高三數(shù)學(xué)第二輪針對性復(fù)習(xí)資料（共7個(gè)）

專題一數(shù)學(xué)思想方法

第一講函數(shù)與方程思想

思想解讀

1.函數(shù)與方程思想的含義

(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念

的本質(zhì)認(rèn)識，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，

從而使問題獲得解決.經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、

圖象變換等.

(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造

方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方

程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀

察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系.

2.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用

(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)y=/(x),當(dāng))>0時(shí)，就化為不等式借助于

函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.

(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前“項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分

重要.

(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次

函數(shù)的有關(guān)理論.

(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)

式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.

真題感悟

1.(?陜西)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于

30011?的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長N單位：m)的取值范

圍是()

A.[15,20]B.[12,25]

C.[10,30]D.[20,30]

答案C

解析如圖，XADEsXABC,設(shè)矩形的另一邊長為y,則*皿=

“ABC

所以y=40—x,由題意知孫》300,即》(40—

x）》300,整理得X2—40X+300W0,解不等式得10WXW30.

2.（?課標(biāo)全國II）設(shè)L=log36,/>=log510.c=log714,則）

A.c>h>aB,h>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析設(shè)。=log36=l+log32=l+j^^,/?=log510=1+log52=1+j^~5?c=log714=l

+log72=1+j^7，顯然a>h>c.

3.（?浙江）設(shè)〃>0,^>0,e是自然對數(shù)的底數(shù)）

A.若e"+2a=e"+3力，貝Ua>b

B,若e"+2a=e'+3Zb則〃。

C.若e"一2a=e"—3b,貝ij

D.若e"—2a=e'—3〃，貝Ia<b

答案A

解析當(dāng)時(shí)，顯然e"We”,且2aM2b<3b,

+2a<eh+3Z?,即e"+2aWe”+3b成立，

所以它的逆否命題：若e"+2〃=e"+3b,

則。乂?成立，故A正確，B錯誤；

當(dāng)0<aWb,由e"We',2a<3b,

知e"-2a與eb-3b的大小關(guān)系不確定，

故C錯誤；同理，D錯誤.

4.(?北京)若等比數(shù)列｛斯｝滿足生+。4=20,。3+。5=40,則公比4=；前〃項(xiàng)和S〃

答案22〃"一2

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由政+。4=20,的+=40.**?20q=40,且=20,

解之得q=2,且勾=2.因此S“=當(dāng)三滬=2"+1—2.

5.(?安徽)已知直線y=〃交拋物線y=W于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得

ZACB為直角，則a的取值范圍為.

答案[1.+8)

解析以A3為直徑的圓的方程為f+〃)2=小

y=x"c

由J2?/、2得y2+(l_2a)y+〃2_〃=o.

[jc+(y-ciy=a-

即(y—(a—1)]=0,

a>0

則由題意得，I》。，解得“文

題型與方法

題型一利用函數(shù)與方程思想求解最值、范圍問題

【例1】（1）設(shè)直線x=f與函數(shù)yu）=f,g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M、N,則當(dāng)IMNI達(dá)到最

小時(shí)t的值為（）

A.1B.^C.坐D.坐

（2）若a,Z?是正數(shù)，且滿足出?=。+8+3,則"的取值范圍為.

審題破題（1）由題意可知九）一且（戈）=/—inx,因此該問題可轉(zhuǎn)化為：求x為何值

時(shí)，函數(shù)F（x）=f—]nx取得最小值.

⑵由ab=a+b+3變形可得從而求如=幽學(xué)的取值范圍問題可轉(zhuǎn)化為求函

（7-1a—\

數(shù)幾）=’"；）的值域問題；若設(shè)疑=/,則a+6=f-3,從而a,6可看成方程f一。

-3)x+r=0的兩根，利用方程的思想解決.

答案(1)D(2)[9,+8)

解析(1)可知陽川=/(幻一8。)=*一111工

令F(x)=x2—Inx,則F(x)=2x—~=—~—,

所以當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)￡>坐時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=勺時(shí)，F(xiàn)(x)有最小值，即|MN]達(dá)到最小.

⑵方法一(看成函數(shù)的值域)

a?3

Vab=a+b+3,*1,:?b=^―:

a—\

a+3

而Z?>0,/.-----r>0.

a—1

即a>\或a<—3,

又〃>0,：.a>\,故a—l>0.

