高中數(shù)學(xué)知識要點重溫復(fù)習(xí)歸納

要點重溫之集合、邏輯

江蘇鄭邦鎖

1.集合運算中一定要分清代表元的含義。

［舉例］已知集合P={y|y=x2,xGR）,Q={y|y=2",x《R}求PCQ。

解析：集合P、Q均為函數(shù)值域（不要誤以為是函數(shù)圖象，{（x,y）|y=x2,xeR}才表示函

數(shù)圖象），P=［0,+00）,Q=（0,+oo）,PAQ=Q。

［提高］A={x|y=3x+l,yGZ},B={y|y=3x+l,x￡Z},求ACB。

2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

［舉例］若人=僅，3}B={x|x>2}且AAB=①，求a的范圍（注意A有可能為中）。

解析：當(dāng)a>0時，集A=（-石，4a）,要使ACB=①，則后W2,得0<aW4,

當(dāng)aWO時，A=①，此時ADB=①，綜上：aW4（A=①的情況很容易疏漏?。?/p>

［鞏固諾A={x|ax=l},B={x|x』}且BCA=A,求a的所有可能的值的集合。

［關(guān)注］ACB=A等價于A=B

3.充要條件可利用集合包含思想判定：若AgB,則A是B充分條件；若A衛(wèi)B,則A是B必

要條件；若A=B且人=3即A=B,則A是B充要條件。換言之：由AnB則稱A是B的充分

條件，此時B是A的必要條件；由BnA則稱B是A的充分條件，此時A是B的必要條件。

有時利用原命題與逆否命題等價，“逆命題”與“否命題”等價轉(zhuǎn)換去判定也很方便。

充要條件的問題要十分細心地去辨析：“哪個命題”是“哪個命題”的充分（必要）條件；

注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲n乙）”與“甲的充分條件是乙（乙n甲

［舉例］若非空集合MuN,則“ae"或aeN”是“aeA/nN”的（）

（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分又非必要條件

解析：命題“oeM或。eN”等價于顯然“AN是"UN的真子集,

“awM或awN”是“aeMflN”的必要不充分條件。

［鞏固］已知直線加、”和平面a,則加〃〃的一個必要但不充分條件是（）

（A）機〃a且〃〃a（8）機_La且“_La

（C）m>〃與a成等角（。）機〃a且“ua

4.命題“A或B”真當(dāng)且僅當(dāng)“A、B中至少要一個真"；命題“A或B”假當(dāng)且僅當(dāng)“A、B

全假，命題“A且B”真當(dāng)且僅當(dāng)“A、B全真"；命題“A且B”假當(dāng)且僅當(dāng)“A、B中至少

要一個假”?！癙真”則“非P假”，“P假”則“非P真”；注意：“非P”和“P的否命題”是

不同的，“非P”只否定命題的結(jié)論，“P的否命題”則是分別否定命題的條件和結(jié)論；如P:

兩直線平行內(nèi)錯角相等，“非P”：兩直線平行內(nèi)錯角不相等，“P的否命題”：兩直線不平行

內(nèi)錯角不相等。

［舉例］已知p：函數(shù)f（x）=lg（ax2-x+La）的定義域為R；q：不等式如27+1<l+ax對一切正

實數(shù)均成立。若p或q為真，p旦q為假，則實數(shù)a的取值范圍是

6Z>0

解析：f(x)的定義域為R=>ax^x+^a>0對一切實數(shù)x恒成立=><

1

A=1—9<0

4

na>2,即命題p：a>2；不等式J不開vl+ax對一切正實數(shù)均成立nQ>出上!二!?對

x

J?r+1-1/-----

一切正實數(shù)X恒成立，記g(x)=^---------,則Q>gmax(X)，令4+1=?>1),

X

也土1二1=衛(wèi)二D=2<i,可見函數(shù)g(x)無最大值，它的極大值為1,即

x廠—1/+1

命題q：a》l；而p或q為真，p且q為假即p、q一真一■假；若p真q假，則a>2且a<l,

這不可能，舍去；若p假q真，貝Ua<2且a'l即lWaW2；

［鞏固1］設(shè)p:x<-1,或x>1,q:x<-2或x>1,則「p是」夕的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

