方法-高中數(shù)學(xué)方法、技能

目錄

集合與簡易遂聘

1.集合元素的三要素

2.遇到空集你該注意什么？

3.計算子集個教

4.集合的運算性質(zhì)

5.識別集合的方法

6.集合的幾何形式

7復(fù)合命題真假的判斷

8四種命題及其真假

9充要條件的判別及應(yīng)用

10一元一次不等式及斛法

11一元二次方程的實教斛

12二次方程根的分布

13三個二次問題

的教

1映射的概念

2.函教的柩I念

3.函教的三要素

4國數(shù)的定義域

5的教的值域

6分段的教

7的教解析式

8反函教

9國教的奇偶性

10國數(shù)的單調(diào)性

11函數(shù)的對稱性

12函數(shù)的圖像變換

13的教周期性

14指教式、對教式

15指教值、對數(shù)值比較大小

16國數(shù)應(yīng)用

17抽象的教

教列

1教列的概念

2等差教列概念

3等差數(shù)列的性質(zhì)

4等比數(shù)列的概念

5等比數(shù)列的性質(zhì)

6教列通項的求法

7教列求和的常用方法

8“分期付款”、“森林木材”應(yīng)用題斛

三角的教

1角的概念推廣

2象限角

3終邊相同的角

4瓠公^式?

5任意角的三角函數(shù)定義

6三角函數(shù)線

7特殊角的三角函教值

8同角三角四教關(guān)系式

9三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

10三角的教和差角公式

11三角為教式的化簡、求值、證明

12輔助角公式的應(yīng)用

13正、余力函教的圖像

14正、余孩函教的性質(zhì)

15正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)

16正切國教的圖像和性質(zhì)

17三角形中的公式

18反三角的教

19求角的方法

向量

1向量的概,念

2向量的表示

3平面向量基本定理

4賣數(shù)與向量相乘

5向量的數(shù)量積

6向量的運算

7向量的運算律

8向量平行的條件

9向量垂直的條件

10線段的定比分點

11平移公會

12向量的,帝用結(jié)論

13向量的應(yīng)用

不等式

1不等式性質(zhì)

2不等式的大＜1、比較

3用不等式求最值

4不等式常用結(jié)論

5不等式的證明

6一元嵩次不等式

7分式?不等式?

8絕對值不等式

9告參不等式

10絕對值不等式性質(zhì)

11不等式恒成立

直線和圓

1直線傾斜角和斜率

2直線方程

3直線方程設(shè)置技巧

4點到直線距離和平行直線距寓

5兩直線住置關(guān)東

6利角和夾角公式

7對稱問題

8線性規(guī)劃問題

9圓的方程

10直線和圓的住置關(guān)系

11圓與圓的住置關(guān)系

12圓的切線與弦長

圓雒曲線

1圓錐曲線的定義

2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3圓錐曲線焦點住置判斷

4圓錐曲線的幾何性質(zhì)

5圓錐曲線和直線的住置關(guān)系

6圓錐曲線的焦半徑

7焦點三角形

8拋物線與焦點令

9弦長公式

10中點弦問題

11圓錐曲線中的相關(guān)結(jié)論

12軌跡方程

13斛析幾何與向量

點、線、面住置關(guān)系

1公理與推企

2直觀圖畫法

3空間直線住置關(guān)系

4異面直線的判定

5異面直線所成的角

6異面直線的距離

7兩直線平行的判定

8兩直線垂直的判定

9直線與平面平行的判定

10直線與平面垂直的判定

11直線與平面所成的角

12兩平面平行的判定

13二面角

14兩平面垂直的判定

15直線與平面的住置關(guān)劣

16三垂線定理及其逆定理

17二面角

18空間距離

19多面體

20棱柱

21平行六面體

22棱錐的性質(zhì)

23側(cè)面積

24體積

25正多面體

26球的載j面的性質(zhì)

27球的體積與表面積

28立體幾何問題求解策略

29立體幾何中的相關(guān)結(jié)論

排列、組合、二項式定理

1排列數(shù)與組合教

2求斛排列組合問題的依據(jù)

3求斛排列組合問題的方法

4分組問題求解

5二項式定理

6二項式條數(shù)的性質(zhì)