.a+3(，Ll)2+5(a_l)+4

..Clb=Cl'7-1

a—Ia-I

4

=(a—1)+-----7+529.

a—I

4

當(dāng)且僅當(dāng)a—1=/4，即a=3時(shí)取等號.

a-I

的取值范圍是[9,+8).

方法二若設(shè)ab=t,則a+b=f—3,

所以a,。可看成方程x2-(r-3)x+f=0的兩個(gè)正根.

'/=。-3)2—4欄0,

從而有，a+b=t—3>0,

ah=t>0,

7W1或f29,

即,>3,解得f29,即"》9.

7>0,

所以外的取值范圍是[9,+8).

反思?xì)w納(1)求參數(shù)的取值范圍，一般有兩種途徑：其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等

關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將

待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應(yīng)用函數(shù)知識求值域.

(2)當(dāng)問題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí)，往往要利用等量關(guān)系減少變量的個(gè)數(shù)，如果最后能把其中

一個(gè)變量表示成關(guān)于另一個(gè)變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決.

丫2

變式訓(xùn)練1若點(diǎn)。和點(diǎn)尸(一2,0)分別是雙曲線/一/=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲

線右支上的任意一點(diǎn)，則?存的取值范圍為()

A.[3—2小，+8)B.[3+2小，+8)

C.W+°°)D.+°0)

答案B

解析因?yàn)槭?一2,0)是已知雙曲線的左焦點(diǎn)，所以/+1=4,即/=3,所以雙曲線方程

222

為^'一尸=[.設(shè)點(diǎn)P?),兆)，則有守一勞=1(沏》小)，解得髭=乎一1(而)2/)，因?yàn)槎?

2.2

(xo+2,yQ),OP-(xQ,y0),所以舁?麗=x()(xo+2)+諦=x()(xo+2)+胃-1=亨+2^()—1,

此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為直線須=一京因?yàn)閄。》小，所以當(dāng)尤0=小時(shí)，

取得最小值,X3+2小-1=3+2小，故亦?力的取值范圍是[3+2小，+8).

題型二利用函數(shù)與方程思想研究方程根的問題

【例2】如果方程cos2x-sinx+a=0在(0,舟上有解，求a的取值范圍.

審題破題可分離變量為a=-cosZx+sinx,轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域.

解方法一設(shè),/(x)=-cos2x+sinx(xe(0,孤

顯然當(dāng)且僅當(dāng)。屬于/U)的值域時(shí)，。=危)有解.

'.'/(X)=—(1—sin2x)+sinx=(sinx+^)2—

7T

且由xC(0,引知sinxW(0,l].

易求得7(x)的值域?yàn)?-1,1].

故〃的取值范圍是(-1,1].

JT

方法二令—如先由x《(0,升可得橫(0,1].

將方程變?yōu)?+/-1-67=0.

依題意，該方程在(0,1]上有解.

設(shè)式。=*+￡—1—

其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸/=一/如圖所示.

1/0)<0

因此財(cái)=0在(0,1]上有解等價(jià)于仁、》、，

1—a<0

即J、八，...一故a的取值范圍是(-1,1].

[1—

反思?xì)w納研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理

思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方

程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)

加以解決.

變式訓(xùn)練2已知方程9'-2-3'+(3k—1)=0有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

解令3』,則方程化為『一2f+(3Z-1)=0；(*)

要使原方程有兩個(gè)實(shí)根，方程(*)必須有兩個(gè)正根，

'/=(一2尸一4(3k-l)N0,

12

八，,2=3&—1>0,解得]〈攵

Ui+r2=2>0,

故實(shí)數(shù)％的取值范圍是(},I.

題型三利用函數(shù)與方程思想求解不等式問題

【例3】已知〃)=log23，￡[啦，8],對于用)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式3+4>2"?+

4x恒成立，求x的取值范圍.

審題破題本題可先求出機(jī)的范圍，不等式/+g+4>2m+4x恒成立可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(m)

=加。-2)+。一2y的值恒大于0.

口一

解L框8],二刖豆2，3.

原題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，"G3時(shí)，不等式/+皿-+4>2,"+4*恒成立，即"?(x—2)+(x—2/>0

恒成立.

令g(m)=w(x—2)+(x—2)，5,3,

n-

問題轉(zhuǎn)化為g(⑼在加仁213上恒大于0,

則浮冊。，即.2)+(L2)2>0,

.g(3)>0,|_3(L2)+(L2)2>0.