［鞏固2］若“邛或飛”是真命題,則---------------------------------------()

(A)“p或q”是真命題(B)“書且飛”是真命題

(C)“p或q”是假命題(D)“p且q”是假命題

簡答

2.［鞏固］｛-1,1,0),3.［舉例］B,［鞏固］C,4.［鞏固1］A,［鞏固2］D,

數(shù)學(xué)歸納法、極限

江蘇鄭邦鎖

1.數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個“關(guān)于正自然數(shù)n的命題對于從正自然數(shù)n,開始的所有正自然

數(shù)n都成立”的問題。

2.能根據(jù)f(k)正確寫出f(k+l),并能指出f(k)與f(k+l)之間的關(guān)系,這往往是運用數(shù)學(xué)歸

納法的最關(guān)鍵的一步。

［舉例1］已知/,(/?)=—!—+—!—+—^+--.+—,則/(〃+i)=

〃+14+2〃+32/7

1_/(?)+—^—+1_

A./(〃)+B.

2(〃+1)2/7+12(〃+1)

1_11_

C./(?)-D./(?)+-----

2(77+1)2〃+12(〃+1)

解析：/(〃)是從n+1開始的n個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，故f(n+1)是從n+2開始的n+1個

連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，即

，,八11111

/(〃+1)=------1-------F…H-------------1----------1------------

〃+2〃+3〃+1+〃―1〃+1+〃〃+1+〃+1

1

〃+2〃+32〃2〃+12(〃+1)2〃+12(〃+1)72+1

11_

=/(〃)+故選D。

2〃+12(〃+1)

［舉例2］用數(shù)學(xué)歸納法證明"5」21‘能被3整除，的第二步中，n=k+l時，為了使用歸納假設(shè)，

應(yīng)將5k+1-2k+1變形為____________________

［解析］假設(shè)n=k時命題成立.即:5卜一2k被3整除.當(dāng)n=k+l時,5k+1-2k+l=5X5k-2X2k

=5(5k-2k)+5X2k-2X2k=5(5k-2k)+3X2k

［鞏固1］用數(shù)學(xué)歸納法證明l+g+g+…+』j〈n(n〉l)時，由n=k(k>l)不等式成

立，推證n=k+l時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)是____。

A.2"TB.2*-1C.2kD.2*+1

［鞏固2］用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：

(n+1)X(n+2)X-X(n+n)=2nX1X3X-X(2n-l)

3.數(shù)學(xué)歸納法公理：如果關(guān)于自然數(shù)n的一個命題p(n)滿足下列條件⑴p(n?)成立，即

當(dāng)n=n。時，命題成立，⑵假設(shè)p(k)成立，則p(k+l)也成立；根據(jù)(1)(2)知命題p(n)對n

》n?的所有自然數(shù)n都成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程實質(zhì)上是一個遞推的過程，(1)

是遞推的基礎(chǔ)，(2)是遞推的條件；二者缺一不可。

4.數(shù)學(xué)歸納法通常用于證明關(guān)于自然數(shù)n的等式、不等式、整除性等。用“歸納假設(shè)”即

命題p(k)成立證明命題p(k+l)成立(已知p(k)成立，求證p(k+l)成立)是數(shù)學(xué)歸納法證

明中最關(guān)鍵的一步；而明晰命題p(k)與命題p(k+l)之間的關(guān)系又是實現(xiàn)這一步的前提。

［舉例1］已知加為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時，(l+x)'"21+ax；

解析：視(l+x)"'21+mx為關(guān)于加的不等式，x為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i)當(dāng)=1時，原不等式成立；當(dāng)機=2時，左邊=l+2x+x-右邊=l+2x,

因為120,所以左邊2右邊，原不等式成立；

(ii)假設(shè)當(dāng)〃?=左時，不等式成立，即(1+X)"N1+AX,則當(dāng)加=左+1時，

'：x>-\,/.1+%>0,于是在不等式(l+x>N1+自兩邊同乘以1+x得

(1+X)*?(I+x)》(1+Ax)(l+x)=1+(左+l)x+kx2N1+(左+l)x,

所以(l+x)ni》1+(左+l)x.即當(dāng)加=左+1時，不等式也成立.