7賦值法求斛

8系教最大項求法

9二項式定理的應(yīng)用

概率

1隧機事件的概率

2等可能事件的概率

3互斥事件的概率

4對立事件的概率

5獨立事件重復(fù)試驗

抽樣方法

1抽樣方法

2總體分布的估計

3樣本平均教

4樣本方差

導(dǎo)教

1導(dǎo)教背景

2導(dǎo)教概念

3用定義求導(dǎo)教

4導(dǎo)教的幾何意義

5導(dǎo)數(shù)的運算法則

6多項式函數(shù)的單調(diào)性

7函數(shù)的極值

8國教的最值

9導(dǎo)教的應(yīng)用

10函教最值的求法

11不等等證明

12在教列上的應(yīng)用

13在解析幾何上的應(yīng)用

14在實際問題中的應(yīng)用

集合

1.集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關(guān)集合

問題時，要注意集合中的元素不能重復(fù)。

舉例如下：

(1)設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q=S+Ra€F力€0),若

尸={0,2,5),0={1,2,6},則p+Q中的元素有個。(答：8)

(2)設(shè)0={(7)1六民"&,j=((”)|2”〉+附>0),

E={(")M+yfM0),那么點尸(23)CAnG*B)的充要條件是(答:

m>-1,?<5).

【提示】作出點P(2,3),上下移動直線y=2x,y=-x,使其符合條件，確

定滿足條件的孫n的范圍

(3)非空集合Q2345),且滿足“若aeS,則6-aeS"，這樣的S

共有____個(答：7)

2.遇到=0時，你是否注意到“極端”情況：力=0或8=0；同樣

當(dāng)jCR時，你是否忘記力=0的情形？(因為0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集。)

舉例如下：集合』=團。"1=0),3={x*_3x+2=0),旦兒|B=B,

a=0,1i

則實數(shù)a=.(答：2)

【提示】=6n4q5,分a=O,aw0求解

3.對于含有%個元素的有限集合般，其子集、真子集、非空子集、非空真

子集的個數(shù)依次為2"，2*-1,2T2"-20

舉例如下：

滿足2年"Q[1,2,3,4,5）集合乂有個。（答：7）

4.集合的運算性質(zhì)：（集合運算的依據(jù)和簡便方法）

A<=>BaA.4nB=BC=>BQA.

^AcB^CvB^CvA.（4）ACC；B=0=A=8；

（5）CUADB=UOA=B；（6）%G4nB）=CV<UQE；

（7）Cu（A{jB）=CvAnCuB

舉例如下：如設(shè)全集0={L23,4,5）,若⑵，G"）2={4},

（CVA）A（0^5）=[1,5）則4=,B=.（答：/=QB,8={2,4}）

5.研究集合問題，定要理解集合的意義：集合的代表元的形式及代表元

滿足的條件

如：G|y=lgx）------函數(shù)的定義域；加丁=國名——函數(shù)的值域；

{（冗力,=總句-----函數(shù)圖象上的點構(gòu)成的點集。

舉例如下：

（1）設(shè)集合M==豁N={川）=一爪€股），則股口發(fā)=_

（答：[4,4<o））；

(2)設(shè)集合脛=0|￡=(1,2)+雙3,4),26號，N=0|Z=(2,5+雙4.5)

aeR）,則河口兇=_____（答：（（-2-2）））返回

1+3/1=24-4A

【提示】=>2=-1,解出。

2+44=3+54

6.數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘

了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜

的有關(guān)問題。

舉例如下：

已知函數(shù)“X）=4__2?-2）x-2/-p+1在區(qū)間上至少存在一個

（-3-）

實數(shù)c,使/?>°,求實數(shù)P的取值范圍。（答：’2）

【提示】求出〃x）>0在區(qū)間［一1』上不成立的P的范圍，求補集

7.復(fù)合命題真假的判斷。

“或命題”的真假特點：“一真即真，要假全假”；

“且命題”的真假特點：“?假即假，要真全真”；

“非命題”的真假特點：“真假相反”。

“或的非”等于“非的且”

“且的非”等于“非的或”

（應(yīng)用以上結(jié)論可將復(fù)合命題真假的判斷轉(zhuǎn)化為簡單命題的判斷）

舉例如下：在下列說法中：

⑴“P月?”為真是“P或4”為真的充分不必要條件;