解得x>2或x<—I.

反思?xì)w納在解決不等式問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)

的圖象和性質(zhì)解決問題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的

變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化.一般地，已知存在范圍的量為變量，

而待求范圍的量為參數(shù).

變式訓(xùn)練3設(shè)不等式2》一1>皿》—1)對滿足|〃?|W2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，則x的取值

范

圍是

3

A-BQ+

48

3

cD

a2)

答案c

解析原不等式即(x—1)〃?一(2%—1)<0,設(shè)式⑼=(x—1),"—(2x—1),則問題轉(zhuǎn)化為求一

次函數(shù)負(fù)⑷的值在區(qū)間[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)時(shí)應(yīng)滿足的條件,

IX2)<0,J2(X-1)-(2X-1)<0,3

得即彳解得x>：.

1/(-2)<0,l-2(x-l)-(2x-l)<0,

題型四利用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題

【例4】設(shè)數(shù)列｛”“｝的前“項(xiàng)和為S”且4”+4.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿產(chǎn)令，數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為7；,求證：

審題破題可將7；看作關(guān)于自然數(shù)〃的函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.

(1)解當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S|=l.

==2—

當(dāng)時(shí)，anSn—Sn-]n~-4〃+4—[(/?—1)4(f)—1)+4]=2/7—5.

：見=1不適合上式,

J1.n—\

Cl=].

n[2〃-5,G2

〃=1

(2)證明由題意知勿=泉=〈。.

22〃一5

I~yi,7732

當(dāng)”=1時(shí)，71=3,

1—]121t—5

當(dāng)〃22時(shí)，…①

2H-72〃一5

②

T-0n2"?

①一②得：聶,=3-3+2俵H------弓）—2；產(chǎn)『,

_/_3-2”一§

F2"~2)2"一

2H—]

?>Tn—1――一(九，2),當(dāng)n—1時(shí)也適合上式.

,,In-1?

故7；=1一下=(〃WN).

2n—1*

V^7r->0(^eN),ATn<\.

..(2〃+l)(2n—

當(dāng)M〃22時(shí)，刀計(jì)]一4=(tJ--^TrJ一11一萬

2n—3

=2"十|>°':?7〃<G+i(〃22).

131

,*'T\=y"=1—[=不T2<T1.

1*

故即7；2a(nGN)?

綜上，；W7；<1(〃dN*).

反思?xì)w納（1）數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式即

為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意用函數(shù)的思想求解.

（2）數(shù)列不等式問題，可以通過變形、整理，轉(zhuǎn)化為數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性問題解決.

變式訓(xùn)練4（?浙江）設(shè)S”是公差為”3r0）的無窮等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，則下列命題埼號

的是（）

A.若d<0,則數(shù)列｛&｝有最大項(xiàng)

B.若數(shù)列｛SJ有最大項(xiàng)，貝1」“<0

C.若數(shù)列｛&｝是遞增數(shù)列，則對任意〃CN*,均有S“>0

D.若對任意〃WN*,均有S,>0,則數(shù)列｛S.｝是遞增數(shù)列

答案C

解析設(shè)｛為｝的首項(xiàng)為內(nèi)，

則S,,=na\+%（〃-1）d=舞+（41—5）/1.

由二次函數(shù)性質(zhì)知S,有最大值時(shí)，則d<o,故A、B正確；

因?yàn)椋鸖J為遞增數(shù)列，則辦0,不妨設(shè)勾=-1,d=2,顯然｛&｝是遞增數(shù)列，但&=一

1<0,故C錯誤;

對任意"WN",S.均大于0時(shí)，?|>0,d>0,｛SJ必是遞增數(shù)列，D正確.

閱卷評析

【典例】（14分）（.北京）已知橢圓C：，+￡=l（a泌＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2,0）,離心率為坐.直線

y=k（x-l）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

⑴求橢圓C的方程.

（2）當(dāng)△AMN的面積為邛時(shí)，求人的值.

規(guī)范解答

。=2,

解（1）由題意得｛5=乎，解得b=也.

