高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

第一章集合與常用邏輯用語

第1-2課時集合的概念

課前?考點(diǎn)引領(lǐng)八人：

考情分析考點(diǎn)新知

了解集合的含義；體會元素與集合的“屬

于"關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集

學(xué)會區(qū)分集合與元素，集合與集合之間的關(guān)系.

合語言（列舉法或描述法）描述不同的數(shù)學(xué)

學(xué)會自然語言、圖形語言、集合語言之間的互化.

對象或數(shù)學(xué)問題；了解集合之間包含與相

集合含義中掌握集合的三要素.

等的含義；能識別給定集合的子集；了解

④不要求證明集合相等關(guān)系和包含關(guān)系.

全集與空集的含義.

修回歸教材

lltl|<>l'UIA（XAI------------------------------

1.（必修1P10第5題改編）已知集合人=m+2,2m2+m},若3￡A,貝Um=.

答案：一5

解析：因?yàn)?WA,所以m+2=3或2m2+m=3.當(dāng)m+2=3,即m=l時，2m2+m=3,此

3

時集合A中有重復(fù)元素3,所以m=l不合題意，舍去；當(dāng)2m2+m=3時，解得m=-］或m

=1（舍去），此時當(dāng)m=—|時，m+2=,W3滿足題意.所以m=一,.

2.（必修1P7第4題改編）已知集合{a|04a<4,aGN},用列舉法可以表示為.

答案：{0,1,2,3}

解析：因?yàn)閍GN,且04a<4,由此可知實(shí)數(shù)a的取值為0,1,2,3.

（）（）

3.必修1P17第6題改編）已知集合人=［1,4,B=-8,a,B,則aC.

答案：［4,+°°）

解析：在數(shù)軸上畫出A、B集合，根據(jù)圖象可知.

4.（原創(chuàng)）設(shè)集合A={x|x=5-4a+a2,aSR},B={y|y=4b2+4b+2,bSR},則A、B的關(guān)系

是.

答案：A=B

解析：化簡得A={X|X21},B={y|y21},所以A=B.

5.（必修1P17第8題改編）滿足條件{1}1M1{1,2,3}的集合M的個數(shù)是.

答案：4個

解析：滿足條件加M*{1,2,3}的集合M有{1},口，2},{1,3},{1,2,3},共4個.

、知識清單

1.集合的含義及其表示

(1)集合的定義：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.其中集

合中的每一個對象稱為該集合的元素.

(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性.

⑶集合的常用表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法.

(4)集合的分類：若按元素的個數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類

可分為點(diǎn)集、數(shù)集等.應(yīng)當(dāng)特別注意空集是一個特殊而又重要的集合，解題時切勿忽視空集

的情形.

⑸常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N；正整數(shù)集記作N或N+；整數(shù)集記作Z；有理數(shù)

集記作Q;實(shí)數(shù)集記作R;復(fù)數(shù)集記作C.

2.兩類關(guān)系

⑴元素與集合之間的關(guān)系包括屬于與不屬于關(guān)系，反映了個體與整體之間的從屬關(guān)系.

⑵集合與集合之間的關(guān)系

①包含關(guān)系：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集,

記為AiB或B?A,讀作“集合A包含于集合B"或"集合B包含集合A".

②真包含關(guān)系：如果AiB,并且AwB,那么集合A稱為集合B的真子集，讀作"集合A真包

含于集合B"或"集合B真包含集合A”.

③相等關(guān)系：如果兩個集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元

素都是A中的元素，則稱這兩個集合相等.

⑶含有n個元素的集合的子集共有2n個，真子集共有2n—1個，非空子集共有2n—1個，

非空真子集有2n—2個.

、課中?技巧點(diǎn)撥八’

1?

精隆

題型1正確理解和運(yùn)用集合概念

例1已知集合人=僅忖*2—3x+2=0,aGR}.

(1)若A是空集，求a的取值范圍；

(2)若A中只有一個元素，求a的值，并將這個元素寫出來；

⑶若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.

9

解：⑴若A是空集，則△=9-8a<0,解得a>￡.

O

(2)若A中只有一個元素，則A=9—8a=0或a=0,解得a=￡或a=0；當(dāng)a=￡時這個元素是

42

3；當(dāng)a=0時，這個兀素是

9

(3)由(1)(2)知，當(dāng)A中至多有一個元素時，a的取值范圍是aq或a=0.

