【排列數(shù)與組合數(shù)計算7大題型】

【排列數(shù)與組合數(shù)的計算】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與?？碱}型【題型1：排列數(shù)的計算】知識講解知識講解1.排列的概念從個不同元素中取出（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。2.排列數(shù)的定義從個不同元素中取出（）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示。3.排列數(shù)的計算公式 公式形式：。 推導(dǎo)過程：對于第一個位置，有種選擇；選了第一個位置的元素后，第二個位置就有種選擇；第三個位置有種選擇；以此類推，第個位置就有種選擇。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，將每個位置的選擇數(shù)相乘，就得到了排列數(shù)的計算公式。 階乘形式：，其中。例如。當(dāng)時，，稱為個元素的全排列。4.計算示例 例如，計算，根據(jù)公式。 再如，計算，。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·山西·階段練習(xí)）若是正整數(shù)，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）下列等式中，不正確的是（

）A． B．C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·海南三亞·階段練習(xí)）求的值為.【相似題2】（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）用排列數(shù)表示且．【題型2：排列數(shù)公式的證明】知識講解知識講解1.排列數(shù)公式回顧排列數(shù)公式為，其中表示元素的總數(shù)，表示選取的元素個數(shù)，。2.用分步乘法計數(shù)原理證明 第1步：從個不同元素中選一個放在第一個位置，有種選法。 第2步：在剩下的個元素中選一個放在第二個位置，有種選法。 第3步：在剩下的個元素中選一個放在第三個位置，有種選法。 …… 第步：在剩下的個元素中選一個放在第個位置，有種選法。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，完成這件事（即從個不同元素中取出個元素進行排列）共有種不同的方法，所以。3.證明因為，那么，分子分母約去后，就得到，而前面已證，所以。例題精選例題精選【例題1】多選題（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【例題2】多選題（2122高二上·全國·課后作業(yè)）（多選題）下列等式中成立的是（）A． B．C． D．【例題3】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）證明下列等式．(1)；(2)．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求解下列問題：(1)計算：；(2)求證：．【相似題2】（2223高二·全國·課堂例題）求證：．【相似題3】（2223高二·全國·課堂例題）證明：．【題型3：排列的解方程與不等式】知識講解知識講解排列數(shù)解方程1.根據(jù)排列數(shù)公式展開 首先將方程中涉及的排列數(shù)根據(jù)公式展開。例如，對于方程，根據(jù)公式展開得到。2.化簡方程 對展開后的式子進行化簡。在中，展開括號得，移項化為。3.求解方程 通過試值法、因式分解等方法求解方程。對于，可以先嘗試一些簡單的整數(shù)，如時，，所以是方程的一個因式。然后利用多項式除法或綜合除法將方程因式分解為。對于二次方程，其判別式，無實數(shù)根，所以原方程的解為。同時要注意，因為排列數(shù)中且，所以要舍去不符合條件的解。排列數(shù)解不等式1.根據(jù)排列數(shù)公式展開 與解方程類似，先將不等式中的排列數(shù)按照公式展開。例如，對于不等式，展開得到。2.化簡不等式 把展開后的式子進行化簡，可化為。3.求解不等式 對于一元二次不等式，先因式分解為，得到或。又因為且在排列數(shù)中（這里），所以不等式的解集為且。同樣，要根據(jù)排列數(shù)的定義和條件，對解進行篩選和取舍，確保解符合實際意義例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·新疆哈密·階段練習(xí)）已知，則等于（

