2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步第3講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系分層演練文

PAGEPAGE1第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有()A．4個 B.3個C．2個 D．1個解析：選A.首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．2．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．3．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．4．(2024·高考全國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：選C.如圖，連接BE，因為AB∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.5．下列命題中，真命題的個數(shù)為()①假如兩個平面有三個不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A．1 B.2C．3 D．4解析：選B.依據(jù)公理2，可推斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線不肯定共面(如墻角)，故③是假命題；依據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.6．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b肯定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(寫出全部正確命題的序號)．解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯．答案：①7．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)8．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有________條．解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．答案：59．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1、H、O三點(diǎn)共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1、H、O三點(diǎn)共線．10.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.1．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面解析：選B.在空間中，垂直于同始終線的兩條直線不肯定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不肯定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點(diǎn)的三條直線不肯定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯．2．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論肯定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定解析：選D.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以解除選項A和C.若l4＝DC1，也滿意條件，可以解除選項B.故選D.3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線()A．不存在 B.有且只有兩條C．有且只有三條 D．有多數(shù)條解析：選D.在EF上隨意取一點(diǎn)M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與A1B1、EF、BC分別有交點(diǎn)P、M、N，如圖，故有多數(shù)條直線與直線A1B1、EF、BC都相交．4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則下列說法正確的是________．①EF與GH平行；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M肯定在直線AC上．解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因為EH＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因為點(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上．同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，又AC是這兩個平面的交線，所以點(diǎn)M肯定在直線AC上．答案：④5.如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AD，BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AD.又BCeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AD，故GHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)FA，G是FA的中點(diǎn)知，BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))GF，所以EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．6．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為