O

備選變式(教師專享)

已知aVl時，集合[a,2—a]中有且只有3個整數(shù)，則a的取值范圍是.

答案：一kaVO

解析：因?yàn)閍U,所以2-a21,所以1必在集合中.若區(qū)間端點(diǎn)均為整數(shù)，則a=O,集合中

有0,1,2三個整數(shù)，所以a=0適合題意；若區(qū)間端點(diǎn)不為整數(shù)，則區(qū)間長度2<2—2a<4,

解得一l<a<0,此時，集合中有0,1,2三個整數(shù)，-1。<0適合題意.綜上，a的取值范圍是

—l<a<0.

變式訓(xùn)練

k1]k1

設(shè)集合M=jx|x=5+予k6Zj,N={x|x=z+],kez},則MN.

答案：真包含于

題型2集合元素的互異性

例2已知a、b《R,集合A={a,a+b,1},B=1b,po},且B,B，A,求a-b的值.

解：,:A1B,B1A,A=B.

b

■:aWO,/.a+b=O,即a=—b,，；=—1,

a

；?b=l,a=—1,a—b=—2.

備選變式(教師專享)

已知集合人={&,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若八=8,則c=.

1

答案：一5

解析：分兩種情況進(jìn)行討論.

①若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得a+ac2—2ac=0.

當(dāng)a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故aw。，c2—2c+l=0,即

c=l.但c=l時，B中的三元素又相同，此時無解.

②若a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得2ac2—ac—a=0.

,:aWO,2c2—c—1=0,即(c—D(2c+l)=0.

LU1

又CAl,故C=—

變式訓(xùn)練

集合A=1a,p1|,集合B={a2,a+b,0},若人=8,求a2013+b2014的值.

解：由于axO,由二=0,得b=0,則八=相，0,1},B={a2,a,0}.

a

由A=B,可得a2=l.又a2#a,則awL則a=-L

所以a2013+b2014=-l.

題型3根據(jù)集合的含義求參數(shù)范圍

例3集合A={x|—2<x<5},集合B={x|m+l<x<2m—1}.

(1)若.A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)xGR時，沒有元素x使xGA與XGB同時成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：⑴當(dāng)m+l>2m—l,即m<2時，B=正滿足B1A；

f[m+l>—2,

當(dāng)m+142m—l即mN2時，要使A成立，則彳解得24mV3.

l2m—1<5,

綜上所述，當(dāng)m43時有B】A.

(2)因?yàn)閤￡R,月.A={x|-24x45},B={x|m+l<x<2m—1},又沒有元素x使x￡A與x—B同

時成立，則

①若B=正，即m+—得mV2時滿足條件；

、,[m+l<2m—1,

②若B。用，則要滿足條件「、解得m>4.

m+l<2m—1,

或、-c無解?

2m—IV—2,

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為mV2或m>4.

備選變式(教師專享)

已知集合A={y|y=-2x,x￡[2,3]},B={x|x2+3x—a2-3a>0}.若A】B,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：由題意有A=[—8,—4],B={x|(x—a)(x+a+3)>0}.

①當(dāng)a=一|時，B={x[x￡R,x^—|j,所以A，B恒成立；

②當(dāng)a<一"|時，B={x|x<a或x>—a—3}.因?yàn)锳，B,所以a>—4或一2—3<—8,解得a>—4

3

或a>5(舍去)，所以一4<a<—5；

3

③當(dāng)a>—/時，B={x|x<—a—3或x>a}.因?yàn)锳B,所以一2—3>—4或a<—8(舍去)，解得

3

—2<a<l.

綜上，當(dāng)AiBB寸，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一4,1).

新題推薦

----------------------■-

1.設(shè)集合A={x|x<2},B={xk<a},且滿足A真包含于B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：(2,十8)

解析：利用數(shù)軸可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+8).

2.已知集合人={1,2,3,4,5},8={僅，丫)/〃人,丫6人=一丫一人},則B中元素的個數(shù)為

答案：10

解析：B中所含元素有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,

3),(5,4).

3.若xGA,則qCA,就稱A是"伙伴關(guān)系集合"，集合M=1-1,0,2,31的所有非空子

集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是.

