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二階常系數線性微分方程

微分方程一、定義n階常系數線性微分方程的標準形式二階常系數齊次線性方程的標準形式二階常系數非齊次線性方程的標準形式-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二階常系數齊次線性方程解法

有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特征根為

有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為

有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為定義由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1例3求方程滿足初始條件的特解。解所給方程的特征方程為所求方程的通解為將條件帶入上式所求方程的特解為解特征方程為解得故所求通解為例4(一)、型(二)、型

二、二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數法.(一)、型設非齊方程特解為代入原方程綜上討論注意上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程（k是重根次數）.特別地例5求微分方程的一個特解解所對應的齊次方程的特征方程解得根為由于不是特征方程的根，設特解為代入所給方程，得比較同次冪的系數，得求得的特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例6利用歐拉公式(二)、型

解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例7四、小結(待定系數法)只含上

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