【高中數(shù)學競賽真題•強基計劃真題考前適應性訓練】 專題06 不等式 真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題06不等式真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三強基計劃）若正實數(shù)x，y，z，w滿足和，則的最小值等于（

）A． B． C．1 D．前三個答案都不對【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，從而可得正確的選項.【詳解】根據(jù)題意，有，等號當時取得，因此所求最小值為．故選：D.2．（2021·北京·高三強基計劃）已知，且，則的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不對【答案】A【分析】根據(jù)題設條件可設，利用柯西不等式可求最小值.【詳解】由可得，由對稱性可設，則條件即即，從而，根據(jù)柯西不等式，等號當時取得．因此所求最小值為．故選：A.3．（2021·北京·高三強基計劃）若a，b，c為非負實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不對【答案】B【分析】利用非負性可求最小值.【詳解】根據(jù)題意，有，等號當時可以取得，因此所求最小值為5．故選：B.二、填空題4．（2021·北京·高三強基計劃）在銳角中，的最小值是_________．【答案】【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【詳解】記題中代數(shù)式為M，我們熟知三角形中的三角恒等式：，于是，等號當時取得，因此所求最小值為故答案為：5．（2021·全國·高三競賽）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為________．【答案】##0.5【詳解】由柯西不等式知，且，所以，且當時取到等號．故答案為：.6．（2022·浙江·高二競賽）設a，b，c，，，則的最小值為______.【答案】【詳解】由題意可得，且，則，原問題等價于求函數(shù)的最小值.，，，，令，則，由可得，則單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞增，，此時，.故答案為：.7．（2021·全國·高三競賽）設正實數(shù)滿足，則最大值為_________．【答案】【詳解】解析：最大值為．記，則，故，即，對,求和，并結合算術-幾何平均不等式，有，故，等號當時取到．所以原式的最大值為．故答案為：.8．（2021秋·天津河北·高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）設，則當_______時，取到最大值．【答案】##2.5【分析】巧妙利用換元得到，將取對數(shù)運算得到，將所求問題轉化為求的最大值問題，由使用兩次基本不等式可求出的最大值，考查等號取得條件即可.【詳解】設，則，設，則，可知，.，(當且僅當，即時取等號.)所以，故有最大值，所以就有最大值，即有最大值.故答案為:.【點睛】使用基本不等式求最值關鍵是要有定值才能求最值，沒有明顯的定值要進行變形拼湊.在此題中拼湊的定值有:①及，為求最大值做準備;②通過提取公因式實現(xiàn)因式分解拼湊乘積，，產(chǎn)生了與上面遙相呼應，可以使用基本不等式.三、解答題9．（2023·全國·高三專題練習）設，滿足又設滿足，證明：【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)給定條件，利用多項式平方運算求出，再利用賦值法結合已知及進行不等式的放縮，推理判斷作答.【詳解】，于是，，因為，則，所以.10．（2023·全國·高三專題練習）設，是兩個實系數(shù)非零多項式，且存在實數(shù)使得記，證明：【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)給定條件，利用多項式恒等定理求出多項式的對應項系數(shù)的關系，再按和討論，并結合含絕對值不等式的性質(zhì)推理作答.【詳解】因為，即，則有，于是，若，則，，，所以，于是，若，則由，得，于是，于是，，所以，于是，綜上得：.11．（2021·全國·高三競賽）已知：a，b，，求證：.【答案】證明見解析【詳解】，因為a，b，，所以.于是，同理，.則：.故題中的不等式成立.12．（2021·全國·高三競賽）求所有的正實數(shù)，使得存在實數(shù)滿足．【答案】【詳解】設，則不等式化為．當時，；當時，；當時，．因此不等式可化為．設，考慮在1和之間恒小于零，則，故，解得．所以的取值范圍是．13．