高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第七章立體幾何與空間向量

第七章立體幾何與空間向量

§7.1基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

【考試要求】1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活

中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)2知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并

能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

S

A您

圖形

AB

AB4B

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

圖形JA◎

互相平行且相

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓

側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法.

⑵規(guī)則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中一軸、y'軸的夾角為45?；?35。，z'軸

與一軸和<軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸,平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段，長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

八，入

，八\

口,:端外：

側(cè)面展開(kāi)圖金,/2M2

包心L-2欠乙-」幽/‘

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀r/S圓錐側(cè)=兀廠/S圓臺(tái)側(cè)=兀01+廠2)/

4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何

柱體S表=8側(cè)+2s底V=Sh

V=\sh

錐體S表=s側(cè)+s底

V=|(Si.+Sr+\[sIs~^h

臺(tái)體S表=S側(cè)+S上+S下

4

球S表=4成2

【常用結(jié)論】

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖胞原理).

2.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖=乎5摩圖形，S原圖形=2、「S直觀圖.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)菱形的直觀圖仍是菱形.(X)

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(X)

（3）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（X）

（4）錐體的體積等于底面積與高之積.（X）

【教材改編題】

1.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（）

C.----------------,C,

A.四棱臺(tái)

B.四棱錐

C.四棱柱

D.三棱柱

答案C

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.相等的角在直觀圖中仍然相等

B.相等的線段在直觀圖中仍然相等

C.正方形的直觀圖是正方形

D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行

答案D

解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形

的直觀圖是平行四邊形.

3.已知圓錐的表面積等于1271cm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）

3

A.1cmB.2cmC.3cmD.]cm

答案B

解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm,母線長(zhǎng)為/cm,

依題意得2兀r=兀/,.*.Z=2r,

S表=兀戶+兀力=兀戶+兀廣2r=3兀，=12K,3=4,r=2（cm）.

■探究核心題型

題型一基本立體圖形

命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征

例1（多選）下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺(tái)

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱

C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

答案ABC

解析由圓臺(tái)定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍

成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤；

由棱柱定義可知，棱柱是有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行的幾何體，故B錯(cuò)誤；

底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；

棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確.

命題點(diǎn)2直觀圖

例2已知水平放置的四邊形04BC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中

O'A'//B'C,/O'A'B'=90。，O'A'=1,B'C=2,則原四邊形OABC的面

積為()

B.3小C.4^2D.5陋

答案

解析方法一由已知求得O'C=W，把直觀圖還原為原圖形如圖,

C

OX

可得原圖形為直角梯形，OA//CB,OA1OC,且。4=1,BC=2,OC=2也

得原四邊形048。的面積為^義(1+2)><2吸=3，1

方法二由題意知A'B'=1,

13

???S直觀圖=1X(1+2)X1=2?

命題點(diǎn)3展開(kāi)圖

例3如圖，已知正三棱柱ABC—A131G的底面邊長(zhǎng)為1cm,高為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā),

沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)4點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為()

A.12cmB.13cm

C.y[61cmD.15cm

答案C

解析如圖，把側(cè)面展開(kāi)2周可得對(duì)角線最短，則可予=佝'(cm).

思維升華空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧

(1)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

(2)在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不

變，長(zhǎng)度減半.

(3)在解決空間折線(段)最短問(wèn)題時(shí)一般考慮其展開(kāi)圖，采用化曲為直的策略，將空間問(wèn)題平

面化.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A'B'CD'

是邊長(zhǎng)為2的菱形，且。'D'=2,則原平面圖形的周長(zhǎng)為()

A.4^2+4

C.8也

答案B

解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示,

其中04=2隹，。。=4,AB=CD=2,則AD=78+16=2乖,

故原平面圖形的周長(zhǎng)為2+2+2加+2加=44+4.

(2)(多選)下列命題中不正確的是()

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱

C.不存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等

答案ACD

解析A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正

確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；C不正確，如圖，正方

體ABC。-AISCLDI中的三棱錐G-A8C,四個(gè)面都是直角三角形；D不正確，棱臺(tái)的上、

下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.