答案：3

解析：具有伙伴關(guān)系的元素組是一1；1,2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{一1},《，2,

[-1,2}.

4.已知全集U=R,集合M={x|-24x—142}和N={x|x=2k-1,k=l,2,…}的韋恩(Venn)

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有個.

答案：2

解析：由題圖示可以看出陰影部分表示集合M和N的交集，所以由M={x|-14X43},得McN

={1.3},有2個.

5.設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|adP,bGQ},若P={0,2,5},Q

={1.2,6},則P+Q中元素的個數(shù)為.

答案：8

解析：⑴；P+Q={a+b|a《P,bGQ},P={0,2,5},Q={1,2,6},當(dāng)a=0時,a

+b的值為L2,6；當(dāng)a=2時，a+b的值為3,4,8；當(dāng)a=5時，a+b的值為6,7,11,

，P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},P+Q中有8個元素.

一3精品題庫(教師三享)

1.已知A={x|x2-2x-340},若實(shí)數(shù)aWA,則a的取值范圍是,

答案：[—1,3]

解析：由條件，a2—2a—3<0,從而aW[—1,3].

a,plk也可表示為{a2,a+b,0},則a2013+

2.現(xiàn)有含三個元素的集合，既可以表示為

b2013=.

答案：一1

解析：由已知得?=0及awO,所以b=0,于是a2=l,即a=l或a=-1,又根據(jù)集合中元素

的互異性可知a=l應(yīng)舍去，因此a=-l,故a2013+b2013=(-：l)20：13=-l.

3.已知集合A={x[(x-2乂x-(3a+l)]<0},

,x—a1

B=1xx-(a2+l)<Or

⑴當(dāng)a=2時，求AcB；

⑵求使B真包含于A的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)AcB={x|2Vx<5}.

(2)B={x|a<x<a2+1}.

①若a=/時，A=壓，不存在a使A；

②若a>§時,2WaW3；③若時，—l<a<—

故a的取值范圍是一5_|"2,3］.

4.已知A=｛a+2,(a+l)2,a2+3a+3｝且1CA,求實(shí)數(shù)a的值.

解：由題意知：a+2=l或(a+l)2=l或a2+3a+3=l,

，a=-l或一2或0,根據(jù)元素的互異性排除一1,-2,

/.a=0即為所求.

?|疑難指津//

1.研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法

表示時,注意弄清其元素表示的意義是什么.注意區(qū)分｛x|y=f(x)｝、｛y|y=f(x)｝、｛(x,y)|y=f(x)｝

三者的不同.對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互

異性.

2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解題時，若未明確說明集合非空

時，要考慮到集合為空集的可能性.例如：AB,則需考慮人=和AH兩種可能的情況.

3.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是

用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.

4.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.

［備課札記］

第3-4課時集合的基本運(yùn)算

課前?考格引領(lǐng)hA

考情分析考點(diǎn)新知

①在給定集合中會求一個子集的補(bǔ)集，補(bǔ)集

理解兩個集合的交集與并集的含義；會求兩

的含義在數(shù)學(xué)中就是對立面.

個簡單集合的交集與并集，理解給定集合的

②會求兩個簡單集合的交集與并集；交集的

一個子集的補(bǔ)集的含義；會求給定子集的補(bǔ)

關(guān)鍵詞是"且"，并集的關(guān)鍵詞是"或

集，會用韋恩圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算.

③會使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)

算；對于數(shù)集有時也可以用數(shù)軸表示.

嚓回歸教材

UUIGUIJIAOVAI-

1.（原倉|J）集合M={mGZ|—3cm<2},N={nGZ|11MW3},則McN=.

答案：{-1,0.1）

解析：M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},所以MCN={-1,0,1）.

2.（必修1P17第13題改編）A、B是非空集合，定義AxB={x|xGAUB,且JAAB}.若人=僅|丫

=AJX2-3X},B={y|y=3x},則AxB=.

答案：（一8,3）

解析：A=（—8,0）U[3,+°°）,B=（0,+°°）,AUB=R,AOB=[3,+°°）.所以AXB=（一

°0,3）.

3.（必修1P10第4題改編）已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=[x]x=Uw，x、n^z],

則CUA=.