.a2=b2+c2,

72

所以橢圓。的方程為亍+5v=1.［4分］

y=k（x—\）,

（2）由，武_］得（1+2然*—4n+2F—4=o.［5分］

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為（小,yi）,（如力），

4k2

則力=2（由—1）,y2=Kx2-1），X］+刀2=］+2.2,

21c—4

』陽=］+2爐」8分］

所以|MN|=4（必一修了+3―Nil

22

=yj（1+/r）［（xi+x2）-4xix2］

24（1+層）（4+6然）

-1+2必口°分］

又因?yàn)辄c(diǎn)A（2,0）到直線y=4x—1）的距離"=J［廬

所以△AMN的面積為

1因：4+6^_八，

S=^W|M=；+2層口2分］

由呼著=乎，解得的值為1或一"14分］

評分細(xì)則（1）不列方程沒有/=居+C2,扣1分；Q）求|MN|時(shí)直接使用弦長公式?jīng)]有中

間變形，扣1分；（3）最后結(jié)論不寫不扣分.

閱卷老師提醒（1）本題易錯點(diǎn)：不會整合題目條件，沒有列出方程求反c;運(yùn)算能力較

差，用弦長表示面積出現(xiàn)計(jì)算錯誤；

⑵閱卷中發(fā)現(xiàn)考生的快捷解法：直線），=總—1）過定點(diǎn)7（1,0）,則S&AMN=^\AT\-\yi-y2i,

大大簡化運(yùn)算過程.

小題沖關(guān)

1.在正實(shí)數(shù)集上定義一種運(yùn)算“*”：當(dāng)”2〃時(shí)，〃%=戶；當(dāng)〃儂時(shí)，〃魴=層，則滿足

3*A27的x的值為()

A.3B.1或9

C.1或取D.3或3小

答案D

xW3或。[x>=327

解析由題意得3、

x-27

解得x=3或3小.

2.（?課標(biāo)全國）設(shè)尸”&是橢圓E：5+，=13功＞0）的左，右焦點(diǎn)，P為直線廠當(dāng)上一點(diǎn),

△F#Fi是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為)

B.|

ACD

-1-45

答案c

解析由題意，知/月后尸=NBPQ=30。，

JN尸&尸60。.JIPF2I=2義（引一c）=3〃-2c.

???|尸匹l=2c,|尸匹1=1尸產(chǎn)2I，

，3。-2c=2c,

?c3

..e=~=~7.

a4

3

3.方程f—中一加=0在工￡[—LU上有實(shí)根，則相的取值范圍是()

9

A.后一記B.

一、5n9115

C.772^2D.一濤吟

答

案D

，

G

解329

析2

尸

一

加

X一-工￡

?-T56[—1,1].

一

大

當(dāng)

時(shí)

1最r'

尸

-“

，

取9

3值-

也

當(dāng)

取

A-二M⑹,9v<5

—4,ft/..一謂吟.

4.已知函數(shù),大勸=(｝>,等比數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和為人〃)一c,則斯的最小值為()

22

A.—1B.1C.?D.一］

答案D

解析由題設(shè)，得c=/—c；

2

。2=[A2)_c]_,⑴_c]=一§；

2

“3=[A3)-c]一貿(mào)2)—c]=一行，

又?jǐn)?shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，

c=\.

又：公比q琮4

所以〃,尸一勃1=_2改

因此，數(shù)列｛恁｝是遞增數(shù)列，

2

?"=1時(shí),為有最小值4=一?

5.對于滿足0Wp<4的實(shí)數(shù)p,使f+px>4x+p—3恒成立的x的取值范圍是.

答案(一8,-1)U(3,+8)

解析?+〃心>4%+〃一3對于0〈p<4恒成立可以變形為%2—4x+3+p(x—1)>0對于

0WpW4恒成立，所以一次函數(shù)式p)=(x—l)p+f—4x+3在區(qū)間［0,4］上的最小值大于0,

X2-4X+3>0

即<

?-1>0

所以X的取值范圍是(一8,-1)U(3,+8).

6.設(shè)危)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)g(x)+./U)g'(x)>0,

且g(-3)=0,則不等式式x)g(x)<0的解集是.

答案(一8,-3)U(0,3)

解析設(shè)F(x)=/(x)g(x),由于大x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得「(一

x)=A—x>g(—x)=—/(x)g(x)=—F(x),即9(x)為奇函數(shù).

又當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'(x)=f(x)g(x)+<x)g'(x)>0,

所以x<0時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù).

因?yàn)槠婧瘮?shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，

所以x>0時(shí)，F(xiàn)(x)也是增函數(shù).

因?yàn)镕(—3)=穴一3蟲(-3)=0=一尸(3).

所以F(x)<0的解集是(一8,—3)U(0,3)(草圖如圖所示).