（3）（2023?岳陽(yáng)模擬）己知圓錐的側(cè)面積是底面積的［倍，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角

大小為（）

犯包囪9n

A-5B-5C-5D-5

答案C

解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長(zhǎng)為/,則圓錐的側(cè)面積為〃/,由題意得稿=點(diǎn)解

得/=苧,?..圓錐底面圓的周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為2〃，...該扇形的圓心角為&=平

2兀廠8兀

=~5r=~5'

-4

題型二表面積與體積

命題點(diǎn)1表面積

例4（1）（2022?深圳模擬）以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一

周所得圓柱的側(cè)面積等于（）

A.8兀B.4兀C.8D.4

答案A

解析以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底

面半徑r=2,高h(yuǎn)=2,

???所得圓柱的側(cè)面積S=2兀泌=2兀X2X2=8兀.

（2）（2023?麗江模擬）已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2,有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面等

腰三角形底上的高為小，則這個(gè)三棱錐的表面積為（）

A.4+3^3+715B.4+仍+2仃

C.4+^3+715D.4+2^3+715

答案C

解析結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB=AC=AD=2,CE=y[5,

由題意得△ABC,△ACD是等腰直角三角形，則8。=8=26，

BE=7BC—CE2=?BD=2小,AE=7AB2—BE?=1,則該三棱錐的表面積為SAABC+SAACD

命題點(diǎn)2體積

例5（1）（2021?新高考全國(guó)D）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體

積為（）

A.20+12小B.2隊(duì)尼

r56型也

J3-3

答案D

解析作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)=q2?-（2巾-巾）2=也,

下底面面積Si=16,上底面面積$2=4,

所以該棱臺(tái)的體積V=^h（Sl+S2+\[s^2）

=|XV2X（16+4+V64）=^^.

（2）已知正方體ABCD-A^BrCiDi的棱長(zhǎng)為2,則三棱錐A-BjCD,的體積為（）

48

AqBqC.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A—BCDi是由正方體ABCD—AiBCQi截去四個(gè)小三棱錐A—AiBiA,

C-BiCiDi,Bi-ABC,A-ACD得到的,

又匕BCQ—A31Goi=2^=8,

11Q4

=-V-X，3=一

3，、、右3,

48

所以匕_8皿=8_4X]=,

思維升華求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則

割補(bǔ)法

的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體

通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別

等體積法

是三棱錐的體積

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021?北京)定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度.其

中小雨(<10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小

明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

A.小雨B.中雨C.大雨D.

答案B

解析由題意，一個(gè)半徑為竿=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為竽義蠕

50(mm),高為150(mm)的圓錐，

|TIX502X150

所以積水厚度d=—.x]0()2—=12.5(mm),屬于中雨.

(2)(2022?沈陽(yáng)模擬)在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見(jiàn)，因?yàn)榱?、八是中?guó)人的吉利

數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其

余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm,底面邊長(zhǎng)

為7cm（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需

要絨布的面積為（）

A.120cm2B.162.7cm2

C.785.4cm2D.1570.8cm2

答案C

解析根據(jù)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為7cm,得正六棱柱的側(cè)面積為6X7X18.7=785.4（cm2）,

所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2023?淄博模擬）若圓錐的母線長(zhǎng)為2小,側(cè)面展開(kāi)圖的面積為6兀,則該圓錐的體積是（）

A.\[3nB.3兀C.3小兀D.9兀

答案B

解析設(shè)圓錐的高為〃，底面圓半徑為廣，

因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2事,

所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積為兀廣義25=6兀，

解得r=小,

所以/z=d（25）2—（5）2=3,

所以圓錐的體積X（-\/3）2X3=3n.

2.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸、y'軸平

行），則原圖形△A08的面積是（

A.8

C.32D.64

答案c

解析根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊03的長(zhǎng)為4,高為16,

P

16-

\B,

4x

所以其面積S=；X4X16=32.

3.（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

B.有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐

D.如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體

答案ABC

解析選項(xiàng)A,例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,其余各面的邊延長(zhǎng)

后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是360°

時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,若每個(gè)側(cè)面都

是長(zhǎng)方形，則說(shuō)明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確.