⑵“P月5”為假是或，”為真的充分不必要條件；

⑶或q”為真是“非尹”為假的必要不充分條件；

⑷‘'非p"為真是且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是

（答：⑴，⑶）

7.四種命題及其相互關(guān)系。構(gòu)造命題的方法及真假判斷

若原命題是“若p則q”，

則逆命題為“若q則P”：

否命題為"若一'P則「q"；

逆否命題為“若「q則「P”。返回

提醒：

(1)互為逆否關(guān)系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；

逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；

(2)在寫出一個含有“或”、“月一”命題的否命題時，要注意“非或即月

非且即或”；

(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和

結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；

(4)對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價關(guān)系

“A=B=R=A”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。

(5)哪些命題宜用反證法？如(1)“在AABC中，若NC=90",則/A、Z

B都是銳角”的否命題為(答：在中，若則/A乙5

TT—2

/(%)=(24--~~,a>1

不都是銳角)；(2)已知函數(shù)x+1,證明方程沒有負(fù)

數(shù)根。

9.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論：由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立

的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解

釋，若jCB,則A是B的充分條件；若8則A是B的必要條件；若八=8,

則A是B的充要條件。

比如：(1)給出下列命題：①實數(shù)。=0是直線數(shù)-2y=1與2ax-21y=3平

行的充要條件；②若氏86氏劭是同+可=匕+可成立的充要條件；③已知

“e穴,若》=0,則x=0或丁=0”的逆否命題是“若xw0或Vn0貝y"0，，；

④“若a和力都是偶數(shù)，貝a+5是偶數(shù)”的否命題是假命題。其中正確命題的

序號是(答：①④)；返回

(2)設(shè)命題p：|4彳3區(qū)1；命題q：x?-(2a+l)x+a(a+l)X0。若■)p是

[0,^]

」q的必要而不充分的條件，則實數(shù)a的取值范圍是(答：2)

b

X>一

10.一元一次不等式的解法：先化為ax>8的形式，若a>0,則口；若

b

x<一

則a；若。=°,則當(dāng)小<°時;xeR；當(dāng)小之°時，xe0o

如已知關(guān)于x的不等式(a+5)x+(2a-%)<0的解集為18,則關(guān)于x

的不等式3-劭)x+9-2a)>0的解集為(答：Uk<-3))

11.一元二次不等式的解要聯(lián)系圖象求解。尤其當(dāng)A=0和A<0時的解集你

會正確表示嗎？設(shè)。>0,再，電是方程#+Bx+c=0的兩實根，且再則其

解集如下表：

ax2+bx+c>0ax2+8x+c1之0ax2+bx+c<0ax2+br+c<0

A>0{x|xMxi或

{x|x<*i或(zlXj<X<X2)

國再<X<%2)

xy)「之巧}

A=0

R傘

2.a

L<0R

R夕

如解關(guān)于X的不等式：-―（&+f+1<0。（答：當(dāng)。=0時，X>1.當(dāng)a<0

X<—1<x<—

時，X>1或a；當(dāng)0<a〈l時，a；當(dāng)a=l時，xC0；當(dāng)a>l時，

-<x<l

a)返回

12.對于方程壇+c=0有實數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù)a

是否為0,若4W0,則一定有A=〃-4acN0。

對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否注意到同

樣的情形？

比如：（1）（a—2）：+2（a-2）x-1<0對一切NJ恒成立，貝旭的取值范

圍是（答：Q2］）,

【提示】若。一2=0,則有-1<0成立，所以a=2正確

若。=2/0,則須有1”2<0,可解出1<“<2

A<0

（2）好x的方程/5）=上有解的條件是什么？（答：keD,^D為了⑺

的值域），如在‘萬內(nèi)有兩個不等的實根滿足等式cos2x+/sin2x"+l,貝犢

數(shù)化的范圍是.（答：［°」））

13.一元二次方程根的分布理論。

方程/@）="2+以+°=03>0）在（匕欣）上有兩根、在（陽⑷上有兩根、在

（一8,曾和（匕也）上各有?.根的充要條件分別是什么？

,A>0

A>0〃m)>0

</W>o/(w)>0

b

m<--<n

2a/(^)<0)o

根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間［陽川討論方程/(乃=°有

實數(shù)解的情況,可先利用在開區(qū)間(也㈤上實根分布的情況，得出結(jié)果，再令X=K

和工=切檢查端點的情況.返回

如實系數(shù)方程,+公+23=0的一根大于o且小于1,另?根大于1且小于2,

b-21

則的取值范圍是(答：(4,1))

