天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)橋北學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性測試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次階段性測試題高一數(shù)學(xué)一、單選題（本題共9小題，每題4分，共36分）1.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.【詳解】.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)幾何意義求解.【詳解】由可得，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點為，位于第二象限.故選：B3.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗，均滿足題意.故選：B.4.已知向量，，，若，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量坐標運算和向量共線的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】由，，，得，，又，所以，解得.故選：A.5.若是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合，設(shè)，，根據(jù)充分性和必要性兩個角度分別判斷即得.【詳解】如圖作，設(shè)，，由向量加法的平行四邊形法則知：由可得是菱形，因菱形的對角線不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一組鄰邊不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.如圖，已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運算法則即可求出．【詳解】由，得，而，所以.故選：B7.已知在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點依次是的（

）A.外心，重心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.重心，外心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心【答案】A【解析】【分析】根據(jù)到三角形三個頂點的距離相等，得到為外心；根據(jù)中線的性質(zhì)，可得為重心；根據(jù)向量垂直，即得到是垂心.【詳解】到三角形三個頂點的距離相等，故為外心；設(shè)為線段的中點，由得，，故所在直線為邊中線，同理可得，分別與，邊的中線共線，所以是三角形中三條中線的交點，故是重心；因，得，即，故，同理得到另外兩個向量都與邊垂直，得到是三角形的垂心.故選：A.8.如圖，在中，點是線段上靠近點的三等分點，過點的直線分別交直線、于點、.設(shè)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量的減法可得出，結(jié)合，，可得出，利用、、三點共線，可求出的值.【詳解】連接，因為點是線段上靠近點的三等分點，則，即，所以，，又因為，，則，因為、、三點共線，設(shè)，則，所以，，且、不共線，所以，，，故，因此，.故選：C9.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，如圖是一個正八邊形的窗花，從窗花圖中抽象出的幾何圖形是一個正八邊形，正八邊形的邊長為是正八邊形內(nèi)的動點（含邊界），則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標系，得到向量坐標，用向量的數(shù)量積坐標運算即可求解.【詳解】

以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則過作的垂線，垂足為，正八邊形中，邊長為4，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，所以，因為是正八邊形內(nèi)的動點（含邊界），所以的范圍為，所以，故選：A.二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則______.【答案】1【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡，進而求復(fù)數(shù)的模.【詳解】，則.故答案為：11.在中，若，則的外接圓半徑為__________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面積公式可得，再由余弦定理計算可得，根據(jù)正弦定理可得外接圓半徑.【詳解】易知，即，解得，由余弦定理可知，可得，設(shè)外接圓半徑為，所以，可得.故答案為：12.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取兩點，從兩點分別測得樹尖的仰角為，且兩點間的距離為，則樹的高度為_______m.【答案】【解析】【分析】在中由正弦定理可求得，進而即可求解樹的高度.【詳解】在中，，，，，在中，由正弦定理得，所以，所以樹的高度為.故答案為：.13.若向量，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角的條件，借助數(shù)量積公式來確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為向量，，與夾角為鈍角，所以且，即且，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足的三角形有兩個，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合三角形有兩解的條件列式求解.【詳解】在中，由及正弦定理可得：.∵有兩解，，即.故答案為：.15.如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】利用向量線性運算可將化為，由向量數(shù)量積的運算律和定義可構(gòu)造方程求得，由此可得；作，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標運算可將化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最小值的求法可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，又，；作，垂足為，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，，，，設(shè)，，，解得：，，，，，，則當時，取得最小值，最小值為.故答案為：.三、解答題（本題共4小題，共54分）16.已知復(fù)數(shù)為實數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求的值;（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍;【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用純虛數(shù)的概念得且即可得；（2）利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的概念即可.【小問1詳解】由化簡得，，因為是純虛數(shù)，所以，解得，所以的值是；【小問2詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，則，解得，所以的取值范圍為.17.已知向量滿足．（1）求向量與的夾角；（2）若向量在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，利用平面向量的夾角公式即可求解；（2）利用投影向量和數(shù)量積的運算即可求解．【小問1詳解】，，即，，，又，與的夾角為；【小問2詳解】，．18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角的大?。唬?）若，.（?。┣蟮拿娣e；（ⅱ）求的值.【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）由正弦定理和正弦和角公式得到，故，求出；（2）（?。┰冢?）的基礎(chǔ)上，由余弦定理得，故，由三角形面積公式得到答案；（ⅱ）由正弦定理得到，由余弦定理得到，由余弦差角公式得到答案.【小問1詳解】由已知及正弦定理，可得①，又，代入①式得，，整理得，因為，所以，，所以，因為，所以；【小問2詳解】（ⅰ）因為，，所以，整理得，解得或（舍），所以的值為3，所以的面積為.（ⅱ）由正弦定理,得,有，由余弦定理得，又，，故.19.“但有一枝堪比玉，何須九畹始征蘭”，盛開的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風景線，除白玉蘭外，上海還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準備將如圖扇形空地分成三部分，分別種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為，動點在扇形的弧上，點在上，且.（1）當米時，求長；（2）綜合考慮到成本和美觀原因，要使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大.設(shè)，求面積的最大值.【答案】（1）80m（2）【解析】【分析】（