綜合(i)(ii)知，對一切正整數(shù)加，不等式都成立.

［舉例2］設(shè)正整數(shù)數(shù)列｛4｝滿足：生=4,且對于任何“6N*,有

11

—T----------

2+-a"+'<2+—；（1）求q,%；（2）求數(shù)列｛4｝的通項4?

%+i1__L%

n〃+1

（07高考江西理22）

.1/11、1

解析：（1）據(jù)條件得2H----<〃（〃+1）---1----<2H----①

?！?1a.+Ja”

1-111.士c122cl

當(dāng)〃=1時,由2-I--<2—I---<24—,即有2d—<—I—<2d—,

<7,（勾生Ja\444勾

2Q

解得§<6<亍因為％為正整數(shù)，故q=L

1fl]Ai

當(dāng)〃=2時，由2+—<6-+—<2+-,解得8<%<10,所以%=9.

%I4aJ4

（2）由a1=1,a2=4,%=9，猜想：an-rr.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

1°當(dāng)〃=1,2時，由（1）知/=〃2均成立;

2。假設(shè)”=%（后22）成立，則為=公，則〃=左+1時

2

?ZBn17/,111\1k\k+\）k（k+左一1）

由①得2H---<k（k+1）——H----<2H——=-z-2------<%<

磯（公4+JHk-k+\rn

nd）?—翳</<（左+1）2+白

因為《22時，（左2+1）—（左+1）2=以左+1）（左一2）20,所以匚e（o,l］.

k+1

左―121,所以」一€（0,1］.又W+［LN*,所以（無+1）2W%IW/+1）2.

k—1

故4+1=（左+1>,即〃=左+1時，%=/成立.由1°,2,知，對任意〃eN*,an=rr.

8?18-28?n

［鞏固1］已知數(shù)列『.…；S”為其前n項和,

3232-52（2?-1）2-（2/7+1）2

求SrS2,S3、S4,推測S,，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

［鞏固2］已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前〃項和S?滿足E〉1,且

6S,=(q+1)(%+2),〃wN.(I)求｛%｝的通項公式;

(H)設(shè)數(shù)列也｝滿足可(2--1)=1,并記7；為也｝的前〃項和，求證:

37^,-1>log2(4Z?+3),(07高考重慶理21)

5.若/(c)存在，則lim/(x)=/(c),若/(c)=g(c)=0,則lim」里一般“約分”(約去

1C』g(X)

含x-c的因式)后再求極限。若lim/(x)=A、limg(x)=B,J3?]lim[/(x)±g(x)]=A±

XTCX->CXTC

B,lim[/(x)g(x)]=AB,lim(”)=3(B#0).

f3g(x)B

[舉例]limf,2x+1------1=________.(07高考陜西理13)

x-?i+x—2x—1)

“L2x+l1x-11

解析：---------------二-------------二-----，

x"+x-2x-1(x+2)(x-1)x+2

.(2x+l1[「1_1

??lim-3-----------r=hm----=-

x-^\\x2+x-2x-l)ax+23

[鞏固1]下列四個命題中，不用硯的是()

A.若函數(shù)/(%)在％=/處連續(xù),則lim/(%)=lim/(%)

X-出+-v-*V

B.函數(shù)/G)=夕x+￡2的不連續(xù)點是x=2和x=—2

xz-4

C.若函數(shù)/(x),g(x)滿足lim[/(x)-g(x)]=0,JUOlimf(x)=limg(x)

X-"8X-8X-*00

D.lim——-=—(07高考湖南理7)

I%一12

41

[鞏固2]lim(------)=_______

-24-x2+x

6.若Iq|<1,貝qlimqn=0;q=l,貝limqn=1;若q>l或夕<-l,貝Ulimq"不存在。limc

"―>00M—>00rt—>00M—>00

Qc000

二。(c為常數(shù))；“一”型的式子極限為0;“一”型、“一”型的極限不存在；“一”型和

oo0c0

“藝”型，一般分子、分母“同除以"一個式子(包括“約分”)后再求極限；含有根式的

00

±

和(差)的式子一般有理化后再求極限。若lima〃=A、limbn=B,則lim(anbn)=A

±B,lim(a/?)=AB,lim^-=—(B^O).