4.（2022?莆田模擬）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)面積為2兀的半圓，則該圓錐的高為（）

A坐B(niǎo).1C.^/2DS

答案D

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,圓錐的底面圓半徑為廠，如圖.

兀/=2兀廠,

由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則解得於=1,尸=4,

.兀廠/=2兀,

則圓錐的高h(yuǎn)=-\jl2—r2=y[3.

5.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12,底面圓的半徑等于4,一只小蟲從圓錐

的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處,則小蟲爬行的最短路程為（）

A.12^3

C.24D.24小

答案A

解析如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為0,

O

則由題意可得2兀X4=12仇

貝!]6?=y,

在△POP中，OP=OP'=12,

則小蟲爬行的最短路程為

PP'=yj122+122-2X12X12X[^-￡）=12V3.

6.（2022?新高考全國(guó)I）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄

入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0kn?；水位為海拔

157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0kn?.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則

該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（由-265）（）

A.1.0X109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

答案C

解析如圖，由已知得該棱臺(tái)的高為

157.5-148.5=9(m),

所以該棱臺(tái)的體積

y=|x9X(140+^140X780+180)X106=60X(16+3V7)X106^60X(16+3X2.65)X106=

1.437X109^1.4X109(m3).故選C.

7.如圖，在正四棱錐P—ABCO中，修為的中點(diǎn)，A為尸。的中點(diǎn)，則棱錐A-BCA與

棱錐P-ABCD的體積之比是（）

A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3

答案A

解析棱錐A-BiCOi的體積可以看成是正四棱錐尸一的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的

體積得到的.

因?yàn)?1為PB的中點(diǎn)，5為尸。的中點(diǎn)，

所以棱錐B{-ABC的體積和棱錐Di-ACD的體積都是正四棱錐P-ABCD的體積的《，

棱錐C-PBiDr的體積與棱錐A-PBiDi的體積之和是正四棱錐P—ABCD的體積的

則中間剩下的棱錐A-B\CD\的體積匕_耳組=Vp-ABC0-3x"vp-ABCO,

則匕-B田：VP-ABCD^1-4.

8.（多選）（2023?邯鄲模擬）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱

攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭

閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正

四棱錐.己知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為仇這個(gè)角接近30。，若取0=30。,

側(cè)棱長(zhǎng)為舊米，貝!］（）

A.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米

B.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米

C.正四棱錐的側(cè)面積為244平方米

D.正四棱錐的側(cè)面積為12餡平方米

答案AC

解析如圖，在正四棱錐S—ABCO中，。為正方形ABCD的中心，H為的中點(diǎn),

則SHLAB,

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a米.

因?yàn)镹SHO=30°,

、行2s

所以O(shè)H=AH=a米，OS=^-a米，5”=十？米.

在RtZXSAH中，居+仔小，2=21,

解得。=3,所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米，側(cè)面積為S=T><6><2小義4=24/（平方米）.

9.如圖，在六面體ABC—FEOG中，BG_L平面ABC,平面A8C〃平面FEDG,AF〃BG,FE//GD,

ZFGD=90°,AB=BC=BG=2,GD=2BC,四邊形AEDC是菱形，則六面體ABC—FEDG

的體積為_(kāi)_______

答案8

解析如圖，連接AG,AD,

貝IIV大畫體ABC—FE?G=V㈣棱叫A-FE￡>G+VH??A-BCDG=2V可梭推A-FEOG,

由題意得，EF=2,Z)G=4,FG=AF=2,

橫衫FE0G=T><(2+4)><2=6,

VBW雍A-FEZ>G=WXSFEDGXAF=4,

；?VABC-FEDG—8.

10.（2022?張家口模擬）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺,

可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中8,C分別是上、

下底面圓的圓心，且AC=3AB=3B。，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐

的側(cè)面積的比值是.