【提示】設(shè)/(X)=x2+QX+2Z?,根據(jù)題意

作出示意圖：

7(0)>0b>0

可得"(1)<0A1+。+28<0作

、〃2)>04+2a+2b〉0

可行域,在可行域中取點Q,河，求出力與點(1,2)連線的斜率范圍

14.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系：

二次方程“2+桁+C=0的兩個根即為二次不等式"2+"+c>0(<0)的解

集的端點值，也是二次函數(shù)^=數(shù)2+"+’的圖象與工軸的交點的橫坐標(biāo)。

r>ax+l1

比如：⑴不等式5的解集是(4,%則a=(答：.)；

331

【提示】G>ax+—=2=4〃+—=a=一

228

(2)若關(guān)于X的不等式ax2+5x+c<0的解集為(-8，MU(4+8),其中

切<0,則關(guān)于X的不等式C--bx+a<0的解集為(答：

(-co--

mn).

b

/%+〃=-

【提示】由條件可得〃且Q<0=>c<0返回

C

inn=一

a

2?八2匕。八2I11I1八

CX~—bx+Q<0x~—XH—>0x~+—I—XH--->0

cc\mn)mn

x<---->—

mn

（3）不等式3--2版+1W0對xH-1,2］恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是

_（答：0）

函教

1.映射，：A-B的概念。

在理解映射概念時要注意：⑴A中元素必須都有象且唯-；⑵B中元素不一

定都有原象，且原象不定唯o

比如：（1）設(shè)了：比?曾是集合般到葡的映射，下列說法正確的是

A、腸中每一個元素在方中必有象

B、雙■中每一個元素在脛中必有原象

C、兒中每一個元素在股中的原象是唯一的

D、曾是腸中所有元素的象的集合（答：A）；

（2）點3力）在映射了的作用下的象是.一九a+&）,則在/作用下點3D的

原象為點（答：（2,-1））；

（3）若j=Q234）,B=（a,b,c）。，瓦則5到6的映射有個

8到幺的映射有____個；4到B的函數(shù)有個（答：81,64,81）；返回

（4）設(shè)集合腹=｛7,0,9,4=。23,4,5）,映射滿足條件“對任

意的xeM,x+/（x）是奇數(shù)”，這樣的映射了有一個（答：12）；

（5）設(shè)fXT，是集合人到集合B的映射，若1＞口，2｝,則兌PlB一定是

（答：0或｛1｝）。

2.函數(shù)了：A―B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！

據(jù)此可知函數(shù)圖像與x軸的垂線至多有一個公共點，但與V軸垂線的公共點可能

沒有，也可能有任意個。

比如：（1）已知函數(shù),（X）,xeF,那么集合

｛（"）|1y=/（x）,xeF｝n｛（"）|x=D中所含元素的個數(shù)有（答:o或1）.

（2）若函數(shù)'-5''+的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,23，

則3=.（答：2）

3.同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值

域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同

時，它們一定為同一函數(shù)。

如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)

為“天一函數(shù)”，那么解析式為丁=,，值域為｛4,1｝的“天一函數(shù)”共有—

個（答：9）

4.求函數(shù)定義域的常見題型和方法（寫出條件組，解出自變量的范圍）：

（1）根據(jù)解析式確定：返回

偶次根式被開方式大于等于零，分母不能為零，對數(shù)式中真式大于零，

在三角形中?！垂ぁ撮_，最大角3,最小角3等。

_如4-x）

y=-------

比如：①函數(shù)1g"）的定義域是_（答：（0,2）U（2,3）U（3,4））；

一產(chǎn)+7小

②若函數(shù)日+4H+3的定義域為R,貝酶e（答：L"）；

③函數(shù)」（x）的定義域是封，b>-a>0,則函數(shù)尸（x）=/（x）+/（-x）的定

義域是（答：口「幻）；

④設(shè)函數(shù)〃x）=lg（#+2x+l）,

I.若/（X）的定義域是R,求實數(shù)a的取值范圍；

II.若/（X）的值域是R,求實數(shù)”的取值范圍（答：I.。>1；H.04。工1）

（2）應(yīng)用題中根據(jù)變量的意義確定自變量的范圍。

（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：

若已知了（X）的定義域為［。，切，其復(fù)合函數(shù)/［g。）］的定義域由不等式

aMg（x）以解出即可;

若已知力g（x）］的定義域為［。，⑸，求」（x）的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時，求

12一

g（x）的值域（即了㈤的定義域）。比如：①若函數(shù)T=/（x）的定義域為L2」，

則八/2月的定義域為（答：klM'xC｝）；返回

②若函數(shù)〃/+1）的定義域為［一2，1）,則函數(shù)/。）的定義域為（答:

［1,5］）.

