山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期中月考高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有，一項(xiàng)符合題目要求．1.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由向量共線基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得.故選：A2.已知，則的值為（）A3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的正切公式即可.【詳解】故選：C3.在平行四邊形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，再利用向量線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在中，M為BC的中點(diǎn)，，，所以.故選：C4.已知為直線外一點(diǎn)，且，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由，，三點(diǎn)共線，可得，結(jié)合基本不等式即可求.【詳解】因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以存在非零實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為故選：A5.已知，均為銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及配湊法即可求解.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，均為銳角，則，所以，，所以，故選：C6.在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法求得余弦值.【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，所以為直角三角形，且，以為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系：所以，所以，所以.故選：C7.如圖，在長方形中，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立PM與PN的關(guān)系，再結(jié)合三角形面積公式，根據(jù)均值不等式求出面積的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)樗倪呅问情L方形，，，.在中，根據(jù)勾股定理，可得.因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，則，所以（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.由可得，已知，，則，那么，所以.在中，根據(jù)勾股定理，可得.因?yàn)椋?根據(jù)均值不等式，對于，，有：,（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.因?yàn)椋?，所以，那?

所以面積的最小值為.故選：B.8.已知的重心為，過點(diǎn)的直線分別與邊，交于點(diǎn)，，若，，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.不確定【答案】B【解析】【分析】將用作為基底表示，根據(jù)三點(diǎn)共線即可求.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榈闹匦臑椋?，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的有（）A.起點(diǎn)相同的單位向量均相等B.若向量，則C.若向量，，則、不一定平行D.任意兩向量、均有【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)相等向量的概念可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)共線向量的概念可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，起點(diǎn)相同的單位向量的方向不一定相同，故這些向量不一定相等，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若向量，則，B對；對于C選項(xiàng)，向量，，若，則、不一定平行；若，若、中至少有一個(gè)為零向量，則、平行，若、均為非零向量，可設(shè)，，則，則、平行，綜上所述，若向量，，則、不一定平行，C對；對于D選項(xiàng)，若、中至少有一個(gè)零向量，則，若、都為非零向量，設(shè)這兩個(gè)向量的夾角為，則，則，所以，，綜上所述，，D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求得的值，根據(jù)周期公式可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)已知點(diǎn)可求得的值，可判斷B，根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍，再依據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及整體代入法可求得選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，而，所以，即，選項(xiàng)A，的最小正周期是，則，A正確；選項(xiàng)B，圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，時(shí)，，則，，解得，C正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，解得，D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A.的圖象關(guān)于軸對稱B.是周期為的周期函數(shù)C.的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】對于AB對稱性與周期性的判定按定義進(jìn)行判斷，不正確時(shí)舉反例即可；對CD需要把函數(shù)化成一角一函數(shù)研究，結(jié)合對稱性和周期性簡化推算過程.【詳解】對于A：由題意函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，故的圖象關(guān)于軸對稱，所以A正確；對于B：因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，此時(shí)值域?yàn)椋蔆正確；對于D：由，則是的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，所以由，解得，則，又由的圖象關(guān)于軸對稱可知當(dāng)時(shí)，的解為，所以不等式的解為.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：研究三角函數(shù)問題要充分利用它的對稱性和周期性簡化問題的探究，如根據(jù)對稱性只研究一半，根據(jù)周期性只研究一個(gè)周期，其余情況根據(jù)對稱性和周期性得出結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與向量方向相反的單位向量為_____．【答案】【解析】【分析】由相反向量及單位向量的定義可得.【詳解】向量方向相反的單位向量.故答案為：.13.若，則_____．【答案】【解析】【分析】利用平方關(guān)系化簡，即可求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式和倍角公式即可求值.【詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍），所?故答案為：14.已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____，向量在向量上的投影向量為_____．【答案】①.②.【解析】【分析】空：根據(jù)已知條件，確定向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角，根據(jù)公式確定坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；空：根據(jù)投影向量的計(jì)算公式結(jié)合、坐標(biāo)即可求解.【詳解】空：由題意得，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則，，設(shè)，又因?yàn)?，所以，解得，所?空：向量在向量上的投影向量為，因?yàn)椋?，所?故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，滿足，，．（1）求；（2）求與的夾角的值；（3）求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可直接構(gòu)造方程求出；（2）利用夾角公式即可求；（3）由向量數(shù)量積運(yùn)算律可求得，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，又，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以?6.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值及取得最大值時(shí)的集合．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）最大值為2，取得最大值時(shí)的集合為【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，所以的最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，故的最大值為2，取得最大值時(shí)的集合為．17.求值：（1）；（2）已知，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先對原式進(jìn)行切化弦化簡，利用三角函數(shù)差角公式逐步變形，最終得出結(jié)果；（2）將兩式平方相加即可求.【小問1詳解】；【小問2詳解】將兩邊平方可得，，兩邊平方可得，，兩式相加可得，，即，解得．18.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；（3）記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得到周期，即可求得的值，再根據(jù)函數(shù)值可求得的值，最后根據(jù)輔助角公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)三角形變換得到變換后的解析式，再根據(jù)最值得到的值，即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)的取值范圍，分情況得到的取值范圍，整體法求得最值，得到的表達(dá)式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，所以，故，解得，所以；【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得的圖象，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的圖象，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，要使最大，則最大，最?。援?dāng)最大，最小時(shí)，即取得最大值，最大值；【小問3詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)；又，所以，所以，所以的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，，此時(shí)；又，所以，所以，所以的取值范圍為，綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖形變化以及最值，關(guān)鍵點(diǎn)有；（1）根據(jù)對稱中心以及對稱軸得到周期，根據(jù)周期公式得到參數(shù)；（2）輔助角公式是將含有多個(gè)三角函數(shù)名稱的解析式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)名稱的解析式；（3）對于三角函數(shù)的題，最常用的方法就是整體代入討論法.19.對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．（1）設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你結(jié)論并說明理由；（3）已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值．【答案】（1）（2）存在，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“長向量”的定義，列不等式，求的取值范圍即可得；（2）由題意可得，亦可得，故只需使，計(jì)入計(jì)算即可得；（3）首先由，，均是向量組，，的“長向量”，變形得到，設(shè),由條件列式，變形為，轉(zhuǎn)化為求的最小值.【小問1詳解】由題意