M->QOt1〃T8bB

1

［舉例1］若lim1,則常數(shù)q=

〃Too

解析：分母有理化

..+4+G1..

=lim--------廣-----=■-lim(Jl+-+l)

〃二8yfn(y/n+a-Vw)〃T8QJ〃q〃T8Vn

=-x2=l=>a=2

a

Hp

T

［舉例2］已知p和q是兩個不相等的正整數(shù)，且q?2,則limL二()

〃-8

1+-I-1

A.0B.1C.—D.2二(07高考湖北理5)

qq-i

1,11

i+-1+p--FC"-z-+…+C?----1

n)p2pp

解析：limlimnnn

?—*00〃T8

］+q,—F；-z-+…+：----1

nCg〃2Cg/

n)

11111,1

夕—+*+?.?+”0i

"T

=lim—9--------々------9=lim—,選C。

1.1

"781”21,,W1"T891q

不+…q+c；

q.一n+cn+c“nfq

［鞏固1］把l+(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)"展開成關(guān)于X的多項式，其各項系數(shù)和為%,

1

一1

則

等

㈣2Ja于

“+1

11

-c2

A.4B.2-D.

［鞏固2】?㈣2M布-個)等于()

A.1B.2C.4D.O

W+l.AW-l

［遷移］設(shè)正數(shù)5力滿足li嗎(/+ax-b)=4,則lim——~()

A.0D.1(07高考重慶理8)

7.無窮數(shù)列｛4｝的前n項和為Sn,limS〃稱為數(shù)列｛?！ǎ臒o窮多項和或所有項和。求

limS.時，切不可分別求各項的極限后再求和；必須先求S“，再求極限。若｛%｝為等比數(shù)

w—>x

列，公比為q且|q|<l,則limS〃二」

?-><?］—q

［舉例1］若數(shù)列｛凡｝滿足：ax=1,且對任意正整數(shù)m,n都有am+n=am-an,則

lim(q+a,+—+*)=(07高考湖南理2)

〃T+co

173

A.—B.—C.-D.2

232

解析：數(shù)列｛a,,｝滿足：6=；，且對任意正整數(shù)m,n都有am+n=aman,

△Q0K，△Q64,…,△Q,_￡L2與t.當(dāng)〃―8時，這些三角形的面積之和的極限

為?

解析：go),乙(2,0),…，,0)；a(-,i-(-)2),2(2,1-(2)2),…,

nnnnnnn

2?.,(-4-(—)2)>記的面積為s,則S|=!」1_(_L)2],

nS2=

nn2z?n

2

一(2)」，…，Sn.i=^--—?[1-(---)];lim(S]+邑+…+S〃.J=

2z7n2nnw->°°

12+22+--.+(T7-1)2("1)(〃—2)(2〃-3)11_1

lim—[(w-l)-」=——lim

〃T82n22is12/26-3

［鞏固1］數(shù)列｛—J—｝的前n項和為Sn,貝IJlimSn=______________

4n—1zoo

［鞏固2］如圖，等邊三角形ABC的面積等于1,連結(jié)這個三角形各邊的中

點得到一個小三角形，乂連結(jié)這個小三角形各邊的中點得到?個更小的

三角形，如此無限繼續(xù)下去，求所有這些三角形的面積的和.

BC

.46..46..46.