5.求函數(shù)值域（最值）的方法：

（1）配方法：先將二次函數(shù)配方去掉一個自變量符號，再畫圖觀察最值點

比如：①求函數(shù)y=x2-2x+5,xe［-l,2］的值域（答：［4,8］）；

②當(dāng)xe（0,2］時函數(shù)/（X）=/+4（a+l）x-3在x=2時取得最大值,則。的

a>-l

取值范圍是_（答：2）；

③已知〃x）=3『2VxM4）的圖象過點（2J）,則斤（力=［廣】（切2-尸（一）

的值域為（答：［2,5］）

（2）換元法：通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其

函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，

17

比如：①丁=2訓(xùn)2工一3必升一1的值域為_____（答：一‘百」）；

②y=2x+l+石二i的值域為_____（答：（3.-Ko））（令正二i=￡,00。運

用換元法時，要特別要注意新元Z的范圍）；

,、［-1=+發(fā)］,

③y=sinx+cosx+sinxcosx的值域為____（答：2）；返回

④y=x+4+j9—/的值域為（答：［L30+4］）；

（3）函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有

界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)

2sin^-l3*2sin6—l1,,3、

y=---------y=-----y---------zf-oo,—Joo,—J

l+sine,1+3"1+cos。的值域（答：2、（0,1）、2）.

（4）單調(diào)性法：利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)

的單調(diào)性求值域

八C、

y=X-—1（1<x<9）y-si.n2xd-------9-,1/7

如求x,1+sinx,y=2+儂3J*-1的值域為

（5）數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的兒何意義，如兩點的距離、直線

斜率、等等，

比如：①已知點在圓，+/=1上，求壬及丁一2工的取值范圍

【提示】用斜率、截距求解（答：3'3）、［-而，/］）；

②求函數(shù)y=J=_2）2+J（X+8）2的值域

【提示】用絕對值的幾何意義求解（答："°，蟲功）；

③求函數(shù)丁=次-6X+13+J-+4x+5及丁=-6二+13-舊+4x+5的

值域

【提示】用距離求解（答：［.，儕°）、（一4,?。?/p>

注意：求兩點距離之和時，耍將函數(shù)式變形，使兩定點在x軸的兩側(cè)，而求

兩點距離之差時，則要使兩定點在x軸的同側(cè)。

（6）判別式法：對分式函數(shù)（分子或分母中有?個是二次）都可通用，但

這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過

部分分式后，再利用均值不等式：

b

y=T

①左+/型，可直接用不等式性質(zhì)，返回

33

如求'一二”的值域（答:(0.-]

)

bx

y=-------

②x?+wx+〃型，先化簡，再用均值不等式,

X(-吟)Jx+2

=

yTy------

如（1）求1+/的值域（答:(2)求函數(shù)x+3的值域

(答:嗚)

X2+加父+短

y-5

③型，通常用判別式法；

,+8X4-?

y=log,--------

如已知函數(shù)一5+1的定義域為R,值域為[0,2],求常數(shù)…的

值（答：制=%=5）

X2+冽父+%’

y=----------

④MX+n型，可用判別式法或均值不等式法，

/+X+1

如求X+1的值域（答：（-8，TU[L—））返回

（7）不等式法一一利用基本不等式。+/2必（&g內(nèi)）求函數(shù)的最值，其

題型特征解析式是和式時耍求積為定值，解析式是積時耍求和為定值，不過有時

須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。

如設(shè)x,/M2，y成等差數(shù)列，工自也J成等比數(shù)列，則8也的取值范圍

是o（答：（-8,0]U[4,4<o））。

（8）導(dǎo)數(shù)法-----般適用于高次多項式函數(shù)。

如求函數(shù)〃乃=2/+4,-40x,xe[-3,3]的最小值。（答：_48）

提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）

函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用兒個不

同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值

/（瓦）時，一定首先要判斷勺屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；

分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。

比如：

|（x+l）2.（x＜l）

r--

（1）設(shè)函數(shù)14-a-1.（出1）,則使得了。）之1的自變量x的取值范圍

是（答：（~8,-2]U[0,10]）；

1(x>0)