專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練

一、選擇題

1.函數(shù)凡0的定義域?yàn)镽,人-1)=2,對任意XER,/(x)>2,則/(X)>2JC+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+<=°)

C.(—8,—1)D.(—8,4-00)

答案B

解析設(shè)夕(x)=/(x)—(2x+4),則“(x)=f(x)-2>0,

.??9(x)在R上為增函數(shù)，

又研—1)=/(一1)一(-2+4)=0,

/.由9(x)>0可得x>—1.

故式x)>2x+4的解集為(一1,+8).

2.若函數(shù)1工)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足_/(x)—g(x)=eX,則有()

A.X2)勺(3)<g(0)B.g(0)勺(3)勺(2)

C.12)<g(0)43)D.g(0)勺(2)勺(3)

答案D

解析由題意得力>)—g(x)=e",/(—x)—g(—x)=ex,即一y(x)—g(x)=e.',由此解得￡x)

e-'-erev+e-A'ex-e~x

=——,g(x)=———,g(0)=-1,函數(shù)y(x)=2在R上是增函數(shù)，且人3)?2)

e?_e_*2

=-y—>0,因此g(0)勺(2)勺(3),選D.

[1,x為有理數(shù)，

3.設(shè)函數(shù)D(x)=-則下列結(jié)論錯誤的是()

10,x為無理數(shù)，

A.O(x)的值域?yàn)閧0,1}B.D(x)是偶函數(shù)

C.O(x)不是周期函數(shù)D.Q(x)不是單調(diào)函數(shù)

答案C

解析利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性定義判斷可得.

由已知條件可知，D(x)的值域是{0,1},選項(xiàng)A正確；

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，一x也是有理數(shù)，

且力(一x)=l,O(x)=l,故￡>(一尤)=。(戈)，

當(dāng)X是無理數(shù)時(shí)，一X也是無理數(shù)，

且。(一x)=0,D(x)=0,即￡)(—x)=O(x),

故。(x)是偶函數(shù)，選項(xiàng)B正確；

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，對于任一非零有理數(shù)“，x+a是有理數(shù)，且。(x+a)=l=D(x),

當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)，對于任一非零有理數(shù)b,x+6是無理數(shù)，

所以。(x+6)=D(x)=0,故。(x)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期，選項(xiàng)C不正確；

由實(shí)數(shù)的連續(xù)性易知，不存在區(qū)間/,使C(x)在區(qū)間/上是增函數(shù)或減函數(shù)，故Q(x)不

是單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)D正確.

4.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,”且4aL2a2,的成等差數(shù)列，若冉=1，則等于（）

A.7B.8C.15D.16

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為q,則由4*2,的成等差數(shù)列，得4a2=40+的.

:.4aiq=4m才一4q+4=0.

5.（?陜西）在aABC中，角A,B,C所對邊的長分別為a,h,c,若/+層=2°2,則cosC

的最小值為（）

答案C

_..672+—C2C,2

解析；c°sC=-9—=2ab'

又,.?廿+/以血：.2abW2乙

cosC*.cosC的最小值為;.

22

6.若則雙曲線了一六七豆=1的離心率e的取值范圍是（）

ci（a-v1）

A.（1,也）B.（^2,小）

C.I?小]D.（小，?。?/p>

答案B,,

解析02=份2="+[+1）=]+（]+%因?yàn)楫?dāng)”>1時(shí)，（）W<1，所以2=2<5,即吸

<e<\[5.

?IT

7.設(shè)函數(shù)危）=f+sinx,若0W8W]時(shí)，/（〃?cos。）+加一機(jī)）>0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是（）

A.（0,1）B,（一8,0）

C.（-8,1）D.（-8,

答案C

解析易知./U）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，

加71cos夕）+41一〃2）>0,

即/（zncosOy>fitn—1）,/./ncos0>m—1,

，維—?

而OWOW當(dāng)時(shí)，cos6?e[0,l],...'得加<1.

2[0>/n—1

cix-1hx~\~1

8.若不等式二不彳>0的解集為國一14<2｝,則不等式示不了（）的解集是（）

A.{x\^<x<1}B.{或x>2}

C.{JV|—^<x<l}D.{x|x<—1或x>2}

答案A

-ax—1

斛析.+〃>0㈡(ox—1)(x+b)>0,

轉(zhuǎn)化為X|=-1,X2=2是方程(OX-1)(X+6)=0的兩個(gè)根(且a<0),

D(—1+")=°

即<

[(2。一1)(2+匕)=0

解付彳，；.一工7二---工■[-<()=>5a<1?故施A.

b——2ox+1—x+12

二、填空題

9.若關(guān)于x的方程(2-2*T)2=2+a有實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

答案[T,2)

解析令7W=(2—2-L252.