（?。?（”一刀+…+（菽一方）

［鞏固3］lim-1-7―景田

1_7+（6r一科1+.“+（/一歹）

答案

2、［鞏固1］C；4、［鞏固1］S,,=(；；；：：)；1，［鞏固2］a“=3〃—1,

5、［鞏固1］C,［鞏固21；6、［鞏固1］D,［鞏固2］B,［遷移］B；7、［鞏固1］1,

4

［鞏固2］［鞏固3］-1

要點重溫之函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)

江蘇鄭邦鎖

1.一條曲線是函數(shù)圖象的必要條件是：圖象與平行于y軸的直線至多只有一個交點。一個函

數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域須一一對應(yīng)，反應(yīng)在圖象上平行于X軸的直線與

圖象至多有一個交點。單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？(是的，任何函數(shù)在它的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)

總有反函數(shù));

［舉例］函數(shù)f(x)=x?-tx+2在［1,2］上有反函數(shù)，則t的一切可取值的范圍是—

解析：對于''連續(xù)”函數(shù)而言，函數(shù)有反函數(shù)即單調(diào)；f(x)=x?-tx+2在［1,2］上單調(diào)即區(qū)間

［1,2］在對稱軸x=1的一側(cè)，，工22或即］tW2或t24。

2.求一個函數(shù)的反卷數(shù)必須標(biāo)明專函數(shù)的良義域，即要求出原函數(shù)的值域。求反函數(shù)的表達

式的過程就是解(關(guān)于x的)方程的過程。注意：x=f-'(y)一定是唯一的。

y-I1

［舉例］函數(shù)y=ln----,x￡(1,+8)的反函數(shù)為

x-1

(A)y=-----,xe(0,+oo)(B)y=C,xe(0,+oo)

/+1-1

ex—I/、+1/

（C）y=——,xe（-oo,0）（D）y=——,xe（-8j

ex+1ex-I

VI12vI1

解析：???x€（l,+oo）,—=1+——>1（關(guān)注分離常數(shù)），；.y=ln^—e（0,+oo）

x-lx-1x-1

」1X+13X+1V-r-ftATT.I.e'+1-r-4,AZH。"+1/八\

又由y=In------得-----=ey,不難解出x=---------，互換后得y=---------,x￡（0,+oo）

x-1x-1ey-1ex-1

（互換是“全面”的，表達式上換，定義域、值域也要換）故選B。

3.原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖

象關(guān)于y=x對稱；若函數(shù)y=f(x)的定義域為A,值域為C,aeA,bGC,f［f-1(b)］=b;

f-，［f(a)］=a

［舉例1］已知函數(shù)/(?=_!_的反函數(shù)./T(x)的圖象的對稱中心是(0,2),貝Ija=—

x-a

解析：原函數(shù)/(x)=，是有反比例函數(shù)(奇函數(shù))平移而來，其圖象關(guān)于(a,0)對稱，

x-a

它的反函數(shù)/T(x)的圖象應(yīng)關(guān)于(0,a)對稱，即a=2

［舉例2］已知f(X)=X2+2X+3,(X>-1),則f1(3)=o

解析：此題不宜求反函數(shù)(麻煩)，注意到3是反函數(shù)丫=￡'(X)的自變量，就是原函數(shù)y=f(x)

的函數(shù)值，令x?+2x+3=3,得x=0或x=-2,又x>-L??.x=0,此即反函數(shù)的函數(shù)值尸(3)(原

函數(shù)的自變量)。

［遷移］已知f(x)=2sinxcosx+2VJcos2x-V3,xe,巳］,求⑴的值。

122

4.奇函數(shù)對定義域內(nèi)的注意x滿足f(-x)+f(x)=0;偶函數(shù)對定義域內(nèi)的在意x滿足

f(-x)-f(x)=0;注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時，得到的是關(guān)于x的唐箏式而不是方程。

若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則f(x)定義域必關(guān)于原點對稱；反之，函數(shù)定義域不關(guān)于

原點對稱，該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。若f(x)是奇函數(shù)且f(0)存在，則f(0)=0;反之

不然.