答案：{0}

解析：因?yàn)锳=郎仔x、n￡z1,當(dāng)n=0時，x=-2；當(dāng)n=l時不合題意；當(dāng)n=2

時，x=2；當(dāng)n=3時;x=l；當(dāng)n24時，x‘Z；當(dāng)n=—l時，x=-1；當(dāng)nV—2時，x’Z.

故人={-2,2,1,-1}.又U={-2,-1,0,1,2},所以CUA={0}.

4.（必修1P14第8題改編）設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},則CU（AnB）

答案：{1,4,5）

解析：AnB={2,3},所以CU（AcB）={L4,5}.

5.（必修1P17第6題改編）已知A={1,2,3},B={xGR|x2-ax+l=0,aGA},則AnB=B時，

a=.

答案：1或2

解析：驗(yàn)證2=1時8=滿足條件；驗(yàn)證2=2時8={1}也滿足條件.

、知叫清單

1.集合的運(yùn)算

(1)交集：由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作AnB,即

AnB={x|xWA且xWB}.

(2)并集：由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作AUB,

即AUB={x|xeA或xGB}.

⑶全集：如果集合S含有我們所研究的各個集合的全部元素，那么這個集合就可以看作一個

全集，通常用U來表示.一切所研究的集合都是這個集合的子集.

(4)補(bǔ)集：集合A是集合S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做A的補(bǔ)集

(或余集),記作CSA,即CSA={x|xWS,但x'A).

2.常用運(yùn)算性質(zhì)及一些重要結(jié)論

(1)AnA=A,AA/E—/E,AC1B=BCA；

(2)AUA=A,AU^=A,AUB=BUA；

(3)An(CUA)=田,AU(CUA)=U；

⑷ACB=AUA1B,AUB=AUB1A；

⑸CU(AnB)=(CUA)U(CUB),［U(AUB)=(CUA)n(CUB).

［備課札記］

課中?技巧點(diǎn)撥

一1”一

|精選

題型1集合的運(yùn)算

例1若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},則(CUM)n(CUN)=.

答案:{5,6}

解析：MUN={1,2,3,4),

(CUM)n(CUN)=CU(MUN)={5,6}.

變式訓(xùn)練

若全集U={1,2,3,4,5,6},MAN=N,N={1,4},試求滿足條件的集合M的個數(shù).

解：由MnN=N得N.

含有2個元素的集合M有1個，含有3個元素的集合M有4個，含有4個元素的集合M有6

個，含有5個元素的集合M有4個，含有6個元素的集合M有1個.

因此，滿足條件的集合M有1+4+6+4+1=16個.

題型2求參數(shù)的范圍

例2設(shè)關(guān)于x的不等式x(x—a—l)<O(aWR)的解集為M,不等式x2—2x-3v0的解集為N.

⑴當(dāng)a=l時，求集合M；

(2)若MUN=N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴當(dāng)a=l時，由已知得x(x—2)<0,

解得0<xV2.所以M={x|0<x<2}.

(2)由己知得N={x|-14xS3}.

①當(dāng)aV-l時，因?yàn)閍+l<0,所以M={x［a+l<x<0}.

由MUN=N,得MN,所以-14a+lV0,解得一2WaV-l.

②當(dāng)a=-1時，M=田，顯然有MN,所以a=-1成立.

③當(dāng)a>-l時，因?yàn)閍+l>0,所以M={x|O<x<a+l}.

因?yàn)镹,所以0<a+E3,解得一lVaC.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-2,2］.

變式訓(xùn)練

已知A={x|ax-l>0},B={x|x2-3x+2>0}.

(1)若AnB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵若AnCRBW正，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)由于B,由題意知B={x|x>2或x<l}.若a>0,貝ijx>［》2,得0<ag；

11

若a=0,則人=比，成立；若a<0,則根據(jù)數(shù)軸可知均成立.綜上所述，a<5.

aZ

1

(2)CRB={x|l<x<2},若a=0,則人=比，不成立；若a<0,則xV;VI,不成立；若a>0,

d

1111

則x>>由W<2得.綜上所述，a>r.

adZZ

題型3集合綜合題

b

例3已知f(x)=x+［—3,xe［l,2］.

⑴當(dāng)b=2時，求f(x)的值域；

(2)若b為正實(shí)數(shù)，f(x)的最大值為M,最小值為m,且滿足M-m“，求b的取值范圍.

