浙江省2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月聯(lián)考試題含答案

考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分（共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有1項符合題目要求.1.已知向量，點，則點B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，則，因為，所以，又，所以，所以點B的坐標(biāo)為，故選：A.2.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，，，所以正弦定理可得：，所以，則.故選：C.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算即可.【詳解】因為，則，故ABC錯誤；所以，所以.故選：D.4.已知平面平面，直線滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用空間線面、面面垂直與平行的關(guān)系即可判斷出結(jié)論．【詳解】平面α⊥平面β，則“”?“或m?β或m與β相交”，反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=，在l上任取一點A，在α內(nèi)過A作AB⊥l，則AB⊥平面β，又m⊥β，可得，∴；則“”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選B．【點睛】本題考查了空間線面面面垂直與平行的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知圓錐側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)題意可求得母線l，底面半徑r，根據(jù)勾股定理，可求得圓錐的高h，代入體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐母線長為lcm，底面半徑為rcm，如圖所示，由題意得：，所以母線cm，所以側(cè)面展開半圓的弧長為cm，所以底面圓的周長為，即，所以底面半徑cm，所以該圓錐的高cm，所以圓錐的體積.故選：C6.若數(shù)據(jù)、、?的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，利用平均數(shù)的定義求解A，B，利用標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系求解C，D即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、?、平均數(shù)是4,則，解得而數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5,可得，由方差公式可得，，，解得，故D正確.故選：D.7.在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線與所成角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別取的中點，可得是異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），在中，由余弦定理求解即可.【詳解】分別取的中點，連接，所以，所以異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），即，設(shè)，所以，，所以在中，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.8.在等腰中，，若點M為的垂心，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】合理作圖，建立平面直角坐標(biāo)系，利用垂心的性質(zhì)得到之間的關(guān)系，進而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.【詳解】如圖，在等腰中，找底邊的中點，作，，交點即為垂心，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，故，，，故，，，故，設(shè)，故，則，故，又，故，而，則，解得，故，故，解得，可得，易得，，可得，可得，解得，由三線合一性質(zhì)得平分，故，而，由二倍角公式得，故，故C正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后表利用垂心的性質(zhì)結(jié)合二倍角公式求出，最后得到即可．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列說法正確是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限 B.C.（是z的共軛復(fù)數(shù)） D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A；由復(fù)數(shù)的乘法運算和共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷BC；由復(fù)數(shù)模的幾何意義可判斷D.【詳解】因為，對于A，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，，，故C正確；對于D，，則點表示以為圓心，為半徑的圓，表示點到原點的距離，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差【答案】AC【解析】【分析】由折線圖提供的數(shù)據(jù)進行計算估值判斷．【詳解】由折線圖知最大值是40，最小值是25，極差是15，A正確；平均值為，B錯；10年數(shù)據(jù)按從小到大排序為：，中位數(shù)為，C正確；前5年數(shù)據(jù)波動比后5年數(shù)據(jù)波動要小，因此前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年糧食年產(chǎn)量的方差，D錯．故選：AC．11.如圖，已知正方體的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點P，使平面B.三棱錐的體積為定值C.若，則P點在正方形底面ABCD內(nèi)的運動軌跡長為D.若點P是AD的中點，點Q是的中點，過P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等體積法可計算出三棱錐的體積，可判斷選項B，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)線面平行的向量表示和垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項B，C，利用線面垂直的判定定理得平面，再證明四點共面，從而得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得平面截正方體的截面為正六邊形，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)計算面積即可判斷選項D.【詳解】對于B，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，B正確；對于A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，若平面，則，所以，即表示線段，則當(dāng)點在線段時，平面，所以存在點，使得平面，A正確；對于C，，若，，即，所以點的軌跡就是線段，軌跡長為，C正確；對于D，如圖取中點，連接，由題可得，平面，連接，因為，平面，則，，又，

平面，則平面，又取中點為，則，有四點共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點，故是中點，是中點，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長為，則，故截面面積為，D錯誤.故選：ABC非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，若，，，則最小角的余弦值＝______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)性質(zhì)大邊對大角確定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值.【詳解】因，，，所以，所以，又，所以最小角的余弦值為，故答案為：.13.若虛數(shù)是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)虛根成對原理可知方程的另一個虛根為，再由韋達定理計算可得.【詳解】因為是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，所以方程的另一個虛根為，所以，解得，，所以.