圖1圖2

答案2小

解析設(shè)AB=BD=m,

則AD=y]2m,

因?yàn)锳C=3AB=3m,所以BC=2m,

則圓柱的側(cè)面積51=2兀廣3。=4兀m2,

圓錐的側(cè)面積52=7irXA￡)=^/27im2,

11.如圖，已知三棱柱ABC—A向G的體積為V,點(diǎn)M,N分別為棱A4i，CG的中點(diǎn)，則棱

錐B-AMNC的體積為.

G

4\B,

答案”

解析如圖，連接AN,

對(duì)于三棱錐B—ACN,B-AMN,顯然它們等底同高,

故VB-ACN=VB-AMN,

而VB-ACN=VN-ABC,

注意到CN=C[N,

于是三棱錐N—ABC的高是三棱柱ABC—481G的一半，且它們都以/\ABC為底面，

故Viv-ABC=|x|v=|v,

故VB-AMNC=2x|V=|v.

12.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱

的底面邊長(zhǎng)為3cm,這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為,體積為

________cm3.

答案818^2

解析公共部分是兩個(gè)正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共8面.

四棱錐底面是以35為邊長(zhǎng)的正方形，5=18,其中一個(gè)正四棱錐的高為羋.

V=gx18X^2^X2=18^/2（cm3）.

立綜合提升練

13.（2022?徐州模擬）如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落處，容

器與地面所成的角為30。，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別

是12和18,則容器內(nèi)液體的體積是（）

A.15兀B.367tC.45兀D.48兀

答案C

解析如圖為圓柱的軸截面圖，過(guò)M作容器壁的垂線，垂是為居因?yàn)槠叫杏诘孛?，?/p>

NMNF=30°,

因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)N到容器底部的距離分別是12和18,

故NP=18—12=6,

在RtZ\MFN中，MF=NFXtan30。=2小,即圓柱的底面半徑為點(diǎn)，

所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為小，高為（12+18）的圓柱體積的一半，

即為￡XTIX（?。?X（12+18）=457：.

14.（2022?全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積

分另U為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若薩=2,則已于（）

3乙V乙

A鄧B.2^2C.V10

答案C

解析方法一由甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，

結(jié)合等=2,

可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之比是2：1.

不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為/=3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為八，72,高分別為歷,

h2,

則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6兀的圓,

所以2兀/1=4兀，271T2=2兀，得力=2,r2=1.

由勾股定理得,

r?=小,%2=、/2—不=2廬

翳加故選C.

方法二設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為八，一2,高分別為刀1,fe,

側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為孔1,幾2,

則由興二圖子=工*=2,得〃■二"=2.

S乙兀"〃2兀//2〃2

271

由題意知幾1+物=2兀,

所以〃1=^,〃2=華，

所以2兀門=華/,2?！?=竽/,

得八號(hào)/,r2=/

由勾股定理得，E=邪弓=鼻,

所以段=善=需=①做選

好展沖刺練

15.（多選）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AAi=2,AB=BC=1,ZABC=90°,側(cè)面

AAiGC的中心為。點(diǎn)E是側(cè)棱BBi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列判斷正確的是（）

cG

c

A.直三棱柱的側(cè)面積是4+2吸

B.直三棱柱的體積是g

C.三棱錐E—441。的體積為定值

D.AE+EG的最小值為2吸

答案ACD

解析因?yàn)樵谥比庵鵄BC—ASCi中，A4i=2,A8=BC=1,ZABC=90°,

所以△ABC和△4BC1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1X2X2+

7心+心義2=4+2版故A正確；

直三棱柱的體積V=SAA5C-AAI=1X1X1X2=1,故B不正確；

如圖所示，由221〃平面A41GC,且點(diǎn)￡是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

1

所以三棱錐E—AAi。的高為定值羋,%--X也X2

MO42

所以/棱錐…。=呆坐乂坐=:，為定值,故C正確；

由該棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖易知(圖略),AE+EG的最小值為^/AA?+(AiBi+BiCi)2=^22+(1+1)2

=2吸，故D正確.

16.(2023?榆林模擬)如圖，某款酒杯容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為16M§cm2

的正三角形.若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)杯口高度，則酒杯可

放置圓柱冰塊的最大體積為cm3.