2

解：(1)當(dāng)b=2時，f(x)=x+q—3,xC［l,2］.

因?yàn)閒(x)在口，/］上單調(diào)遞減，在［啦，2］上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f(巾)=2巾—3.

又小)=f(2)=0,

所以f(x)的值域?yàn)椋?吸一3,0］.

(2)①當(dāng)0Vb<2時，f(x)在口,2］上單調(diào)遞增,

則m=b—2,M=|-l,止匕時M-m=-￥+124,得僅一6,與0cb<2矛盾，舍去；

②當(dāng)24bV4時，f(x)在［1,俳］上單調(diào)遞減，在［怖，2］上單調(diào)遞增，所以M=max{f⑴，f(2)}

=b-2,m=f(M)=2毋一3,則M-m=b-2Vb+l>4,得(的-1)224,解得b>9,與2sb

<4矛盾，舍去；

bb

③當(dāng)b24時f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則M=b—2,01=5—1,此時M—01=5—1“，得b210.

綜上所述，b的取值范圍是［10,+-).

備選變式(教師專享)

設(shè)集合A={x|x2—2x+2m+4=0},B={x|x<0}.若ACBH比，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(解法1)據(jù)題意知方程x2—2x+2m+4=0至少有一個負(fù)實(shí)數(shù)根.

設(shè)M={m|關(guān)于x的方程x2-2x+2m+4=0兩根均為非負(fù)實(shí)數(shù)},

△=4(—2m—3)>0

則〈xl+x2=2>0,解得一2—|.

lxlx2=2m+4>0

/.M={m_2<m<—Ij.

設(shè)全集U={m|A20}=[mm<—,

/.m的取值范圍是CUM={m|m<—2}.

(解法2)方程的小根x=l-^/-2m-3<0

Dyj—2m—3>1—2m—3>1m<—2.

(解法3)設(shè)f(x)=x2—2x+4,這是開口向上的拋物線.因?yàn)槠鋵ΨQ軸x=l>0,則據(jù)二次函數(shù)性

質(zhì)知命題又等價(jià)于f(0)<C)Dm<—2.

\新題推蔣

1.設(shè)集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若AnB={2},則AUB=.

答案：{1，2,5)

解析：由題意知log2(a+3)=2,得a=l,b=2,則AUB={1,2,5).

2.已知全集U=(-8,3],A=[-l,2),則CUA=.

答案：(-8,-1)U[2,3]

解析：利用數(shù)軸可得CUA=(—8,-1)U[2,3].

3.如圖，已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,

3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為.

百)

答案：{2,8}

解析：陰影部分表示的集合為AnCn(CUB)={2,8}.

4.已知集合P={(x,y)|x+y=0},Q={(x,y)|x—y=2},則QnP=.

答案：{(1,-1)}

解析：時x+解y=0,得二fx=l7,由于兩集合交集中元素只有一個點(diǎn)，故QCP=3F

5.設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P-Q={x|xdP,且xQ},如果P={x|log2x<l},Q={x||x

-2|<1},那么P-Q=.

答案：{x|0<xil}

解析：由Iog2x<l,得0<x<2,所以P={x[0<x<2}；

由|x-2|<l,得l<x<3,所以Q={x[l<x<3}.

由題意，得P-Q={x|0<x41}.

一/精品題庫(教帥互事)

1.設(shè)全集U=MUN={1,2,3,4,5},MC1[UN={2,4},貝UN=

答案：{1,3>5}

解析：畫出韋恩圖,可知N={1,3,5).

2.設(shè)全集為R,集合A={x|xR或x26},B={x|-2<x<9}.

(1)求AUB,(CRA)nB；

(2)已知C={x[a<x<a+1},若ciB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)AUB=R,CRA={X|3<X<6},

/.(CRA)nB={x|3<x<6}.

⑵：C={x[a<x<a+1},且B,

,JaZ-2,

?,|a+l<9.

/.所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是一2益48.

3.設(shè)全集l=R,已知集合乂=3(x+3)2<0},N={x|x2+x—6=0}.

(1)求(CIM)nN；

(2)記集合A=(CIM)nN,已知集合B={x|a—lSx45—a,aSR},若BUA=A,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：(1)：M={x|(x+3)2W0}={—3},

N={x|x2+x—6=0}={—3,2},

/.[lM={x|x￡R且XH-3},

J(QM)cN={2}.

