高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題

第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線及函數(shù)零點(diǎn)問題高考定位在高考試題導(dǎo)數(shù)壓軸題中，以含指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為截體，考查函數(shù)零點(diǎn)問題、與方程根相關(guān)問題及函數(shù)圖象交點(diǎn)問題是高考命題一個(gè)熱點(diǎn).1/34真題感悟(·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)兩個(gè)零點(diǎn)，證實(shí)：x1＋x2<2.(1)解

f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).①設(shè)a＝0，則f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).②設(shè)a>0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.2/343/344/34考

點(diǎn)

整

合1.求曲線y＝f(x)切線方程三種類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y＝f(x)過點(diǎn)P切線方程：求出切線斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線斜率為k，求y＝f(x)切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，經(jīng)過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y＝f(x)切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.5/342.三次函數(shù)零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)情況下，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值也趨向∞，只要按照極值與零大小關(guān)系確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1＜x2函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)零點(diǎn)分布情況以下：a符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a＞0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)＜0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個(gè)f(x2)＜0兩個(gè)f(x1)＝0或者f(x2)＝0三個(gè)f(x1)＜0且f(x2)＞06/343.(1)研究函數(shù)零點(diǎn)問題或方程根問題思緒和方法研究函數(shù)圖象交點(diǎn)、方程根、函數(shù)零點(diǎn)，歸根到底還是研究函數(shù)圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸交點(diǎn)等，其慣用解法以下：①轉(zhuǎn)化為形如f(x1)·f(x2)＜0不等式：若y＝f(x)滿足f(a)f(b)＜0，則f(x)在(a，b)內(nèi)最少有一個(gè)零點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域：零點(diǎn)及兩函數(shù)交點(diǎn)問題即是方程g(x)＝0有解問題，將方程分離參數(shù)后(a＝f(x))轉(zhuǎn)化為求y＝f(x)值域問題；③數(shù)形結(jié)合：將問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝g(x)交點(diǎn)問題，利用函數(shù)圖象位置關(guān)系處理問題.7/34(2)研究兩條曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)基本方法①數(shù)形結(jié)正當(dāng)，經(jīng)過畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，研究圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案.②函數(shù)與方程法，經(jīng)過結(jié)構(gòu)函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù).8/34熱點(diǎn)一函數(shù)圖象切線問題

[微題型1]單一考查曲線切線方程【例1－1】(1)(·全國Ⅱ卷)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2切線，也是曲線y＝ln(x＋1)切線，則b＝________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處切線l與直線x－6y－7＝0垂直，則直線l與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為(

)A.1 B.3C.9 D.129/3410/34答案(1)1－ln2

(2)B11/34探究提升

利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間關(guān)系為載體求參數(shù)值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)絡(luò)起來求解.12/34[微題型2]綜合考查曲線切線問題【例1－2】

已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t取值范圍.13/3414/34當(dāng)x改變時(shí)，g(x)與g′(x)改變情況以下：所以，g(0)＝t＋3是g(x)極大值，g(1)＝t＋1是g(x)極小值.當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，1]和[1，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn).15/34當(dāng)g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1時(shí)，因?yàn)間(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分別在區(qū)間[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)間(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)，所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切時(shí)，t取值范圍是(－3，－1).16/34探究提升

處理曲線切線問題關(guān)鍵是求切點(diǎn)橫坐標(biāo)，解題時(shí)先不要管其它條件，先使用曲線上點(diǎn)橫坐標(biāo)表示切線方程，再考慮該切線與其它條件關(guān)系，如本題第(2)問中切線過點(diǎn)(1，t).17/34【訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x)＝x3－x.(1)設(shè)M(λ0，f(λ0))是函數(shù)f(x)圖象上一點(diǎn)，求圖象在點(diǎn)M處切線方程；(2)證實(shí)：過點(diǎn)N(2，1)能夠作曲線f(x)＝x3－x三條切線.18/34因?yàn)間(λ)在R上只有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值－5，所以過點(diǎn)N能夠作曲線f(x)＝x3－x三條切線.19/34熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)處理與函數(shù)零點(diǎn)(或方程根)相關(guān)問題[微題型1]討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)20/3421/3422/3423/34探究提升

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想來求解.這類問題求解通法是：(1)結(jié)構(gòu)函數(shù)，這是處理這類題關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.24/34[微題型2]依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍【例2－2】

(·麗水模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，a∈R).25/3426/3427/34探究提升

研究方程根(或函數(shù)零點(diǎn))情況，能夠經(jīng)過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最大值、最小值、改變趨勢等，并借助函數(shù)大致圖象判斷方程根(函數(shù)零點(diǎn))情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中主要應(yīng)用.28/34(1)求函數(shù)f(x)解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證實(shí).29/3430/3431/3432/341.求曲線切線方程方法是利用切線方程公式y(tǒng)－y0＝f′(x0)(x－x0)，它難點(diǎn)在于分清“過點(diǎn)P切線”與“在點(diǎn)P處切線”差異.突破這個(gè)難點(diǎn)關(guān)鍵是了解這兩種切線不一樣之處于哪里，在過點(diǎn)P(x0，y0)切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P(x0，y0)處切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，則此時(shí)切線方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).33/342.我們借助于導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)，不一樣問題，比如方程解、直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)、兩函數(shù)