［舉例］函數(shù)加尸logjx-切是偶函數(shù)的充要條件為

解析：思路一：函數(shù)/(x)=log點?6|是由偶函數(shù)y=log加|平移所得，.,?函數(shù)尸logJx-a的圖象

關(guān)于直線x=b對稱，而它自身又是偶函數(shù)，圖象乂關(guān)于y軸(x=0)對稱，???b=0。

思路二:<x)=loga|x-b|是偶函數(shù)則logj-x-b|=logjx-b|恒成立，即|x+b|=|x-b|恒成立，，b=00

4X-b

［鞏固］設(shè)f(x)=lg(10x+l)+ax是偶函數(shù),g(x)=---------是奇函數(shù)，那么a+b的值為()

T

11

A.lB.-lC.--D.-

22

5.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，推廣：函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都有f(a-x)=f(a+x)<=>

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱,再推廣:函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都有f(a+x)=f(b-x),

=f(x)的圖象關(guān)于對稱。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，關(guān)推廣：函數(shù)f(x)對定義域

2

內(nèi)的任意X都有f(a-x)=-f(a+x)。函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱。注意：兩個函數(shù)

圖象之間的對稱問題不同于函數(shù)自身的對稱問題。函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a的對稱

曲線是函數(shù)y=f(2a-x)的圖象，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)的對稱曲線是函數(shù)

y=-f(2a-x)的圖象。，

［舉例1］若函數(shù)y=f(x-l)是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于對稱

解析：思路一：y=f(x-l)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，向左平移1個單位后得到函數(shù)

y=f(x)的圖象，對稱軸也隨之平移至x=T,即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=-l對稱；

思路二：y=f(x-l)是偶函數(shù)，則有f(-x-l)=f(x-l),由軸對稱的等價定義知函數(shù)y=f(x)的圖

象關(guān)于x=-l對稱。

［舉例2］若函數(shù)f(x)=(x-a)3滿足f(l+x)=-f(1-x),則f(2)=.

解析：由f(l+x)=-f(l-x)知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱,事實上函數(shù)f(x)=(x-a)3

的圖象關(guān)于(a,0)對稱，；.a=l,于是f(x)=(xT)\f(2)=1,

［鞏固］函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于直線x=a對稱

C.關(guān)于點M(a,0)對稱D.關(guān)于點M(-a,0)對稱

6.若函數(shù)f(x)滿足：f(x+a)=f(x-a),則f(x)是以2a為周期的函數(shù)。注意：不要和對稱

性相混淆。若函數(shù)f(x)滿足：f(a+x)=-f(x)(a*0),則f(x)是以2a為周期的函數(shù)。類似的

條件還有/(x+a)=-^—,f(x+a)=等。

./(X)/(x)

［舉例］已知函數(shù)y=/(x)(xGR)滿足/(X+1)=/(x—1),且當(dāng)xe［―1,1］時，/(X)=%2,

則》=/(x)與歹=logsX的圖象的交點個數(shù)為()

A、2B、3C、4D、5

解析：由/(X+1)=/(%—1)知函數(shù)

N=/(x)的周期為2,作出其圖象

如右，當(dāng)X=5時，f(X)=l,log5X=l；

當(dāng)x>5時,f(x)=l￡［0,1］,

log5x>l,y-f(x)與y=log5x

的圖象不再有交點，故選C。

［鞏固］設(shè)奇函數(shù)Hx)的定義域為R，且對任意實數(shù)x滿足f(x+l尸-f(x),若當(dāng)xe［0,1］時，

f(x)=2"T,則f(log(6)=.

2

7.判斷函數(shù)的單調(diào)性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)(如復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”法則)，研

究三次或三次以上的多項式函數(shù)的單調(diào)性多用導(dǎo)數(shù)；證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義或?qū)?shù)，不

能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì),用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式分解。記住并會

證明：函數(shù)y=x+—>0)的單調(diào)性。了解單調(diào)性定義的變形：對區(qū)間［a,b］內(nèi)的任意

x

X,y都有/⑴―/0：)>0,則函數(shù)f(X)在［a,b］遞增(小于0則遞減)。

x-y

［舉例1］證明函數(shù)歹=》+@,(。>0)在(0,、萬］上遞減，在［JZ,+8)上遞增。

X

解析：記/(x)=x+g,思路一：用定義證明，任取0<玉<》2忘1,/'(再)一/。2)=

X

a；,，一

%,-x2+---=(X)-x2)(1-),V0<x,<x2W-，?0<x］x2<a>1,

修x2XjX2XjX2

即/'(￡)，；函數(shù)歹=在］上遞減.