⑵A=(CIM)nN={2},

AUB=A,；.BA,；.B=田或B={2},

當(dāng)8=壓時，a-l>5-a,a>3；

a—1—2

當(dāng)B={2}時,ka=2：解得一二二

綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a23}.

4.設(shè)全集U=R,函數(shù)f(x)=lg(|x+l|+a—l)(aVl)的定義域?yàn)锳,集合B={x|cosnx=l},若

(CUA)cB恰好有2個元素，求a的取值集合.

解：|x+l|+a—l>oU|x+l|>l-a,

當(dāng)時，1—a>0,x>—a或x〈a—2,

/.A=(-8,a-2)U(—a?+°°).

cosnx=l,/.nx=2kn,/.x=2k(k@Z),

/.B={x|x=2k,kEZ}.

當(dāng)a<l時，[UA=[a—2,—a]在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù).

a<l,

/.<aW—aV2—2<a<0.

—4<a—2<—2

?I疑難指津〃

1.集合的運(yùn)算結(jié)果仍然是集合.進(jìn)行集合運(yùn)算時應(yīng)當(dāng)注意：

⑴勿忘對空集情形的討論；

⑵勿忘集合中元素的互異性；

⑶對于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算，勿忘A必須是全集的子集；

⑷對于含參數(shù)（或待定系數(shù)）的集合問題，勿忘對所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍.

2.在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到"三化”

（1）意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣的類型的對象（數(shù)集、點(diǎn)集，圖形等）是表

示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？

⑵具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求

出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式.

⑶直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、韋恩圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形

結(jié)合思想解決問題.

第5-6課時簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

乂

課前?考星引領(lǐng)八八1

考情分析考點(diǎn)新知

會分析四種命題的相互關(guān)系.

了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；會判斷必要條件、充分條件與充要條件.

理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；了能用"或""且""非"表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容（真

解邏輯聯(lián)結(jié)詞"或""且""非"的含義；了解全稱量值表不做要求）.

詞與存在量詞的意義；了解含有一個量詞的命題能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)學(xué)

的否定的意義.內(nèi)容.

⑤能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行

否定.

哮回歸教材

H（HGt>IJIA<KAI------------------------------

1.（選修11P20第4（1）題改編）命題“若a、b、c成等比數(shù)列，則ac=b2”的逆否命題是

答案:若acwb2,則a、b、c不成等比數(shù)列

2.（選修11P20第6題改編）若命題p的否命題為q,命題q的逆否命題為r,則p與r的關(guān)系是

答案：互為逆命題

3.（選修11P20第7題改編）已知p、q是r的充分條件，r是s的充分條件，q是s的必要條件,

則S是p的條件.

答案：必要不充分

4.（原創(chuàng)）寫出命題"若x+y=5,則x=3且y=2"的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的

真假.

答案：逆命題：若x=3且y=2,則x+y=5.是真命題.

否命題：若x+yx5,則xw3或y#2.是真命題.

逆否命題：若xx3或yx2,則x+y#5.是假命題.

5.下列命題中的真命題有.（填序號）

①，xWR,x+-=2；

②$xGR,sinx=-l；

③"xCR,x2>0：

④"x￡R,2x>0.

答案：①②④

解析：對于①，x=l時，x+：=2,正確；對于②，當(dāng)*=\~時，sinx=-1,正確；對于③,

x=0時，x2=0,錯誤；對于④，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，正確.

6.命題p：有的三角形是等邊三角形.命題㈱p：.

答案：所有的三角形都不是等邊三角形

7g5清單

i.四種命題及其關(guān)系

(1)四種命題

命題表述形式

原命題若P，則q

逆命題若q，則p

否命題若非P，則非q

逆否命題若非q,則非p

(2)四種命題間的逆否關(guān)系

⑶四種命題的真假關(guān)系

兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

2,充分條件與必要條件

(1)如果pDq,那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

(2)如果pDq,且qp,那么稱p是q的充要條件，記作pUq.

(3)如果pDq,qD/p,那么稱p是q的充分不必要條件.

⑷如果qDp,pDq，那么稱p是q的必要不充分條件.

(5)如果pD/q,且qD/p,那么稱p是q的既不充分也不必要條件.