史去256小兀

口木27

解析設(shè)圓錐的底面半徑為rem,圓柱形冰塊的底面半徑為％cm,高為/zem,

由已知可得，1x-^x(2r)2=16^/3,解得廠=4,

/i=(L%>tan60。=小(4—九)，0<x<4.

設(shè)圓柱形冰塊的體積為V,則丫=小技(4一%)，0<x<4.

令#x)=小武(4—x),0<x<4.

則/(%)=3也(8—3%),

則當(dāng)xe(o,§時(shí),f(x)>0,當(dāng)X喏，4)時(shí)，f(x)<o,

_相:_256仍兀

,?/Wmax-JIJ—27,

???酒杯可放置圓柱冰塊的最大體積為空筍cm3.

§7.2球的切、接問(wèn)題

球的切、接問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn).一般圍繞球與其他幾何

體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心.

題型一定義法

例1（1）（2023?宣城模擬）在三棱錐P-A2C中，E4_L平面ABC,E4=2,AB=25AC=4,

N2AC=45。，則三棱錐尸一ABC外接球的表面積是（）

A.14兀B.16兀C.18KD.20兀

答案D

解析在△A4C中，ZBAC=45°,AB=2?AC=4,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2—2ABACcos45。=8+16—2X4X2mX坐=8,

則BC2+AB-=AC2,所以BCLAB,

由平面ABC,8CU平面A8C,得以_LBC,^PA^AB=A,PA,ABU平面出也

所以8C_L平面PAB,

所以BCLPB,

所以APBC為直角三角形,

又△長(zhǎng)!（?為直角三角形，

所以PC是三棱錐產(chǎn)一ABC外接球直徑，設(shè)。是尸C的中點(diǎn)，即為球心,

又AC=4,B4=2,

所以PC=7AC?+必2=q42+22=2下,

所以外接球半徑為小，

所以所求外接球的表面積5=4兀義（?。?=20兀

（2）（2022?新高考全國(guó)H）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為34和4小，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀

C.144兀D.192TI

答案A

解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為|x坐X34=3,|x坐X44

=4.

設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為。，。2,連接。1。2（圖略），則其外接

球的球心O在直線上.

設(shè)球。的半徑為R,當(dāng)球心。在線段。1。2上時(shí)，7?2=32+OO?=42+（1-OOI）2,解得。

=4（舍去）；

當(dāng)球心。不在線段。。2上時(shí)，/?2=42+OC^=32+（l+OO2）2,解得0。2=3,

所以去=25,

所以該球的表面積為4XR2=IOO兀

綜上，該球的表面積為100兀.

思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

跟蹤訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC—ASG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,

ABLAC,AAi=42,則球。的半徑為（）

A3yB.2y[ldC.券D.3-\/lb

答案C

解析由題意作圖如圖，過(guò)球心。作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)

...球O的半徑R=OA=yg>+62=竽.

題型二補(bǔ)形法

例2（1）（2023?大慶模擬）在正方形ABC。中，E,P分別為線段AB,8C的中點(diǎn)，連接。E,

DF,EF,將△ADE,ACDF,ABEF分別沿DE,DF,EF折起，使A,B,C三點(diǎn)重合，得

到三棱錐。一OEF,則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑廠的比值為（）

AEB

A.2y/3B.4^3C.2^6D乖

答案C

解析因?yàn)樵谡叫蜛8CD中，AD±AE,CD±CF,BE1BF,

所以折起后。。，0E,。尸兩兩互相垂直，

故該三棱錐的外接球，即以QD,0E,。尸為棱的長(zhǎng)方體的外接球.

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,則。。=2,OE=\,OF=1,

故2R=7+OE?+。尸=加,則R=坐.

設(shè)內(nèi)切球球心為I,由VO-DEF=1-S^OEF-OD=^,三棱錐O—DEF的表面積5=4,

Vo-DEF=Vl-ODE~^~Vl-ODF~^~%—。所+V/—DEF=]Sr,

所以r=1,則有,=2#.

(2)如圖，在多面體中，四邊形A8CD為矩形，CE_L平面ABC。，A2=2,BC=CE=1,通過(guò)

添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為,

補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為.