/(x)=<

-1(x<0)則不等式，+（%+2）力＞+2）.5的解集是

(2)已知

（一吟）

_(答:

7.求函數(shù)解析式的常用方法：

（1）待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：

一般式："x）="+^+c；頂點式：/（x）=a（x-㈤2+%零點式：

/（x）=a（x-XiXx-X2）,要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)

形式）。

如已知了（X）為二次函數(shù)，^/（x-2）=/（-x-2）＞且f（0）=1,圖象在x軸上

10

/(%)=—x2+2x4-1

截得的線段長為2五，求」（x）的解析式。(答:2)

（2）代換（配湊）法一一已知形如『也（X））的表達(dá)式，求了⑸的表達(dá)式。比

如：返回

①已知〃l-c°sx）=sin?X,求/（，）的解析式（答：

/（x2）=-x4+2?,xe[-72,72]）,

J2]

②若‘'x-'+/,則函數(shù)/@-1）=（答：X2-2X+3）.

③若函數(shù)/X）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)工€（0,河）時，/（x）=x（l+,）,

那么當(dāng)xe（-8,0）時，/W=（答：武1-私））。這里需值得注意的是

所求解析式的定義域的等價性，即/（X）的定義域應(yīng)是g0）的值域。

（3）方程的思想一一已知條件是含有,（X）及另外一個函數(shù)的等式，可抓住

等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。

比如：

2

①已知/⑸+2/（f）=3x-2,求"x）的解析式（答：“為）=一3'-5）；

1

②已知"X）是奇函數(shù)，gO）是偶函數(shù)，且/⑶+g（x）==l,則〃x）=_（答:

X

/T）。

8.反函數(shù)：

（1）存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個V值，都有唯一的x

值與之對應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)?定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有

/（x）=°（xe{0}）有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。

如函數(shù)V=--2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是卜卜（一④小

B、。42,+00）5^[1,2]口、。e（-8,1]uP用）（答：D）返回

（2）求反函數(shù)的步驟：①反求x；②互換x、y；③注明反函數(shù)的定義域（原

來函數(shù)的值域）。注意函數(shù)『=/6+1）的反函數(shù)不是y=/Yx+i）,而是

“*）=（上當(dāng)2（x>0）...￡-1,、1（x）=~r=—

如設(shè)。求了⑴的反函數(shù)了⑶（答：Vx-1）.

（3）反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。

如單調(diào)遞增函數(shù)/（X）滿足條件/（"+3）=x,其中aWO,若」（x）的反函數(shù)

-14'

⑶的定義域為L'a」，則了⑺的定義域是（答：［4,7］）。

②函數(shù)y=/（x）的圖象與其反函數(shù)丁=廣1力的圖象關(guān)于直線1y=x對稱，注

意函數(shù)y=/a）的圖象與x=/"⑶）的圖象相同。返回

如（1）已知函數(shù)丁=/（x）的圖象過點（1,1）,那么“4-X）的反函數(shù)的圖象一

//、2x4-3

J（x）=/、

定經(jīng)過點（答：（1,3））；（2）已知函數(shù)X-1,若函數(shù)y=g（x）

7

與y=」"（x+i）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求g0）的值（答：5）；

③j@=b=>廣@=a。

4

如⑴已知函數(shù)崛七+乃，則方程尸（機4的解x=_____（答：1）.

