論；（2）根據矩形的性質求得，再根據菱形的性質和勾股定理求出對角線的長，再根據菱形的面積等于其對角線乘積的一半求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的中點，四邊形是平行四邊形，在菱形中，四邊形是矩形（2）解：，在菱形中，是的中點是的中點是的中位線在菱形中，，在中，，根據勾股定理得在菱形中，，．【點睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質、含的直角三角形的性質、勾股定理，熟練掌握菱形的性質和矩形的判定與性質是解答的關鍵．2.（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，是的角平分線，是的外角的平分線，過點C作，垂足為E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)矩形的面積為2．【分析】此題考查了矩形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識．（1）證明，根據矩形的判定即可得到結論；（2）證明是等腰直角三角形，再根據矩形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：∵，是的平分線，∴，∴，∵是外角的平分線，∴．∴，∵，∴．∴，∴四邊形為矩形；（2）解：∵，是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴矩形的面積為．3.（2024八年級下·浙江·專題練習）在中，，為上的兩點，且，．(1)求證：；(2)求證：是矩形；(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題考查了矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線定義，熟練掌握矩形的判定和性質定理是解題的關鍵．（1）首先根據平行四邊形的性質得到，然后結合已知條件利用判定兩三角形全等即可；（2）根據全等三角形的性質得到，從而判定矩形；（3）根據矩形的性質和角平分線的定義以及矩形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，；（2）證明：，，在平行四邊形中，，，，四邊形是矩形；（3）解：四邊形是矩形，，是的平分線，，，，，，，四邊形的面積．題型十利用菱形的判定與性質綜合性問題例題：如圖，在等腰中，，平分，過點作交的延長線于，連接，過點作交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)四邊形是菱形，見解析(2)的長為．【分析】本題考查了菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．（1）先利用等腰三角形的三線合一性質可得，再利用平行線的性質可得，，從而利用證明，進而可得，再利用對角線互相平分線的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，然后利用菱形的定義可得四邊形是菱形，即可解答；（2）先利用角平分線的定義可得，再利用菱形的性質可得，從而可得是等邊三角形，進而可得，然后利用垂直定義可得，從而可得，進而可得，再利用勾股定理進行計算，即可解答．【詳解】（1）四邊形是菱形，理由：，平分，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）平分，，，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，，的長為．鞏固訓練1.如圖，在中，，平分，交于點，過點作交于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為，，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）先證明四邊形為平行四邊形，再證明，得到，即可得到四邊形是菱形；（）連接交于點，由菱形的性質可得，，，進而由得，又由菱形的周長得，由直角三角形的性質可得，利用勾股定理得，即可求出的長度；本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的應用，平行線的性質，三角形內角和定理，直角三角形的性質，勾股定理，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：連接交于點，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∵菱形的周長為，∴，在中，，∴，由勾股定理可得，，∴．2.已知，四邊形是菱形．(1)若，則菱形的周長______；(2)如圖①，、是對角線，則與的位置關系是_______．(3)如圖②，點、分別在、上，且，，，點、分別在、上，與相交于點．求證：四邊形是菱形．【答案】(1)20(2)垂直(3)見解析【分析】此題考查了菱形的性質與判定、平行四邊形的判定等知識，證得四邊形是平行四邊形與是解題的關鍵．（1）根據菱形的性質即可得，即可得到結論；（2）根據菱形的性質即可得到結論；（3）由，，可證得四邊形是平行四邊形，又由四邊形是菱形，，可得，即可證得四邊形是菱形．【詳解】（1）解：（1）∵四邊形是菱形，∴，∴菱形的周長．故答案為：20；（2）∵四邊形是菱形，、是對角線，∴，∴與的位置關系是垂直．故答案為：垂直；（3）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形．題型十一正方形的性質與判定的綜合問題例題：（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點A落在上的點處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點E的直線折疊，點C恰好落在上的點處，得到折痕，交于點M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)的面積是【分析】（1）由折疊性質得，，，再根據平行線的性質和等腰三角形的判定得到四邊形是菱形，進而結合內角為直角條件得四邊形為正方形；（2）連接，證明，得，從而有，設，則，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面積．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在上的點處，得到折痕，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，

∵四邊形是矩形，∴，，由折疊知，，，∴，，在和中，∴，∴，∴，設，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，，