故答案為：14.我國歷史悠久，各地出土文物眾多.甲圖為湖北五龍宮遺址出土的道家篆書法印.圖乙是此印章中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖乙所示，在邊長為2的正八邊形ABCDEFGH中，P是正八邊形邊上任意一點，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求，取AC中點，根據(jù)向量運算法則化簡可得，求，再求的最大值，可得結(jié)論.【詳解】正八邊形內(nèi)角和為，則，取AC中點，則，所以，又，所以由對稱性可得，所以，過點分別作，垂足為，則都為等腰直角三角形，且，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，，，的夾角為.（1）；（2）若，求實數(shù)；（3）若與的夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積定義求，結(jié)合向量的模的性質(zhì)和數(shù)量積運算律求；（2）根據(jù)向量垂直關(guān)系列方程，結(jié)合數(shù)量積運算律化簡方程可求；（3）根據(jù)數(shù)量積性質(zhì)由條件列不等式求的范圍.【小問1詳解】∵，∴，∴【小問2詳解】∵,∴，得【小問3詳解】由已知，且與不共線，由可得，，所以，若與共線，則可得，所以，所以由與不共線可得，所以且，所以的取值范圍為，且.16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面ABC，，，M，N分別為，AC的中點.（1）求證：平面；（2）求直線MN與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點K，借助三角形中位線性質(zhì)及線面平行的判定推理即得.（2）根據(jù)給定條件，作出在平面上的射影，再在直角三角形中求解即可.【小問1詳解】取BC中點K，連接NK，，由M為的中點，得，且，又N為AC的中點，則，且，因此四邊形是平行四邊形，即，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在三棱柱中，過點M作于，接NQ，而平面ABC，則平面ABC，即平面，平面，于是，平面，則平面，直線MN與平面所成角為，由，，得是等腰直角三角形，，而，則，，因此，所以直線MN與平面所成角的正弦值為.17.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行營銷形式.某直播平臺有1000個直播商家，對其進行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽樣的方式抽取80個直播商家進行問詢交流.（1）應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的80個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的75百分位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質(zhì)商家”的個數(shù).【答案】（1）小吃類28家，生鮮類12家（2）（i）75百分位數(shù)為487.5元，平均數(shù)為440元，（ii）個數(shù)為280【解析】【分析】（1）由題意求出小吃類所占的百分比，進而求出應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家的數(shù)目；（2）（i）由頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和，求出，再由百分位數(shù)和平均數(shù)的計算公式求解即可；（ii）先求出平均日利潤超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”所占的比列，即可得出答案.【小問1詳解】根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家，所以應(yīng)抽取小吃類28家，生鮮類12家.【小問2詳解】（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)75百分位數(shù)為x，因為，所以，解得，所以該直播平臺商家平均日利潤的75百分位數(shù)為487.5元.平均數(shù)為，所以該直播平臺商家平均日利潤的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為280.18.在中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求角；（2）若點M在邊上BC滿足，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）法一：先量化結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.法二：利用雙余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】由，由正弦定理得，即，所以，又，所以；【小問2詳解】法一：由M在邊BC上滿足，可得，兩邊平方可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，所以，所以，即面積的最大值為.法二：由，則，由余弦定理可得，即，可得，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，所以，所以，即面積的最大值為.19.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面ABCD，且，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（2）設(shè)H點是AD的中點，若面EDB與面ABCD所成二面角的大小為，求四棱錐的外接球的表面積.【答案】（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別是，，，（2）【解析】【分析】（1）先證明，，由線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，通過判斷四面體的各面形狀，判斷是否為鱉臑，并寫出直角；（2）找中點，連接，過作，連接，證明就是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，解三角形可得，利用正弦定理求的外接圓半徑，由此確定的外接圓圓心，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定球心和球的半徑，利用球的表面積公式可得結(jié)論.【小問1詳解】因為底面，平面所以，因為為長方形，所以，因為，平面所以平面，因為平面，所以，因為