人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)：第3課時(shí) 實(shí)際問題與一元二次方程(3)（導(dǎo)學(xué)案）

21.3實(shí)際問題與一元二次方程

第3課時(shí)實(shí)際問題與一元二次方程(3)

一、導(dǎo)學(xué)

1.導(dǎo)入課題：如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，

正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊

襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，

應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)？

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：列一元二次方程解決圖形的面積問題.

3.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：會(huì)列一元二次方程解決圖形的面積問題.

難點(diǎn)：會(huì)恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)列出方程.

4.自學(xué)指導(dǎo)：

(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第20頁到第21頁“探究3”.

(2)自學(xué)時(shí)間：10分鐘.

(3)自學(xué)方法：充分利用圖形尋找等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

(4)探究提綱：

①根據(jù)題目的已知條件，得出上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是27∶21=9∶7，你知道

是怎樣得出來的嗎？請(qǐng)你推一推.

設(shè)中央的矩形的長(zhǎng)和寬分別是9acm和7acm.

由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=

9∶7

②書上設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，而不是設(shè)為xcm，這樣做有什么好處？

列出的方程為整數(shù)式，方便計(jì)算

③解方程時(shí)課本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更簡(jiǎn)便解法

嗎？

原方程可化為9(3-2x)·7(3-2x)=×27×21，

∴(3-2x)2=，∴x=.

④方程的哪個(gè)根符合實(shí)際意義？為什么？

x=x=符合實(shí)際意義，因?yàn)槿=，上、下邊襯的寬度之和會(huì)超過封面的長(zhǎng)度，

不符合實(shí)際.

⑤如果設(shè)中央矩形的長(zhǎng)為9x，根據(jù)課本上的等量關(guān)系，請(qǐng)你列方程求解.

設(shè)中央矩形的長(zhǎng)為9xcm,則寬為7xcm.

⑥練習(xí)：要為一幅長(zhǎng)29cm,寬22cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，

且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框的寬度應(yīng)是多少厘米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一

位)？

設(shè)鏡框的寬度為xcm.

二、自學(xué)學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

三、助學(xué)

1.師助生：

(1)明了學(xué)情：教師深入課堂了解學(xué)生的自學(xué)進(jìn)度，觀察學(xué)生是否能獨(dú)立推出上下邊襯

與左右邊襯的寬度比為9∶7.

(2)差異指導(dǎo)：根據(jù)學(xué)情進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)或分類指導(dǎo).

2.生助生：生生互動(dòng)，交流研討.

四、強(qiáng)化

1.點(diǎn)學(xué)生板演探究提綱第⑤、⑥題，并點(diǎn)評(píng).

2.幾何問題中設(shè)未知數(shù)的方法及等量關(guān)系.

3.“面積、體積問題”常用公式：

(1)直角三角形的面積公式，一般三角形的面積公式；

(2)正方形的面積公式，長(zhǎng)方形的面積公式；

(3)梯形的面積公式；

(4)菱形的面積公式；

(5)平行四邊形的面積公式；

(6)圓的面積公式.

五、評(píng)價(jià)

1.學(xué)生的自我評(píng)價(jià)(圍繞三維目標(biāo))：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你有什么收獲？還有哪些不足？

2.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)：

(1)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：點(diǎn)評(píng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)參與性、小組交流合作情況、學(xué)習(xí)方法和效果等.

(2)紙筆評(píng)價(jià)：課堂評(píng)價(jià)檢測(cè).

3.教師的自我評(píng)價(jià)(教學(xué)反思)：

(1)面積問題的設(shè)置,力求以點(diǎn)帶面,了解列一元二次方程的步驟并能解答簡(jiǎn)單的實(shí)際問

題，訓(xùn)練題是對(duì)前面問題的延伸，使學(xué)生靈活運(yùn)用解題的能力有很大的提高，對(duì)學(xué)生思維能

力的拓展、發(fā)散有很大的幫助.

(2)列一元二次方程解決實(shí)際問題是讓數(shù)學(xué)回歸生活，是對(duì)一元二次方程解法的延伸，

同時(shí)又是一元二次方程或二元一次方程組解決實(shí)際問題步驟的總結(jié)和內(nèi)容的升華，列一元二

次方程解決實(shí)際問題是下章中學(xué)習(xí)用二次函數(shù)解決問題的基礎(chǔ).

(時(shí)間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎(chǔ)鞏固(60分)

1.(20分)從正方形鐵片的邊截去2cm寬的一個(gè)長(zhǎng)方形，余下的面積是48cm2，則原來的

正方形鐵片的面積是(D)

A.8cmB.64cmC.8cm2D.64cm2

2.(20分)直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2.則其兩條直角邊長(zhǎng)分別是

6cm、8cm.

3.(20分)在長(zhǎng)方形鋼片上沖去一個(gè)長(zhǎng)方形，制成一個(gè)四周寬相等的長(zhǎng)方形框.已知長(zhǎng)方

形鋼片的長(zhǎng)為30cm，寬為20cm,要使制成的長(zhǎng)方形框的面積為400cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形框的

邊框?qū)?

解：設(shè)長(zhǎng)方形框的邊框?qū)挒閤cm.

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依題意，得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理，得x-25x+100=0,解得x1=5,x2=20(舍去).

∴x=5.

答：這個(gè)長(zhǎng)方形框的邊框?qū)挒?cm.

二、綜合應(yīng)用(20分)

4.(20分)小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)；把一根長(zhǎng)為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段

各圍成一個(gè)正方形.

(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？

(2)小峰對(duì)小林說：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.”他的說法對(duì)嗎？請(qǐng)說

明理由.

解：(1)設(shè)其中一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為=(10-x)cm.

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依題意x+(10-x)=58，解得x1=3,x2=7.

當(dāng)x=3時(shí)，小正方形周長(zhǎng)為12cm；當(dāng)x=7時(shí)，小正方形周長(zhǎng)為28cm.

∴小林應(yīng)把長(zhǎng)為40cm的鐵絲剪為28cm和12cm的兩段.

(2)對(duì).兩個(gè)正方形的面積之和為：

x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50

∵無論x取何值，2(x-5)2總是不小于0的.

∴2(x-5)2+50≥50.即這兩個(gè)正方形的面積之和總是不小于50cm2的，所以不可能等于

48cm2.

小峰的說法是對(duì)的.

三、拓展延伸(20分)

5.(20分)如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長(zhǎng)30cm的圖案，其中有兩