3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

⑴用聯(lián)結(jié)詞"且"聯(lián)結(jié)命題P和命題q,記作pAq,讀作“p且q”.

⑵用聯(lián)結(jié)詞"或"聯(lián)結(jié)命題p和命題q,記作pVq,讀作"p或q".

(3)對一個命題p全盤否定記作㈱p,讀作"非p"或"p的否定

(4)命題pAq,pVq,p的真假判斷

pAq中p、q有一假為假，pVq有一真為真，p與非p必定是一真一假.

4,全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞與全稱命題

短語"所有""任意""每一個"等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號""x”表示.

含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

全稱命題"對M中任意一個X,有p(x)成立"可用符號筒記為"xWM,p(x),讀作“對任意x屬于

M,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在性命題

短語"有一個""有些""存在一個"等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號"$x”表

示.

含有存在量詞的命題，叫做存在性命題.

存在性命題"存在M中的一個X,使p(x)成立"可用符號簡記為$xdM,p(x),讀作“存在一個x

屬于M,使p(x)成立

5.含有一個量詞的命題的否定

命題命題的否定

n

x￡M,p(x)Sx￡M,0p(x)；

$x￡M,p(x)"xGM,0P(x).

［備課札記］

、課中?技巧點(diǎn)撥八：

AW，，r

國提精選

題型1否命題與命題否定

例1(1)命題“若a>b,則2a>2b-l”的否命題為；

⑵命題："若x2+x-m=0沒有實(shí)根，則mSO"是(填"真"或"假")命題；

⑶命題p：”有些三角形是等腰三角形”，則0P是.

答案：(1)若asb,則2aW2b—1(2)真(3)所有三角形都不是等腰三角形

解析：(2)很可能許多同學(xué)會認(rèn)為它是假命題原因?yàn)楫?dāng)m=0時顯然方程有根，其實(shí)不然，由

111

x2+x—m=0沒實(shí)根可推得m<一］,而｛mlmv—Q是｛m|m40｝的真子集，由m<一1可推得mWO,

故原命題為真，而它的逆否命題"若m>0,則x2+x-m=O有實(shí)根”顯然為真，其實(shí)用逆否命

題很容易判斷它是真命題.

(3)0P為"對任意xCA,有p(x)不成立"，它恰與全稱性命題的否定命題相反.

變式訓(xùn)練

把下列命題改寫成"若p則q"的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題.

(1)正三角形的三個內(nèi)角相等；

(2)已知a、b^c、d是實(shí)數(shù)，若a=b,c=d,則a+c=b+d.

解：(1)原命題：若一個三角形是正三角形，則它的三個內(nèi)角相等.

逆命題：若一個三角形的三個內(nèi)角相等，則這個三角形是正三角形.

否命題：若一個三角形不是正三角形，則它的三個內(nèi)角不全相等.

逆否命題：若一個三角形的三個內(nèi)角不全相等，那么這個三角形不是正三角形.

(2)原命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若@=1>,c=d,則a+c=b+d.

逆命題：已知a、b、c^d是實(shí)數(shù)，若a+c=b+d,則a=b且c=d.

否命題：已知a、b、c>d是實(shí)數(shù)，若a與b,c與d不都相等，則a+cwb+d.

逆否命題：已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a+crb+d,則a與b,c與d不都相等.

題型2充分必要條件

例2已知p：x2—8x—20<0,q：x2—2x+l—m2^0(m>0),若。p是0q的必要不充分條件,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：0p：x2-8x-20>0,得xV-2或x>10,

設(shè)A={x|x<—2或x>10},

°q：x2—2x+l—m2>0,得xVl—m,或x>l+m,

設(shè)B={x|x<l—m或x>l+m}.

???0P是0q的必要非充分條件，

1—m<—2.

B真包含于A,即Dm29.

l+m>10

???實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>9.

備選變式(教師專享)

下列四個結(jié)論正確的是.(填序號)

①“xWO"是"x+|x|>0"的必要不充分條件；

②已知a、bGR,則"|a+b|=|a|+|b|"的充要條件是ab>0；

③“a>0,且A=b2-4ac40"是"一元二次不等式ax2+bx+c20的解集是R"的充要條件；

④“xWl"是“x2Wl”的充分不必要條件.

