2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式推理與證明第5節(jié)綜合法與分析法反證法教學(xué)案文含解析北師大版VIP

PAGE1-第五節(jié)綜合法與分析法、反證法[考綱傳真]1.了解干脆證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思索過程和特點(diǎn).2.了解反證法的思索過程和特點(diǎn)．1．綜合法從命題的條件動(dòng)身，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法．2．分析法從求證的結(jié)論動(dòng)身，一步一步地探究保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱為分析法．3．反證法(1)定義：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相沖突，或與命題中的已知條件相沖突，或與假定相沖突，從而說明命題結(jié)論的反面不行能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立．這種證明方法叫作反證法．(2)反證法的證明步驟是：①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出沖突；③否定假設(shè)，確定結(jié)論．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?，逐步找尋已知的必要條件． ()(2)分析法是從要證明的結(jié)論動(dòng)身，逐步找尋使結(jié)論成立的充要條件． ()(3)用反證法證明時(shí)，推出的沖突不能與假設(shè)沖突． ()(4)在解決問題時(shí)，經(jīng)常用分析法找尋解題的思路與方法，再用綜合法呈現(xiàn)解決問題的過程． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0D[a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.]3．用反證法證明命題：“已知a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根A[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”，故選A．]4．已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則eq\f(b,a)與eq\f(b＋x,a＋x)的大小關(guān)系是________．eq\f(b＋x,a＋x)>eq\f(b,a)[∵eq\f(b＋x,a＋x)－eq\f(b,a)＝eq\f(xa－b,a＋xa)>0，∴eq\f(b＋x,a＋x)>eq\f(b,a).]5．(教材改編)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形態(tài)為__________三角形．等邊[由題意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3)，∴△ABC為等邊三角形．]綜合法1．已知m＞1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)，b大小不定B[∵a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1)).而eq\r(m＋1)＋eq\r(m)＞eq\r(m)＋eq\r(m－1)＞0(m＞1)，∴eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))＜eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a＜b.]2．已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a＞0，且a≠1)．(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對(duì)稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．[證明](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1－x，－1－y)．由已知y＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))，則－1－y＝－1＋eq\f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，f(1－x)＝－eq\f(\r(a),a1－x＋\r(a))＝－eq\f(\r(a),\f(a,ax)＋\r(a))＝－eq\f(\r(a)·ax,a＋\r(a)·ax)＝－eq\f(ax,ax＋\r(a))，∴－1－y＝f(1－x)，即函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))對(duì)稱．(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.[規(guī)律方法]綜合法證題的思路分析法1．若a，b∈(1，＋∞)，證明eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab).[證明]要證eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab)，只需證(eq\r(a＋b))2＜(eq\r(1＋ab))2，只需證a＋b－1－ab＜0，即證(a－1)(1－b)＜0.因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[證明]要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得，b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[規(guī)律方法]分析法的證題思路(1)分析法的證題思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些推斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．(2)證明較困難的問題時(shí)，可以采納兩頭湊的方法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證．反證法?考法1證明否定性命題【例1】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．[解](1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn.則Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，兩式相減得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))(2)證明：假設(shè)數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，則(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2，即a1a3＋a1＋a3＋1＝aeq\o\al(2,2)＋2a2＋1，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，公比為q，所以a1a3＝aeq\o\al(2,2)，a2＝a1q，a3＝a1q2，所以a1(1＋q2)＝2a1q.即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1，這與已知q≠1沖突，所以假設(shè)不成立，故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．?考法2證明“至多”“至少”命題【例2】已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．[證明]假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根．則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三個(gè)式子相加得：a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.所以a＝b＝c這與a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)相沖突．因此假設(shè)不成立，故三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．[規(guī)律方法]用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(diǎn)(1)必需先否定結(jié)論，即確定結(jié)論的反面；(2)必需從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必需依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的沖突可能多種多樣，有的與已知沖突，有的與假設(shè)沖突，有的與已知事實(shí)沖突等，但是推導(dǎo)出的沖突必需是明顯的．設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不行能同