要使貝x)=2+a有實(shí)根，

只需2+a是,/(x)的值域內(nèi)的值.

：段)的值域?yàn)榭?4),

，lWa+2<4,A-1^a<2.

10.已知圓/+丫2+筮—4)，+1=0關(guān)于直線2aL辦+2=036GR)對稱，則必的取值范圍

是.

答案(一8,1]

解析圓心坐標(biāo)為(-1,2),因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，

所以一2〃-2匕+2=0即a+h-l=0,

111

ab=ci{\-ci)——a9+a=—(。一5)??十工忘了

11.已知△A3C的一個(gè)內(nèi)角為120。，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△A3C的面積

為.

答案15小

解析由于三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，故可設(shè)三邊長分別為x—4,x,x+4.

由一個(gè)內(nèi)角為120。知其必是最長邊x+4所對的角.

由余弦定理得

(x+4)2=f+。-4)2—2x(x-4)cos120°,

；.2?—20x=0,.?.x=0(舍去)或x=10.

SA4BC=1義(10—4)X10Xsin120°=15小?

12.已知數(shù)列{斯}是遞增數(shù)列，且對于任意的“GN*,恁=/+4〃恒成立,則實(shí)數(shù)4的取值范

圍是.

答案2>-3

解析由｛斯｝是遞增數(shù)列，得斯〈斯+]對"WN*恒成立，即n2+Xn<(n+1)2+2(/?+1),

整理得力>一(2〃+1).

而一(2〃+l)W—3,所以—3.

三、解答題

13.已知函數(shù)人工)=潑+奴和g(x)=x一0其中?！闞,且。#0.若函數(shù)於)與g(x)的圖象相交

于不同的兩點(diǎn)A、B,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△OAB的面積S的最大值.

解依題意，/U)=g(X),即+—〃，

整理得依?+儂—l)x+a=O,①

,?ZWO,函數(shù)次尤)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B,

?">0,即/=(〃-1)2—4〃2=—3/-24+1=(3〃一1〉(一4-1)>0,

，且aWO.

設(shè)A(兩，yi),B(M，72)?且修〃2，

ci-1

由①得X]X2=1>°，X]+》2=——~—?

I—ci\

設(shè)點(diǎn)O到直線g(x)=x—a的距離為"，則d=[E，

?,?S=1^l+l2|xi一對，7^

—3/—2〃+]

3++

=2^/-G3)3-

,/—1<“<|且aWO,

.,.當(dāng)a=一；時(shí)，S取得最大值乎.

14.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長為吸，離心率為乎，直線/與)，軸

交于點(diǎn)尸(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B,且存=3協(xié).

(1)求橢圓C的方程：

(2)求相的取值范圍.

22

解(1)設(shè)橢圓。的方程為夕+5=13>">0),

設(shè)c>0,c2=a2—Z?2,

由題意，知2b=巾,戶乎，所以。=1,b=c普.

2

故橢圓C的方程為尸+:=1,即y2+2f=].

2

(2)設(shè)直線/的方程為)，=履+機(jī)//0),/與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A3,%),B(X2,竺)，

[y=kx+m.,

由J22得（Z~+2）x-\~2kiwc-\-m—1=0,

[2x+y=1,

/=（2切2）2—4（必+2）（加2—1）=4（然一2"，+2）＞0,（*）

2

-2kmm-1

X]+尤2=爐+2，的初=42+2?

因?yàn)榇?3兩，所以一芍=3數(shù),

戈1+刀2=-2必，

所以

X\X2=-3^2.

所以3al+%2)~+41[尢2=0.

所”以,31(再一2切利?V)+,4$ir不T-1

整理得42機(jī)2+2"/一0—2=0,

即必(4m-1)+(2〃/—2)=0.

當(dāng)/="時(shí)，上式不成立；

,o1.02—2m

當(dāng)/#彳時(shí)，氏=力一?，

44m—1

由(*)式,得必>2/一2,

2—2〃廣

又女W0,所以產(chǎn)―2j">0.