）A．12 B．7 C．6或13 D．6【例題2】（2324高二下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【例題3】（2324高二下·河南鄭州·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高三·上?！ふn堂例題）若，則.【相似題2】（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（1）計算：；（2）解不等式：.【相似題3】（2425高三·上海·課堂例題）求滿足的整數(shù)的值.【題型4：組合數(shù)的計算】知識講解知識講解1.定義式 從個不同元素中取出（）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作。其計算公式為，其中是排列數(shù)。2.階乘表示式 由排列數(shù)公式，以及，將其代入組合數(shù)定義式可得。例如，計算，則。3.性質(zhì)推導(dǎo)式 性質(zhì)1：。這是因為從個元素中取個元素的組合與從個元素中取個元素的組合是一一對應(yīng)的。例如，，與的值相等。 性質(zhì)2：?？梢赃@樣理解，從個元素中取個元素的組合數(shù)，等于從個元素中取個元素的組合數(shù)加上從個元素中取個元素的組合數(shù)。比如，要從個元素中選個元素，可先把其中一個元素單獨拿出來，那么選法就分為兩類，一類是不選這個特殊元素，從剩下個元素中選個，即；另一類是選這個特殊元素，那么就需要從剩下個元素中選個，即，所以。利用這個性質(zhì)，可以通過已知的組合數(shù)來計算其他組合數(shù)，在一些計算中能簡化過程。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·福建三明·階段練習(xí)）（