答案：①③

解析：①因?yàn)橛蓌wO推不出x+|x|>0,如x=-l,x+|x|=0,而x+|x|>0xWO,故①正

確；因?yàn)閍=0時，也有|a+b|=|a|+|b|,故②錯誤，正確的應(yīng)該是"|a+b|=|a|+|b|"的

充分不必要條件是ab>0；由二次函數(shù)的圖象可知③正確；x=-l時，有x2=l,故④錯誤，

正確的應(yīng)該是“XH1"是"X2W1”的必要不充分條件.

題型3全稱命題與存在性命題的否定

例3命題"所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)"的否定是.

答案：存在一個不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù)

備選變式(教師專享)

若命題改為"存在一個能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)"，其否定為.

答案：所有能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù)

題型4求參數(shù)范圍

例4已知命題p：方程a2x2+ax—2=0在[―1,1]上有解；命題q：只有一個實(shí)數(shù)x滿足不

等式x2+2ax+2a40,若命題"p或q"是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由a2x2+ax—2=0,得

(ax+2)(ax—1)=0,

21

顯然axO,x=一;或x=：.

33

21

*/xe[-i,1],故：W1或二<1,

dd

J|a|21.

由題知命題q〃只有一個實(shí)數(shù)x滿足x2+2ax+2a<0\

即拋物線y=x2+2ax+2a與x軸只有一個交點(diǎn)，

??△=4a2—8a=0,??a=0或a=2,

**.當(dāng)命題"p或q"為真命題時|a|21或a=0.

V命題〃p或q”為假命題,

a的取值范圍為{a|—l<a<0或0<a<1}.

備選變式(教師專享)

已知命題p：函數(shù)y=loga(l—2x)在定義域上單調(diào)遞增；命題q：不等式(a—2)x2+2(a—2)x—

4<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立.若pVq是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：:命題p：函數(shù)y=loga(l—2x)在定義域上單調(diào)遞增，，0<a<l.

又命題q：不等式(a—2)x2+2(a—2)x—4<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，

a—2<0,

BP-2<a<2.

A=4(a-2)2+16(a-2)<0,

?/pVq是真命題，

:.a的取值范圍是一2<a?2.

新題推薦

-----------■-

命題"所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)"的否定是

答案：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)

2.設(shè)a、B為兩個不同的平面，直線|ia,貝『1_1曠是"0(_1曠成立的條件.

答案：充分不必要

解析：根據(jù)定理知由l_LB可以推出a，B.反之不成立，僅當(dāng)I垂直于a、B的交線時才成立.

3.“若a+b為偶數(shù),則a、b必定同為奇數(shù)或偶數(shù)"的逆否命題為.

答案：若a、b不同為奇數(shù)且不同為偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)

_____1

4.已知命題pl：函數(shù)y=ln(x+Ml+x2),是奇函數(shù)，p2：函數(shù)y=x2為偶函數(shù)，則下列四個

命題：

①plVp2；②plAp2；③(0pl)Vp2；④pl/\(0p2).

其中，真命題是.(填序號)

答案：①④

解析：由函數(shù)的奇偶性可得命題pl為真命題，命題p2為假命題，再由命題的真假值表可得

②③為假，①④為真.

一/糖品題庫(教帥互事)

1

1.若a、b為實(shí)數(shù)，則〃0<ab<l〃是〃bq”的條件.

a

答案：既不充分也不必要

11

解析：0<ab<l,a、b都是負(fù)數(shù)時，不能推出bq；同理bq也不能推出0<ab<l.

3a

2.在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，正確命題的個數(shù)記為

f(p),已知命題p：“若兩條直線11：alx+bly+cl=0,12：a2x+b2y+c2=0平行,則alb2一

a2bl=0”.那么f(p)=.

答案：2

解析：若兩條直線11：alx+bly+cl=O與12：a2x+b2y+c2=0平行，則必有alb2—a2bl=0,

但當(dāng)alb2-a2b1=0時，直線11與12不一定平行，還有可能重合，因此命題p是真命題，但

其逆命題是假命題，從而其否命題為假命題，逆否命題為真命題，所以在命題p的四種形式

的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，有2個正確命題，即f(p)=2.

3.設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式2|x-2|<a的解集為；命題q：函數(shù)y=lg(ax2—x+a