答案§6兀

解析如圖，添加的三棱錐為直三棱錐E—ADP,

E

可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱4。/一3?！?

因?yàn)镃E_L平面ABC。，AB=2,

BC=CE=1,

所以SABCE=；CEXBC=g乂1X1=J,

直三棱柱ADF-BCE的體積

V=SABCE-AB=1X2=1,

添加的三棱錐的體積為

方法一如圖，分別取AF,BE的中點(diǎn)N,連接MN,與AE交于點(diǎn)。,

因?yàn)樗倪呅蜛EEB為矩形，所以。為AE,MN的中點(diǎn)，在直三棱柱AOF-8CE■中，?！辏?/p>

面ABCD,

所以平面A8CD,即NEC2=NFZM=90。，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三

棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)O,A0即為球的半徑，

1、歷

因?yàn)锳M=2AF=2>MO=1,

i3

所以AO2=AM2+M02=5+1=],

所以外接球的表面積為4兀4。2=6兀.

方法二因?yàn)镃E,CB,CD兩兩垂直，故將直三棱柱AOP—BCE補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)外接球的

半徑為R,4/?2=12+12+22=6,所以外接球的表面積S=4兀肥=6兀

思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略

①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求

解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.

(2)正方體與球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論

正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=W；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2R=-\j2a.

(3)若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=亞奇”.

跟蹤訓(xùn)I練2(1)在三棱錐A—8。中，側(cè)棱AS,AC,兩兩垂直，AABC,△AC。，AADB

的面積分別為坐，坐，坐，則三棱錐A—30的外接球的體積為()

A.加兀B.2#nC.3y[6itD.4、兩兀

答案A

解析在三棱錐A—BCD中，側(cè)棱42,AC,A。兩兩垂直，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球

是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑.

設(shè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,由題意得"=,，ac=y[3,bc=yf2,

解得。=3，b=-^2,c=l,所以球的直徑為。（市）2+（、「）2+1=,,它的半徑為半，球的

體積為華X【坐｝=觀兀

⑵（2023?焦作模擬）已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且PA=3y[2,

PB=PC=5,則該三棱錐的外接球的表面積為.

答案34兀

解析根據(jù)題意，三棱錐P—ABC可以嵌入一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長(zhǎng)方體的

面對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為。，b,c,如圖所示，

則°2+62=必2=18,CT+C2=PB2=25,b2+c2=PC2=25,解得a=3,6=3,c=4.所以該三

棱錐的外接球的半徑才=一心2+°2=.3272+42=華所以該三棱錐的外接球的表面積

5=4無(wú)7?2=47iX￡^^2=34兀

題型三截面法

例3（1）四棱錐尸一ABC。的頂點(diǎn)都在球。的表面上，△%￡）是等邊三角形，底面A2C。是

矩形，平面平面A8C。，若AB=2,BC=3,則球。的表面積為（）

A.1271B.16兀C.20KD.32冗

答案B

解析如圖，連接AC,BD,ACHBD^G,取的中點(diǎn)E,連接PE.

四邊形4BCD為矩形，；.G為四邊形ABC。的外接圓圓心；

在線段PE上取ME=^PE,

?.?△必。為等邊三角形，為△24。外接圓圓心，

過(guò)G,M分別作平面428和平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)即為球。的球心0,連接

0P,

?△小。為等邊三角形，：.PE±AD,

:平面R1￡)_L平面ABC。，平面E4￡>n平面A2C￡)=A。，PEU平面B4。，

平面ABC。，J.PE//OG-,

同理可得，0M〃EG,.?.四邊形。MEG為矩形；

；.0M=EG=%B=l,PM號(hào)PE號(hào)9號(hào)=小,

：.OP=y/OM2+PM2=2,即球。的半徑R=2,

.?.球0的表面積S=4TIR2=167t.

(2)如圖所示，直三棱柱ABC—A山Ci是一塊石材，測(cè)量得/A8C=90。，AB=6,8c=8,AAi

=13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球

的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()

?32兀/

A亍4

C.6兀，4

D

解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大.易知

AC=^/AB2+BC2=10,設(shè)健身手球的半徑為R,則3><(6+8+10)XR=T><6X8,解得R=2.