/.(Xj-x2)(1--)>0,/(%1)>?x+g,(Q>0)(0，G

XjX2X

在［石，+8)上遞增的證明留給讀者自己完成。思路二：用導(dǎo)數(shù)，

X

若(0,4'a］,則彳21,/(x)=l-彳W0,二函數(shù)/(x)在(0,］上遞減.

XX

Q—1

［舉例2］函數(shù)y=x+——在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為

x

A.a>10B.Ka^lOC.a24D.l<a<4

解析：函數(shù)y=x+―>1)在區(qū)間(0,Ja-l］上遞減,二.(0,3)是(0,］

x

的子集，即3WJa—1,?，?。210。

X4-n

［遷移］求函數(shù)f(x)二f?在(-1,+00)單調(diào)遞減的充要條件.

x+b

(如果把區(qū)間的左端變?yōu)椤伴]”，結(jié)果如何？)

8.函數(shù)圖象的幾種變換：平移變換、伸縮變換遵循“圖進標(biāo)退”原理：即曲線(函數(shù)圖象)

向上(右)平移m(m>0)個單位，則方程(表達式)中的y(x)應(yīng)變?yōu)閥-m(x-m);曲線(函數(shù)

圖象)橫(縱)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膎倍，則方程(表達式)中的x(y)應(yīng)變?yōu)槿?上).對稱

nn

(翻折)變換，如函數(shù)y=f(-x)的圖象是由y=f(x)的圖象沿y軸翻折得到，y=-f(x)的圖象

是由y=f(x)的圖象沿x軸翻折得到，y=|f(x)|的圖象是由y=f(x)的圖象保留x軸上方的部

分并翻折x軸下方的部分得到，y=f(Ix|)是由y=f(x)的圖象保留y軸右側(cè)的部分，擦去左

側(cè)部分并將右側(cè)的部分沿y軸翻折得到。記住兩個函數(shù)圖象：y=|x-a|的圖象是“V字形”，

“尖頂”是(a,0);y=竺土2的圖象是由一個反比例函數(shù)平移(分離常數(shù))而來。

cx+d

［舉例］奇函數(shù)y=f(x)(x#O),當(dāng)x￡(0,+8)時，f(x)=x—l,則函數(shù)f(x?l)的圖象是()

ABCD

解析：函數(shù)y=f(x)的圖象為C圖，將y=f(x)的圖象向右平移1個單位即得到函數(shù)f(x-l)的圖

象，故選D。

［鞏固］函數(shù)f(x尸sin2x+2cos2x的圖象向右平移m個單位后為偶函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為

［遷移］使得函數(shù)y=x2+a|x|有四個單調(diào)區(qū)間的a的取值范圍。

簡答

4.［鞏固］D；5.［鞏固內(nèi)6.［鞏固］一!，7.［遷移"(x)=l+巴心，當(dāng)a>b時在(一"+oo)

2x+6

3

上遞減，，一即a>bel;若變?yōu)椤伴]”則a>b>l；8.［鞏固］—乃，［遷移］滿足條件

8

的函數(shù)圖象在y軸的右側(cè)要“拐彎”，即對稱軸在y軸的右側(cè)，a<0

要點重溫之指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

江蘇鄭邦鎖

1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)。特別關(guān)注：aV=(ab)\(ax)y=axy,^cr：2X3X=6X,(2X)=4X

771

等；log“x”=—logox,(x>0,a>0,a1);logub=-----,

"mlogAa

(a>0,aH1,6>0,h*1)

