2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)）：專題24 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（56題）（學(xué)生版）

專題24銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（56題）一、單選題1．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，，其中點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A．2 B． C． D．36．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C．2 D．37．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為．9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是．10．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）在中，，．若是銳角三角形，則邊長(zhǎng)的取值范圍是．11．（2024·福建·中考真題）無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對(duì)帆的作用力為．根據(jù)物理知識(shí)，可以分解為兩個(gè)力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個(gè)力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力．在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）12．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹的高為米．13．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，右圖為其平面示意圖，已知于點(diǎn)B，與水平線l相交于點(diǎn)O，．若分米，分米．，則點(diǎn)C到水平線l的距離為分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）．14．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題16．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．17．（2024·湖北·中考真題）小明為了測(cè)量樹的高度，經(jīng)過實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案：方案一：如圖（1），測(cè)得地與樹相距10米，眼睛處觀測(cè)樹的頂端的仰角為：方案二：如圖（2），測(cè)得地與樹相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)，眼睛在鏡子中恰好看到樹的頂端．已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，）18．（2024·山東泰安·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．19．（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，此時(shí)測(cè)得（點(diǎn)，，在同一直線上，且直線與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過程中繩子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求的長(zhǎng)；(2)求物體上升的高度（結(jié)果精確到）．20．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）（1）計(jì)算：（2）化簡(jiǎn)：21．（2024·湖南·中考真題）計(jì)算：．22．（2024·四川廣安·中考真題）計(jì)算：．23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）計(jì)算：24．（2024·四川遂寧·中考真題）小明的書桌上有一個(gè)型臺(tái)燈，燈柱高，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)燈帶與水平線夾角為時(shí)（圖1），燈帶的直射寬為，但此時(shí)燈的直射寬度不夠，當(dāng)他把燈帶調(diào)整到與水平線夾角為時(shí)（圖2），直射寬度剛好合適，求此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離．（結(jié)果保留1位小數(shù)）（）25．（2024·四川瀘州·中考真題）計(jì)算：．26．（2024·四川自貢·中考真題）計(jì)算：27．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請(qǐng)通過計(jì)算說明．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)求的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)出發(fā)去景點(diǎn)，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請(qǐng)計(jì)算說明誰(shuí)選擇的路線較近？29．（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：．30．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．31．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）（）計(jì)算：；（）已知，求代數(shù)式的值．32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測(cè)得橋頭在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達(dá)處，測(cè)得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）33．（2024·四川巴中·中考真題）（1）計(jì)算：（2）求不等式組的解集．（3）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中34．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng)．教學(xué)樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大?。?1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓的高度的方案，方案包括畫出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫的圖形上（測(cè)出的距離用等表示，測(cè)出的角用等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說明；(2)根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）．35．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）36．（2024·云南·中考真題）計(jì)算：．37．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．38．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．39．（2024·陜西·中考真題）如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)處的海拔高度，他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，再在上選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，．求山頂C點(diǎn)處的海拔高度．（小明身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，）

40．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．41．（2024·四川眉山·中考真題）計(jì)算：．42．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動(dòng)桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．43．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）某校九年級(jí)學(xué)生開展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）課題測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角成員組長(zhǎng)：×××

組員：×××，×××，×××測(cè)量工具竹竿，米尺測(cè)量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點(diǎn)是竹竿上一點(diǎn)．線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到地面的距離．是要測(cè)量的傾斜角．測(cè)量數(shù)據(jù)…………(1)設(shè)，，，，，，，，請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫字母填寫在“測(cè)量數(shù)據(jù)”一欄．(2)根據(jù)（）中選擇的數(shù)據(jù)，寫出求的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程．(3)假設(shè)，，，根據(jù)（）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出的度數(shù)，你選擇的按鍵順序?yàn)開_______．44．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，太陽(yáng)能板（如圖1）與水平地面的夾角會(huì)對(duì)太陽(yáng)輻射的接收產(chǎn)生直接影響．某地區(qū)工作人員對(duì)日平均太陽(yáng)輻射量（單位：）和太陽(yáng)能板與水平地面的夾角進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻畫．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)該地區(qū)太陽(yáng)能板與水平地面的夾角為多少度時(shí)，日平均太陽(yáng)輻射量最大？(3)圖3是該地區(qū)太陽(yáng)能板安裝后的示意圖（此時(shí)，太陽(yáng)能板與水平地面的夾角使得日平均太陽(yáng)輻射量最大），為太陽(yáng)能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點(diǎn)，．在延長(zhǎng)線上選取一點(diǎn)，在兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)，測(cè)得，在兩點(diǎn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得太陽(yáng)能板頂端的仰角為，，該測(cè)角儀支架的高為1m．求支撐桿的長(zhǎng)．（精確到m，參考數(shù)據(jù)：，）45．（2024·四川涼山·中考真題）計(jì)算：．46．（2024·四川涼山·中考真題）為建設(shè)全域旅游西昌，加快旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展．年月日位于西昌主城區(qū)東部的歷史風(fēng)貌核心區(qū)唐園正式開園，坐落于唐園內(nèi)的懷遠(yuǎn)塔乃唐園至高點(diǎn)，為七層密檐式八角磚混結(jié)構(gòu)閣樓式塔樓，建筑面積為平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（）堵坡造型．某校為了讓學(xué)生進(jìn)一步了解懷遠(yuǎn)塔，組織九年級(jí)（）班學(xué)生利用綜合實(shí)踐課測(cè)量懷遠(yuǎn)塔的高度．小江同學(xué)站在如圖所示的懷遠(yuǎn)塔前的平地上點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，眼睛距離地面，向塔前行，到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高．（參考?shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）

47．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬(wàn)瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽(yáng)光線，，，點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測(cè)量，，，．（結(jié)果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長(zhǎng)；(2)求“大碗”的高度的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）48．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長(zhǎng)為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）49．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù)．探究太陽(yáng)能熱水器的安裝素材一太陽(yáng)能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項(xiàng)發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽(yáng)能板需要安裝在每天都可以有太陽(yáng)光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽(yáng)光線與水平線的夾角為α，冬至日時(shí)，；夏至日時(shí)，．，，，，，，，，素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽(yáng)光照射．現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽(yáng)能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時(shí)刻的太陽(yáng)光線．問題解決任務(wù)一確定使用數(shù)據(jù)要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽(yáng)能板，應(yīng)選擇________日（填冬至或夏至）時(shí)，α為________（填，，，中的一個(gè)）進(jìn)行計(jì)算．任務(wù)二探究安裝范圍利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽(yáng)能熱水器．50．（2024·四川成都·中考真題）中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子垂直于地面，長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子在太陽(yáng)光線照射下產(chǎn)生的日影為；在冬至?xí)r，桿子在太陽(yáng)光線照射下產(chǎn)生的日影為．已知，，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

51．（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖（2）為測(cè)量示意圖（點(diǎn)，，，均在同一平面內(nèi)，）．已知斜坡長(zhǎng)為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：，，，）

52．（2024·四川達(dá)州·中考真題）“三匯彩婷會(huì)”是達(dá)州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨(dú)有的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)、起源于漢代、融數(shù)學(xué)，力學(xué)，鍛造，綁扎，運(yùn)載于一體，如圖1，在一次展演活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學(xué)站在處．借助測(cè)角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點(diǎn)的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學(xué)在觀測(cè)點(diǎn)處借助無人機(jī)技術(shù)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得平行于水平線，中軸上的點(diǎn)的仰角，點(diǎn)、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學(xué)的眼睛到地面的距離米，請(qǐng)根