解得一1<〃?<—3或/<〃?<L

即所求相的取值范圍為(一1,1).

第二講數(shù)形結(jié)合思想

思想解讀

1.數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)

學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；(2)“以數(shù)

定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.

2.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)、關(guān)鍵及運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意的問題：其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀

的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，

幾何問題代數(shù)化，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明

白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析

其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以

形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.

3.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；

(2)函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；

(3)以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；

(4)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.如等式(x—2)2+()-19=4,表示

坐標(biāo)平面內(nèi)以(2,1)為圓心，以2為半徑的圓.

真題感悟

1.（?重慶）已知圓G：（X—29+3—3）2=1,圓C2：（X—3）2+0—4）2=9,M,N分別是

圓C”C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則1PM+1尸川的最小值為

A.572-4

C.6-2^2D.V17

答案A

解析設(shè)尸(乂0),設(shè)G(2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為CJ(2,-3),那么|PG|+|PC2|=|PC「|

22

+PC2I冽CJC2|^y/(2-3)+(~3-4)=5^2.

而=|P7V]=|PC2|-3,

：.\PM\+\PN]=\PCt|+IPC2I—4啦一4.

2.(?大綱全國)已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c>(。-c)=0,

則同的最大值是()

A.1B.2C.^2D.乎

答案C

解析如圖，設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,則C4=a—c,CB=/----、

8—c.由題意知亂,無，/

：。A、C、B四點(diǎn)共圓....當(dāng)0C為圓的直徑時(shí)，|c|最大，此時(shí)，

2x—y—2^0,

3.(?山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，〃為不等式組<x+2y—l，0,所表示的區(qū)域上一動

.3x+y—8W0

點(diǎn)，則直線0M斜率的最小值為()

A.2B.1C.一；D.一；

答案C

x+2廠1=0,

解析如圖，由得A(3,-1).此時(shí)直線OM的斜

3x+y—8=0

率最小，且為一§.

—X2+2X,xWO,

4.(?課標(biāo)全國I)已知函數(shù)yu)=若|/(幻12。無，則。的取值范圍是

ln(x+1),x>0.

)

A.(一8,0]B.(-8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案D

解析函數(shù)y=|/(x)|的圖象如圖.

①當(dāng)a=0時(shí)，|/U)12ax顯然成立.

②當(dāng)?>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，

ln(jc+成立.

比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=or的增長速度.

顯然不存在”>0使ln(x+在x>0上恒成立.

③當(dāng)a<0時(shí)，只需在x<0時(shí)，x2—成立.

即2成立，.'.a2一2.

綜上所述：-2WaW0.故選D.

5.(?天津)已知函數(shù)丫=1―f的圖象與函數(shù)y=fcc—2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取

x~\

值范圍是.

答案(0,l)U(l,4)

解析根據(jù)絕對值的意義,

if一1|

尸X—1

'+或X<—1),

在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示.

根據(jù)圖象可知，當(dāng)。4<1或1或<4時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).

題型與方法

題型一數(shù)形結(jié)合解決方程的根的個(gè)數(shù)問題

[c^—ab,aWb,

【例1】(?福建)對于實(shí)數(shù)。和4定義運(yùn)算""：。沔=,2,,設(shè)凡r)=(2x—l)*(x

\b-ab,ci>b.

—1),且關(guān)于X的方程/U)=mOWR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根不，X2,由，則卬“3

的取值范圍是.

審題破題本題以新定義為背景，要先寫出以x)的解析式，然后將方程yu)=，〃根的個(gè)數(shù)

轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)的圖象和直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

答案(普。)

(2x—l)x,xWO,

解析由定義可知，兀0=

—(x—l)x,x>0.

作出函數(shù)式x)的圖象，如圖所示.

由圖可知，當(dāng)0<相<1時(shí)，

凡￥)=m(//2￡R)恰有三個(gè)互不相等

的實(shí)數(shù)根為，M，工3.

不妨設(shè)西42〃3，

易知應(yīng)>0，

且即+%3=2X/=1,

?,-X2X3<1.

人卜2L1)X=：,if

令j，解付1=-4?

U<0,

1—y[3]一小

/.-<X1<O,..-^~<X\X2X3<0.

反思?xì)w納研究方程的根的個(gè)數(shù)、根的范圍等問題時(shí)，經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的方法.一般

地，方程y（x）=o的根，就是函數(shù)./（X）的零點(diǎn)，方程y（x）=g