河北省2025屆高三下學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省2025屆高三下學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，由，得，所以集合，易知，，故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，因此，則，，即，所以.故選：A3.已知向量，滿足，，，則向量與的夾角為（）A.30° B. C. D.135°【答案】C【解析】由已知得，即，即又，兩式聯(lián)立可得：，則向量與的夾角為故選：C.4.高相同的圓柱與圓臺(tái)的體積分別為，，且圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，則與的關(guān)系為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面積分別為，，圓柱的底面積為，高為，根據(jù)圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，，，，故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，即則，∴，故選：C.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與均是增函數(shù)，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)只需滿足，即，解得，由得，即恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且圓內(nèi)恰好包含的三個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知在處取得最小值，，，解得，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，，當(dāng)時(shí)，，，符合條件，.由圖像知軸右側(cè)包含兩個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，左側(cè)包含一個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，的取值范圍是大于原點(diǎn)右側(cè)第二個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，小于等于原點(diǎn)左側(cè)第二個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，故選：B.8.已知函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，有最小值 B.偶函數(shù)，有最大值C.奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增 D.奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，故函數(shù)為偶函數(shù).令，則，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，處取得最大值，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則的最小值為4C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，，即，故A正確；對(duì)于B，，等號(hào)成立條件，由于，顯然等式不成立，故最大值比0小，所以最小值不可能為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知，，，即，故C正確；對(duì)于D，，由冪函數(shù)單調(diào)遞增，，即，故D正確，故選:ACD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若在上單調(diào)遞減，則的最大值為1B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.存在直線，使得與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】，由，解得，的最大值為，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)，則，在處取得最小值，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即.由B選項(xiàng)的過程知，在時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，故C正確；畫出的圖象如圖，可知存在直線，使得與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：BCD.11.已知常見“對(duì)勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實(shí)軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設(shè)雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實(shí)軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)C. D.【答案】ACD【解析】如圖1，當(dāng)雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，則，，故A正確；由題意知，雙曲線中，漸近線即，其斜率為，如圖2，它與軸夾角的正切值，解得或（舍），，由A選項(xiàng)可知，，故C正確；頂點(diǎn)是對(duì)稱軸（實(shí)軸）和雙曲線的交點(diǎn)，，∴對(duì)稱軸為，與雙曲線在第一象限交于，，故B不正確，D正確.圖1圖2故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則_____.【答案】2【解析】由拋物線的定義得，解得或（舍），故.故答案為：213.已知數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和_____.【答案】【解析】由，得，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，.故答案為：14.已知集合，是集合的含兩個(gè)元素的子集，且，則中兩元素之差的絕對(duì)值等于中兩元素之差的絕對(duì)值的概率為_____.【答案】【解析】當(dāng)，中兩元素之差絕對(duì)值均為1時(shí)，的個(gè)數(shù)為；當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為2時(shí)，的個(gè)數(shù)為；當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為3時(shí)，的個(gè)數(shù)為；當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為4時(shí)，的個(gè)數(shù)為；故滿足條件的共有（個(gè)）；故其概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn)，且.（1）求四棱柱的外接球的表面積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，底面是正方形，且該四棱柱是直四棱柱，平面，又平面，，，，都在平面內(nèi)，平面，又平面，，，，即，.四棱柱的外接球直徑就是其體對(duì)角線，外接球半徑，故四棱柱的外接球的表面積.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得：，，而平面就是平面，其一個(gè)法向量是，設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.16.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)在橢圓上，過向直線引垂線交于點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）設(shè)，，.，設(shè)，則，解得：，，代入橢圓的方程，得，整理得，又，，，故橢圓的方程為.（2）由（1）知，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，代入橢圓方程中，整理得，，.，且，即，又，易知：，，，解得，直線的方程為或.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn).（1）若，，求的值；（2）若，是角的平分線，且，求的值.解：（1）設(shè)，所以，，在中，由正弦定理得，所以，即，解得，即；（2）由余弦定理得，即，由，得，又因?yàn)?，所以，所以，解得或（舍），?18.已知，曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線相互垂直.（1）求a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.解：（1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，，即，又，將代入，得，，由，得，，若，則為無理數(shù)，，則，.（2）由（1）知，，要證成立，可試證在時(shí)成立，即證上成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在處取得最大值，即在上恒成立，原不等式成立19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求證：為常數(shù)；（3）在