則健身手球的最大直徑為4.

因?yàn)锳4=13,所以最多可加工3個(gè)健身手球.

44327r

于是一個(gè)健身手球的最大體積U=$R=3X23=等.

思維升華(1)與球截面有關(guān)的解題策略

①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的

距離相等且為半徑；

②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的.

⑵正四面體的外接球的半徑尺=坐4,內(nèi)切球的半徑尸將，其半徑之比R：廠=3：1(〃為該

正四面體的棱長(zhǎng)）.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2022?淮北模擬）半球內(nèi)放三個(gè)半徑為小的小球，三小球兩兩相切，并且與球

面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）

A.1+SB.V3+V5C.3+巾D./+巾

答案D

解析三個(gè)小球的球心Q,。2,。3構(gòu)成邊長(zhǎng)為2小的正三角形，則其外接圓半徑為2.設(shè)半

球的球心為。，小球。1與半球底面切于點(diǎn)A

如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，。，A作半球的截面，則半圓。。的半徑為。C,OCLOA,作。

于點(diǎn)B.

則0A=。出=2.設(shè)該半球的半徑是R,在RtZ^OAOi中，由（R—5）2=2?+（?。究傻肦=5+

市.

（2）（2021.天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為32等7r，

兩個(gè)圓錐的高之比為1：3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

答案B

解析如圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐AD和圓錐8。的高之比為3：I,

即AD=3BD,

設(shè)球的半徑為R,則竽=爭(zhēng)，可得R=2,

所以AB^AD+BD^4BD^4,

所以2。=1,A￡）=3,

因?yàn)镃O_LA8,AB為球的直徑，

所以△ACr）s2\cBD,

所以條=盥，所以CD=ylAD-BD=5

LLJDL）vY

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為

；兀XCD2(AD+80)=￡兀X3義4=4兀

課時(shí)精練

1.（2023?岳陽(yáng)模擬）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在某球面上，則該球體的體積為（）

人.多事兀B.4小兀C.8兀D.12兀

答案B

解析因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線等于外接球的直徑，且正方體的棱長(zhǎng)為2,

故該球的直徑2氏=嚴(yán)百S=2$.所以尺=小.故該球的體積V=%R3=4小兀

2.己知在三棱錐P-ABC中，AC=巾,BC=1,AC_L2C且E4=2PB,尸3_L平面ABC,則

其外接球體積為（）

A.與B.4兀C,^|^D.4小兀

答案A

解析AB=yjAC2+BC2=小,設(shè)PB=h,則由B4=2P8,可得〃3+層=2九解得/7=1,可

將三棱錐P—ABC還原成如圖所示的長(zhǎng)方體，則三棱錐P—ABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接

球，設(shè)外接球的半徑為R,則2區(qū)=勺12+他）2+]2=2,R=I,

所以其外接球的體積V=yZ?3=y.

3.（多選）己知三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上,平面

AB=2,AC=2小,點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作球。的截面，則截面的面積可以是（）

71

A，2B.7iC.9兀D.13兀

答案BCD

解析三棱錐尸一A8C的外接球即為以AB,AC,AP為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球,

27?=^62+22+(2^3)2=2713,

：.R=y/l3,

取BC的中點(diǎn)Oi,

01為ZkABC的外接圓圓心,

A001ABC,如圖.

當(dāng)。。_1_截面時(shí)，截面的面積最小，

；0。=、00?+0廳

=、32+（?。?=2升,

此時(shí)截面圓的半徑為r=-\jR2—Ob2=l,

，截面面積為Tirz=n,

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大為兀笈=13%，

故截面面積的取值范圍是［兀，13兀］.

4.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為（）

A.7iB.2兀C.3兀D.4兀

答案C

解析過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓。01和外接圓。。2,

且兩圓同圓心，即△ABC的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，

由題意得。。1的半徑為r=l,：.AABC的邊長(zhǎng)為2季,

...圓錐的底面半徑為小，高為3,

V=|XKX3X3=3TC.

____4jr

5.已知一個(gè)三棱柱，其底面