湖南省2025屆高考普通高中名校聯(lián)考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省2025屆高考普通高中名校聯(lián)考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式得，即，又，所以.故選：A2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以的虛部為.故選：D.3.甲同學(xué)每次投籃命中的概率為，在投籃6次的實(shí)驗(yàn)中，命中次數(shù)的均值為2.4，則的方差為（）A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96【答案】B【解析】根據(jù)題意可得命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即；即可得均值，解得；所以的方差為.故選：B4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，無單調(diào)性，不成立；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：

因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，且，則，由橢圓的定義，則，又為的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，由勾股定理可得，即；又因，代入整理得：，即，解得或（舍?故選：C.6.已知正四面體的高等于球的直徑，則正四面體的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，正四面體，設(shè)其棱長為2，設(shè)的中心為，連接，延長交于，則平面且，故正四面體的高為且，所以.設(shè)球的半徑為，則，則球的體積為，故體積比為7.在中，，且邊上的高為，則（）A.的面積有最大值，且最大值為B.的面積有最大值，且最大值為C.的面積有最小值，且最小值為D.的面積有最小值，且最小值為【答案】D【解析】因?yàn)樗运裕譃槿切蝺?nèi)角，所以，所以設(shè)角的對(duì)邊分別為，邊的高為，由三角形面積公式可得：，又，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所以故選:D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為 B.C.函數(shù)周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4 D.【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確，對(duì)于B，在中，令，得，得，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，令，則，所以，得，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，在中令，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，又，，或；當(dāng)時(shí)，，，與矛盾，，B正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，即，C正確；對(duì)于D，，又，，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期為C.與在上均單調(diào)遞減D.函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)A，，顯然為偶函數(shù)，A正確；對(duì)B，由題知，，則最小正周期，B錯(cuò)誤；對(duì)C，由得，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，由得，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)D，由得，所以或，即或，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD11.若函數(shù)，則（）A.可能只有1個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí)，C.存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心D.當(dāng)不等式的解集為時(shí)，的極小值為【答案】BCD【解析】，則，令，.A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；故在處取極大值，在處取極小值，即存在兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，不可能只1個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí),有解，則，即.由A項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；故，故B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，則曲線關(guān)于對(duì)稱，即存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，故C正確；D項(xiàng)，不等式的解集為，由A項(xiàng)可知僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.則且，且在處取極大值.即，則有，故，，又，解得，故，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；故在處有極大值，且極大值為；在處有極小值，且極小值為；故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________.【答案】【解析】由是等比數(shù)列可得其公比，因此數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，所以，即；所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：13.甲?乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為__________.【答案】【解析】將問題轉(zhuǎn)化為：在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率.甲從三個(gè)盒子中各取一球，共有種取法，三個(gè)都是編號(hào)較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為.故答案為：14.已知正方體的棱長為，若在該正方體的棱上恰有個(gè)點(diǎn)，滿足，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】當(dāng)在、上時(shí)由、，即，即；當(dāng)在、上時(shí)為等腰三角形，，即，即；當(dāng)在、、、上時(shí)的取值范圍均一致，當(dāng)在上時(shí)，繞翻折，使平面與平面在同一平面內(nèi)，如圖所示，則，即，又在每條棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所在位置與的值一一對(duì)應(yīng)，又，所以若滿足條件的點(diǎn)恰有個(gè)，則，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計(jì)4555100（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？（2）已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.解：（1）：學(xué)生性別和是否喜歡運(yùn)動(dòng)無關(guān).，所以根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為學(xué)生的性別與是否喜歡跳繩有關(guān).（2）訓(xùn)練前該校學(xué)生每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)，則，，，即訓(xùn)練前學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在，，，，由（人）估計(jì)訓(xùn)練前該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.即預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取棱靠近的三等分點(diǎn)，連結(jié)，則是的中點(diǎn)，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，作，連接，則，因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因?yàn)槊?，所以．又由平面平面，平面平面，平面得證.（2）解：由（1）知，．以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令．設(shè)平面的法向量為，則即令，可得．連接，此時(shí)，，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槊?，，所以面，故平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.（1）比較和的大小；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有最小值，且最小值為，求的最大值.解：（1），由題知，整理得.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，無最小值，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值為.18.已知雙曲線：與直線：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）．（1）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的面積．解：（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關(guān)于直線對(duì)稱，，．（2）聯(lián)立，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為．不妨設(shè)直線為，，，聯(lián)立得，整理得，將等式看作關(guān)于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點(diǎn)，又雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，過點(diǎn)，，．19.若數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，求的取值范圍；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷數(shù)列是否為“穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由；（3）若無窮數(shù)列為“穩(wěn)定數(shù)列”，且的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：由“穩(wěn)定數(shù)列”的定義可知,，解得，又因?yàn)?，所?（2）