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1,2）對稱，且存在反函數(shù)廣1⑶，A4）=0,

則尸（4）=_（答：_2）

④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。

如已知了⑺是天上的增函數(shù)，點皿T1）乃（L3）在它的圖象上，尸（x）是它的

反函數(shù)，那么不等式f0°&到＜1的解集為（答：（2,8））；

⑤設(shè)了㈤的定義域為A,值域為B,則有九/T（x）】=x（xeB）,尸"（x）]=x

（D,但九尸⑺卜廣廿（刈。

9.函數(shù)的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此

確定函數(shù)的奇偶性時.，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。

如若函數(shù)/（x）=2sin（3x+6）,xe[2a-5”,3閭為奇函數(shù),其中央（0,2封,

則的值是（答：0）；

（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化

簡，再判斷其奇偶性）：返回

①定義法：

^_|Z4|-4

如判斷函數(shù)后下的奇偶性—（答：奇函數(shù)）。

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：/（X）±/（-外=°或?/（?（"X）。0）。

/（X）=x（—1--）

如判斷2y-12的奇偶性（答：偶函數(shù)）

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于V軸對稱。

（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì):

①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函

數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反。

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù)。

③若/(X)為偶函數(shù)，ijiij/(-^=/(x)=/(ki)o

如若定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，且=2,則不等式

/(log1x)>2

s的解集為o(答：(°，05)U(2,4OO))

④若奇函數(shù)"x)定義域中含有0,則必有八0)=°。故"°)=°是/C)為奇

函數(shù)的既不充分也不必要條件。

//、(2*2y+以一2

f(X)=----------------

如若2+1為奇函數(shù)，則實數(shù)a=__(答：1)。

⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與

一個偶函數(shù)的和(或差)”。

-/⑶+/(-X)

如設(shè)〃X)是定義域為R的任一函數(shù)，2,

G(i)…)

2°

①判斷F(x)與G(x)的奇偶性；②若將函數(shù)/。)=國(10，+1),表示成一個奇

函數(shù)g。)和一個偶函數(shù)"(X)之和，則g(%)=(答：①尸(x)為偶函數(shù)，G(x)

為奇函數(shù)；②g")=5)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”。返回

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（/（x）=°,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個

數(shù)集）

10.函數(shù)的單調(diào)性。

（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：

定義法（取值一一作差一一變形一一定號）、

導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間3M內(nèi)，若總有尸（》>°,則"X）為增函數(shù)；反之，若"x）

在區(qū)間（。，分內(nèi)為增函數(shù)，則/'（X）20,請注意兩者的區(qū)別所在。

如已知函數(shù)"幻=/一"在區(qū)間"地上是增函數(shù)，則。的取值范圍是

—（答：（°，引））；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意

y-ax+-（a>0b>Q）型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為

9一g],廬的）[_g,0）?

,減區(qū)間為o

如（1）若函數(shù)/"）=/+23-1?+2在區(qū)間（一8,4]上是減函數(shù)，那么

實數(shù)。的取值范圍是（答：。4-3））；（2）已知函數(shù)x+2在區(qū)間

J

（-2,m）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（答：'5'*°））.（3）若函數(shù)

/（x）=logafx+--4）（a>0,且awl）

Ix）的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

（答：0<a44且aHl））.

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減。

y=logi-+2x）

如函數(shù)5的單調(diào)遞增區(qū)間是（答：（1,2））。

（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，

一是勿忘定義域，

如若函數(shù)"x）=l°g[x2-ax+5在區(qū)間（一8，萬]上為減函數(shù)，求a的取值范圍

（答：。，2假）；

二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不能添加符號“U”和“或”：

三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。

（3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？（①比較大??；②解不等式;