）A．9 B．10 C．19 D．20【例題2】（2425高二下·河北滄州·階段練習(xí)）計算的值為（

）A．24 B．32 C．33 D．34【例題3】（2425高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知，則【相似題2】（2425高二下·山東泰安·階段練習(xí)）（1）計算：；（2）若，求的值.（3）化簡求值：.【相似題3】（2425高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）（1）解方程：；（2）計算：；（3）計算.【題型5：組合數(shù)公式的證明】知識講解知識講解利用組合數(shù)的定義證明1.明確組合與排列的概念 組合是從個不同元素中取出個元素并成一組，不考慮元素的順序。而排列是從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列。2.分析排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 對于從個不同元素中取出個元素的排列，它包含了兩部分：一是從個元素中選出個元素的組合過程，二是對選出的個元素進行全排列的過程。 從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)為，而對這個元素進行全排列的排列數(shù)為。3.得出組合數(shù)公式 因為是由與兩個步驟得到的，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有，那么。利用階乘表示證明1.根據(jù)排列數(shù)公式展開 已知排列數(shù)公式，且。2.代入組合數(shù)公式 由，將和代入可得。證明組合數(shù)的性質(zhì)1.從組合的定義出發(fā) 表示從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)。 那么從個不同元素中取出個元素后，剩下的元素個數(shù)為個，從個元素中取個元素的組合數(shù)為。2.建立一一對應(yīng)關(guān)系 對于從個元素中取個元素的每一種組合，都對應(yīng)著一種從個元素中取個元素的組合，即取了個元素后，剩下的就是個元素的組合，反之亦然。所以。證明組合數(shù)的性質(zhì)1.分類討論 考慮從個不同元素中取出個元素的組合情況。 設(shè)這個元素中有一個特殊元素。2.分析含特殊元素與不含特殊元素的組合數(shù) 一類是取出的個元素中不包含特殊元素，那么這種組合數(shù)就是從除之外的個元素中取出個元素的組合數(shù)，即。 另一類是取出的個元素中包含特殊元素，那么相當(dāng)于從除之外的個元素中取出個元素，再加上特殊元素，這種組合數(shù)為。3.得出結(jié)論 從個元素中取個元素的組合數(shù)，就等于上述兩類組合數(shù)之和，即。例題精選例題精選【例題1】多選題（2425高二下·山東·階段練習(xí)）排列數(shù)和組合數(shù)都有豐富的性質(zhì)和實際應(yīng)用，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【例題2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：【例題3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）利用倒序相加法證明：．【相似題2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：.【相似題3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：．【題型6：組合數(shù)方程與不等式】知識講解知識講解1.化簡不等式 利用組合數(shù)公式，將不等式中的組合數(shù)展開并化簡，盡量將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的較為簡單的表達式。例如，對于不等式，根據(jù)組合數(shù)公式可將其化為，進一步化簡得到。2.求解不等式 根據(jù)化簡后的不等式進行求解。 如果是一元不等式，可按照常規(guī)的解不等式方法進行求解。如對于上述化簡后的不等式，兩邊同時乘以去分母得，然后移項、因式分解得，即，通過分析根的情況，得到不等式的解為或，又因為且，所以且。 如果是含有多個變量的不等式，可能需要根據(jù)變量的取值范圍進行分類討論，或者利用一些組合數(shù)的性質(zhì)來進一步分析求解。例如，對于不等式，利用組合數(shù)性質(zhì)，則不等式可化為，進一步求解可得，再結(jié)合以及等條件確定和的取值范圍。3.檢驗結(jié)果 將求得的解代入原不等式進行檢驗，確保解的正確性。因為在化簡和求解過程中可能會出現(xiàn)一些增根或忽略一些條件限制的情況，所以檢驗是必不可少的步驟。例如在上述例子中，將代入原不等式，即，，滿足，說明且是正確的解。同時，要檢查解是否滿足組合數(shù)中對和的取值要求，如且等條件。4.確定最終答案 根據(jù)檢驗結(jié)果，確定不等式的最終解集。解集要以符合題目要求的形式表示出來，比如如果是求正整數(shù)解，就將滿足條件的正整數(shù)列舉出來或用集合表示；如果是求取值范圍，就用區(qū)間或不等式的形式表示。例如，對于上述不等式的解為且，可以用集合來表示其解集。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）已知，則的值是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或6【例題2】（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若，則.【例題3】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）已知，則．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）已知組合數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．【相似題2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）若，則.【相似題3】（2425高二下·山東濟寧·階段練習(xí)）解下列方程.(1)若，求.(2)(3).【題型7：組合數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（重難點）】知識講解知識講解組合數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：。 解釋：從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，與從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)是相等的。例如，從個元素中選個元素的組合數(shù)，與從個元素中選個元素的組合數(shù)是一樣的。這是因為選出個元素后，剩下的就是個元素，所以這兩種選法的數(shù)量是相同的。 應(yīng)用：在計算組合數(shù)時，如果接近，可以利用此性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為來簡化計算，因為可能更小，計算起來更簡便。2.組合數(shù)的遞推公式：。 解釋：考慮從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)。可以把這個元素分成兩類，一類是特定的一個元素，另一類是其余個元素。那么從個元素中取個元素的組合可以分為兩種情況：一種是不包含元素的，即從其余個元素中取個元素，組合數(shù)為；另一種是包含元素的，那么就需要從其余個元素中取個元素，組合數(shù)為。所以。 應(yīng)用：常用于組合數(shù)的計算和證明，例如在楊輝三角中，每一行的數(shù)字都是組合數(shù)，就可以利用這個遞推公式來計算下一行的組合數(shù)。同時，在一些證明題中，也可以通過這個公式對組合數(shù)進行變形和推導(dǎo)。3.。 解釋：從個不同元素中取出個、個、個、、個元素的組合數(shù)之和，等于?？梢詮募系慕嵌葋砝斫猓瑢τ谝粋€有個元素的集合，它的子集個數(shù)為，而子集的個數(shù)可以通過計算從個元素中取個元素（空集）、取個元素、取個元素……取個元素（全集）的組合數(shù)之和得到。 應(yīng)用：在一些概率問題和組合計數(shù)問題中，如果需要計算所有可能情況的總數(shù)，就可以利用這個性質(zhì)。例如，在拋次硬幣的試驗中，所有可能的結(jié)果總數(shù)就可以用來表示，也可以理解為從次拋硬幣中，出現(xiàn)次正面、次正面、次正面……次正面的所有組合數(shù)之和。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高二上·江蘇常州·期末）（

）A．55 B．120 C．165 D．220【例題3】多選題（2425高二上·江蘇南京·期末）若，為正整數(shù)且，則下列等式正確的是（

）A． B．C．若，則 D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（1）解不等式；（2）計算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）【相似題2】（2425高二下·福建泉州·階段練習(xí)）計算下列各式．(1)解方程：.(2)證明：【相似題3】（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）（1）已知，求n．（2）．課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2425高二下·福建莆田·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2425高二下·重慶·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．3．（2425高二下·陜西商洛·階段練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2425高二下·福建