［舉例］設(shè)f(x)=4x+4-x-(2l+x+2'-x)+2則f(x)的最小值為；

解析：記2x+2*=t,t>2,4x+4"+2=t2,g(t)=tJ2t=(t-D2-l,函數(shù)g(t)在［2,+8)上遞增，

.??g(t"g(2)=0,即忖的最小值為0；注意:此題如果使用基本不等式,有：4X+4-X22,

2I+X+2'-X24,則f(x)=4x+4-x-(2l+x+2'-x)+2^2-4+2=0,看似巧妙，結(jié)果也正確，其實荒唐，

因為上述過程的實質(zhì)是“同向不等式相減”。

x

2.指數(shù)函數(shù)y=a與對數(shù)函數(shù)y=logux,(a>0,aHl)是互為反函數(shù)即

a*=Z>Ox=log“6它是實現(xiàn)指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)換的橋梁。當(dāng)a>l時，兩個函數(shù)在定

義域內(nèi)都遞增；當(dāng)0<a<l時，兩個函數(shù)在定義域內(nèi)都遞減。

［舉例1］光線透過一塊玻璃板，其強度要減弱要使光線的強度減弱到原來的;以下，至

少需要這樣的玻璃板塊。(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771)

9

解析：記光線原來的強度為。，透過?塊玻璃板后其強度變?yōu)橐?,透過〃塊玻璃板后其

10

強度變?yōu)椋?2)%,貝即(2)"<Ln〃⑵g3-l)<-lg3n〃>一^—心

10103103l-21g3

10.4,（注意：21g3-1<0）,二〃=11.

7

［舉例2］loga-<1,則a的取值范圍是()

3

22

(A)(0>—)D(1,+oo)(B)(一,+8)

33

222

(C)(-,1)(D)(0,-)u(-,+8)

333

222

解析：若a>L則一<a,若OQ<1,則一>a,...OVa〈一;綜上,選A。(本題中視1為

333

log.a是化“數(shù)”為“對數(shù)”的通法)。

［鞏固］若3"=0.618,。€卜,A+1),k&Z,則左=。

［提高］方程x+lgx=3,x+10'=3的解分別為xi,Xz,貝ljxi+x2=

3.關(guān)注對數(shù)函數(shù)的定義域，特別是在解對數(shù)不等式(留意對數(shù)變形的等價性)和研究對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性(函數(shù)有意義才談得上增減)時。

［舉例1］函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=(')”的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則f(2x-x?)的單調(diào)

2

減區(qū)間為()

(A)(0,1)(B)［1,+oo］(C)(-00,1)(D)［1,2］

解析:f(x)與g(x)互為反函數(shù)，即f(x)=log］x,f(2X-X2)=10gl(2X-X2),記h(x)=2x-x：

22

則h(x)遞增(“外層”遞減)且h(x)>0(真數(shù))，.3￡(0,1］,故選A。(在函數(shù)定義域內(nèi)區(qū)間

的“開”“閉”不影響函數(shù)的單調(diào)性，所以求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時一般用開區(qū)間比較“穩(wěn)妥”)。

2

［舉例2］已知命題p：-<%；命題q：log2/〉1；則命題p是命題q的：()

X

A.充分不必要條件，B.必要不充分條件，

C.充要條件D.既不必要也不充分條件

解析：命題P：4<x,移項通分得：上二>0,“序軸標(biāo)根”得：xe(-V2,0)u(V2,+oo),

XX

命題q：10g2/>1等價于：％2>2,即》6(-8,-5/^)5后,+8)(注意：不等式lOg2/〉］

與不等式：210g2%>1不等價，log2/“等價于210g2|%|>1)：從集合包含關(guān)系更容易

看清兩個命題的邏輯關(guān)系，選D。

［鞏固］已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在區(qū)間［2,+oo)上遞增，則實數(shù)a的取值范圍是一。

4.函數(shù)y=a"的值域為(0,+oo)o特別關(guān)注函數(shù)y=a"的值與1的大小，函數(shù)y=log〃x的值

與。的大小。

［舉例1］函數(shù)y=」一的值域是()

T-1

(A)(-00,-1)(B)(-oo,0)U(0,+oo)

(C)(-1,+8)(D)(-00,-1)D(0,+00)

解析：思路-：“逆求”：2、=匕上>0得：歹>0或yv-1,選D。思路二：2X

y

“取倒數(shù)”要特別注意不等式兩邊同號，若則二一<-1；若則