③求參數(shù)范圍）。

如已知奇函數(shù)/（X）是定義在（-2,2）上的減函數(shù)，若?/（陽-1）+/（2搐-1）>0,

12

_—Vw<一

求實數(shù)冽的取值范圍。（答：23）

11.常見的圖象變換

①函數(shù)V=/（x+a）（a>0）的圖象是把函數(shù)丁=/（x）的圖象沿x軸向左平移a

個單位得到的。返回

如設(shè)/（x）=2T,g（x）的圖像與y（x）的圖像關(guān)于直線丁=x對稱，肛?的圖像

由g（x）的圖像向右平移1個單位得到，則處X）為（答：

%（X）=-10g2（X-l））

②函數(shù)V=/G+a）（3<°）的圖象是把函數(shù)丁=/（X）的圖象沿x軸向右平移

同個單位得到的。

如（1）若/（x+199）=4,+4x+3,則函數(shù)“X）的最小值為_（答：2）；

（2）要得到丁=國（3一工）的圖像，只需作y=關(guān)于_____軸對稱的圖像，再向

—平移3個單位而得到（答：人右）；（3）函數(shù)〃乃=*也5+2）-1的圖象

與x軸的交點個數(shù)有個（答：2）

③函數(shù)y=/6）+4（a>0）的圖象是把函數(shù)T=/（x）助圖象沿V軸向上平移以

個單位得到的；

④函數(shù)丁=/⑴+以①<0）的圖象是把函數(shù)丁=HD助圖象沿丁軸向下平移

M個單位得到的；

b

y-------Va

如將函數(shù)x+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，所得

圖象如果與原圖象關(guān)于直線丁=x對稱,那么（/）a=。0（B）a=~UeR

（C）a=1,2?*0=O,beR（答：

⑤函數(shù)丁二/（以）（°>0）的圖象是把函數(shù)丁=/（x）的圖象沿x軸伸縮為原來

2

的）得到的。返P1

1

如（1）將函數(shù)丁=/。）的圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹欤v坐標(biāo)不變）,

再將此圖像沿X軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為____（答：

了（3工+6））；（2）如若函數(shù)y=/（2x7）是偶函數(shù)，則函數(shù)A=/（2X）的對稱軸方

1

x=--

程是（答：2）。

⑥函數(shù)丁=/㈤（a>0）的圖象是把函數(shù)丁=/（x）的圖象沿V軸伸縮為原來的

a倍得到的。

12.函數(shù)的對稱性。

a-\-b

①滿足條件/（X—°）=/3一X）的函數(shù)的圖象關(guān)于直線'

2對稱。

如已知二次函數(shù)八乃=ax+加Q*°）滿足條件-x）=/（x-3）且方程

_2

/。）:才有等根，則/0）=_____（答：一］工2+才）；

②點（XJ）關(guān)于V軸的對稱點為（FJ）；球，=/（x）關(guān)于y軸的對稱曲線方

程為y=/（—x）；

③點s’）關(guān)于x軸的對稱點為a-y）；函數(shù)丁=/（6關(guān)于x軸的對稱曲線方

程為7=一-（工）；

④點（用力關(guān)于原點的對稱點為（一冗一力；函數(shù)丁=/k）關(guān)于原點的對稱曲線

方程為y=_/（-x）；返回

⑤點（XJ）關(guān)于直線y=±x+a的對稱點為（±3-a），±x+a）；曲線/。，?。?0

關(guān)于直線丁=±x+a的對稱曲線的方程為/（±0-a）,±x+a）=°。特別地，點（xj）

關(guān)于直線丁=*的對稱點為（乂x）；瞰/a，力=°關(guān)于直線丁=*的對稱曲線的方

程為〃y,x）O；點（冗向關(guān)于直線丁=一工的對稱點為（一乂一力；曲線/（XJ）=°關(guān)

于直線丁=-X的對稱曲線的方程為了（-乂r）=00

如己知函數(shù)2X-32,若丁=芥入+1）的圖像是J,它關(guān)于直線

V=X對稱圖像是,2，。2關(guān)于原點對稱的圖像為C3,則。3對應(yīng)的函數(shù)解析式是

才+2

v=------

（答：2x+l）；

⑥曲線〃XJ）=°關(guān)于點（aM的對稱曲線的方程為了（2a-x,2小一力=0。

如若函數(shù)丁=一+才與丁=80）的圖象關(guān)于點（_2,3）通則gQ）=_

（答：-X2-7X-6）

⑦形如y="cx+d'（cw0adwbe'）的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

C

（由分母為零確定）和直線“C（由分子、分母中X的系數(shù)確定），對稱中心

,da、

是點（一工0

如已知函數(shù)圖象C與C：y（x+a+l）=ax+/+l關(guān)于直線1y=x對稱，且圖象C，關(guān)

于點（2,-3）對稱，則a的值為______（答：2）

⑧1/熾）1的圖象先保留/㈤原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x

軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；的圖象先保留,（X）在軸

右方的圖象，擦去丁軸左方的圖象，然后作出丁軸右方的圖象關(guān)于丁軸的對稱圖

形得到。返回

如⑴作出函數(shù)y=|l°g2（x+l）|及y=log2|x+l|的圖象;（2）若函數(shù)）㈤

是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)回?=1/（刈+〃蹄的圖象關(guān)于_對稱（答：

尸軸）

提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質(zhì)上

是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖

像上任一點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3