北京市石景山區(qū)2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題 （解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市石景山區(qū)2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，所以，故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.故選：D3.在的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為()A.10 B.-10 C.40 D.-40【答案】D【解析】∵,∴當(dāng)時(shí),.∴,故選D.4.在中，若，則（）A B. C.1 D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，即，由正弦定理，所以，所以，又，所以，所?故選：A5.已知x，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，故B正確；因?yàn)?，而余弦函?shù)在上不單調(diào)，如，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，由于?dāng)時(shí)，恒有，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在上且，則，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯(cuò)誤.故選：C7.等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】已知等比數(shù)列中，若，設(shè)公比為.根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即，解得.再根據(jù)通項(xiàng)公式求，所以由能推出，充分性成立.

若，同樣根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即，解得，則.又因?yàn)椋杂赡芡瞥?，必要性成?由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.

故選：C.8.經(jīng)研究表明，糖塊的溶解過程可以用指數(shù)型函數(shù)（a，k為常數(shù)）來描述，其中S（單位：克）代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量．現(xiàn)將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入到一定量的水中，在第5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，即.故選：A.9.已知點(diǎn)M，N為圓上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q為線段中點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】已知圓的方程為，將其配方可得.可知該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.

因?yàn)辄c(diǎn)為線段MN的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知.已知，則.在中，根據(jù)勾股定理.所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

已知點(diǎn)在直線上，可得圓心到直線的距離為：.

因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，即故選：B.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），給出下列三個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)Q，都有；②存在點(diǎn)Q，使得平面；③過點(diǎn)Q且與垂直的平面截正方體所得截面面積的最大值為．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于①，，則，所以，即，故①正確；對(duì)于②，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，要使平面，則，則，即，不符合題意，所以不存在點(diǎn)Q，使得平面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如下圖，在平面內(nèi)作⊥，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作在平面內(nèi)作⊥交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，截面面積最大，此時(shí)，，截面面積為，故③對(duì).故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若，則___________.【答案】2【解析】，，所以故答案為：12.如圖，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為______【答案】【解析】由題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則.故答案為：.13.設(shè)，，，則______．【答案】【解析】由，得，因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：.14.已知雙曲線，若，則雙曲線的漸近線方程為______；若雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D使得四邊形為正方形，則m的一個(gè)取值為______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，雙曲線為，此時(shí)，則雙曲線的漸近線方程為.雙曲線，即，其漸近線方程為，要使雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)滿足四邊形是正方形，根據(jù)正方形的對(duì)稱性可得正方形的對(duì)稱中心在原點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，則，解得，可取.故答案為：；（答案不唯一）.15.高斯取整函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，．有如下四個(gè)結(jié)論：①若，則；②函數(shù)與函數(shù)無公共點(diǎn)；③；④所有滿足點(diǎn)組成區(qū)域的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】對(duì)于①：若，則，則，，即，故①正確；對(duì)于②：函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得函數(shù)與函數(shù)無公共點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為，綜上點(diǎn)組成區(qū)域的面積為，故④正確．故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)（其中，，）．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知，使得函數(shù)唯一確定．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．條件①：；條件②：是的對(duì)稱中心；條件③：可以由函數(shù)平移得到．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答．按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）①，由，得；②，由是的對(duì)稱中心，得，則，；③，由，因?yàn)榭梢杂珊瘮?shù)平移得到，則，.由上述可知，要使函數(shù)唯一確定，則必須要選③.選①③，由上述可知，，，，則，即，所以或，，則或，，又，則，即.選②③，由上述可知，，，，，則，，即，，又，則，即.（2）由，得，則，則，所以函數(shù)在上的最大值為2，最小值為.17.某市在高中階段舉辦“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，全體高中生參與了此次活動(dòng)．現(xiàn)從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各30名學(xué)生，將他們的成績(jī)（單位：分）按，，，，五個(gè)分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)男生人數(shù)361182女生人數(shù)ab1242（1）在抽取60名學(xué)生中，從成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分?jǐn)?shù)段不同的概率；（2）從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)成績(jī)?cè)?0分及以上的人數(shù)為X，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a，b的值，使得抽取的女生成績(jī)方差最?。ńY(jié)論不要求證明）解：（1）確定成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生人數(shù)，男生中成績(jī)?cè)诘挠?人，在的有2人，共人；女生中成績(jī)?cè)诘挠?人，在的有2人，共人.所以成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生共有人.

從這16人中隨機(jī)抽取2人的總組合數(shù)為種.

要滿足恰好男、女生各1人且分?jǐn)?shù)段不同，分兩種情況：男生從選，女生從選，有種選法.

男生從選，女生從選，有種選法

所以滿足條件的選法共有種.

根據(jù)古典概型概率公式所求概率.（2）從男生中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)?cè)?0分及以上的概率為.

從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)成績(jī)?cè)?0分及以上的人數(shù)為X，因?yàn)槊看纬槿∈窍嗷オ?dú)立的，且概率相同，所以X服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，即.

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，可得：.

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所以X的分布列為：X01234P根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，可得.（3）因?yàn)槌槿〉呐?0人，所以，即.當(dāng)數(shù)據(jù)越集中時(shí)方差越小，所以當(dāng)時(shí)，抽取的女生成績(jī)方差最小.18.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）點(diǎn)M在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)M到平面的距離．（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）解：記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)?，，，所以四邊形是矩形，則，，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）解：依題意，設(shè)，則，又由（2）得平面的一個(gè)法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知橢圓過點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，．設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．試問點(diǎn)是否在某定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．解：（1）依題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）在定直線上，理由如下：設(shè)點(diǎn)與直線聯(lián)立消去整理得，由，且，所以，易知，，則，，兩式作商得，解得，故在定直線上.20.已知函數(shù)．（1）若，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）證明：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（2）若實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的取值范圍．解：（1）（i）當(dāng)時(shí)，則，又，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；（ii）因?yàn)?，，令，，則，當(dāng)時(shí)，所以，所以即在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，則，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，又，，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；②當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理知，，使得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)任意單調(diào)遞增，所以，不滿足題意.綜上，的取值范圍為.21.已知有窮數(shù)列：，，…，經(jīng)過一次M變換后得到數(shù)列：，，…，，．其中，表示a，b中的最小者．記數(shù)列A的所有項(xiàng)之和為．（1）若：1，3，2，4，寫出數(shù)列并求；（2）若：，，…，是1，2，3，…，n的一個(gè)排列，例如，當(dāng)時(shí)，4，1，3，2可以為1，2，3，4的一個(gè)排列．（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）若經(jīng)過一次M變換后得到數(shù)列，求的最小值．解：（1）由題意，，即1，2，2，1．所以．（2）（i）