（2022·新疆·高二競賽）（1）若實數(shù)x，y，z滿足，證明：；（2）若2023個實數(shù)滿足，求的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）不妨設，則.（2）因為2023為奇數(shù)，則中必存在（令）同號，不妨設同號，則：．不妨設，則，所以：．當且僅當或時等號成立．因此的最大值為．14．（2021·全國·高三競賽）設m為正整數(shù)，且，求所有的實數(shù)組，使得，對所有成立．【答案】證明見解析.【分析】第一步化簡原式，第二步利用不等式即可得到或，這兩種情況是對稱的，不妨證明的時候成立，所以原式成立.【詳解】由已知，得，故全相等．注意到若實數(shù)滿足，則，即．因此，．設中有，個b，則有，且，即．由不等式，若，，因此必取等，即或，這兩種情況是對稱的，不妨，則，知，則．若，則，即．若，則，即．綜上可知，要么1個個；要么全是．15．（2021·全國·高三競賽）求最大的正實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n及正實數(shù)，均有．【答案】的最大值為3．【分析】先取，通過對其求和可得的范圍，再利用放縮法可得，最后求出最大的正實數(shù)的值.【詳解】一方面，取，得即．令，得．另一方面對正實數(shù)x，y有，故，，，……．以上各式相加，得．故時，原不等式恒成立．綜上，的最大值為3．16．（2021·全國·高三競賽）已知證明：存在，使得.【答案】證明見解析【詳解】不妨，設，當時，因為，即，當且僅當時，等號成立.故，所以存在，使得，即.所以存在，使得.17．（2021·全國·高三專題練習）已知：，，.求證：.【答案】證明見解析.【分析】構造一個直角三角形，使其兩直角邊長分別為和，而斜邊之長則為（如圖所示），證明不等式成立；再證明,即得證.【詳解】證明：為了使得條件與待證式的中間部分在形式上接近一些，我們將該條件作如下變形：，進而有.①我們來構造這樣一個直角三角形，使其兩直角邊長分別為和，而斜邊之長則為（如圖所示）.顯然，這個直角三角形的三邊長之間的關系是符合①的，從而滿足條件.由圖所示，根據(jù)定理“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，而有不等式成立.至于這個雙聯(lián)不等式的右邊部分，也可由圖，并根據(jù)直角三角形的邊角關系知，.于是有所證不等式成立.18．（2021·全國·高三專題練習）已知a，b為正數(shù)，且，證明.【答案】證明見解析【分析】如圖所示，可先構造，再構造，最后，作，由圖形直觀得，即得證.【詳解】證明：由于.可先構造，使得，，如圖所示.此時，.再以為斜邊，為直角邊構造，則.最后，作，過點D作交于點E，由得，由圖形直觀得，即.19．（2022·湖北武漢·高三統(tǒng)考強基計劃）設皆為正數(shù)，且滿足，證明：【答案】證明見解析【詳解】證法一：由AM-GM不等式有：，即.證法二：不妨設,則.從而原題轉化為:已知,求證.令,則.不失一般性,我們設,則：(1)若,由Jesen不等式有：.(2)若.容易得到取得最小值當且僅當.20．（2023·全國·高三專題練習）實數(shù)和正數(shù)使得有三個實數(shù)根．且滿足：（1）；（2），求的最大值.【答案】【分析】解法一：設，，，利用韋達定理可化簡所求式子為，結合基本不等式可求得最大值，驗證取等條件即可確定結果；解法二：由可令，，由此可化簡所求式子為，令，，利用導數(shù)可求得，即為所求式子的最大值.【詳解】解法一：由題意可設：，，，可令，由韋達定理得：，則，，則要取得最大值，則，（當且僅當，即時取等號），又滿足，取，，則，此時，，，，，時，，的最大值為.解法二：，又，，令，，，；令，則，令，則，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當，時，即，，，，，時，，的最大值為.21．（2021·全國·高三競賽）設，記：，其中求和是對1，2，…，n的所有個k元組合進行的，求證：．【答案】證明見解析【詳解】任取，由柯西不等式，有：．所以．其中求和對1，2，…，n的所有個元組合進行．上式左邊實際上是一些k元組合的求和，因對任意k元組合，選這k個數(shù)的元組合有個（余下的個數(shù)中任意一個數(shù)都與其構成一個元組合），故．這樣便有，所以．再注意到，即得：．這就證明了，其中．即有．22．（2021·全國·高三競賽）已知，且滿足，求的最大值.【答案】當為偶數(shù)時，最大值為，當n為奇數(shù)時，最大值為.【詳解】當且僅當時等號成立.（1）當為偶數(shù)時，最大時，顯然需滿足，否則用替換依然滿足條件，且值增大.設，所以.當且僅當（為奇數(shù)，為偶數(shù)或為偶數(shù)，為奇數(shù)）時等號成立.（2）當為奇數(shù)時，必存在同號，不妨設同號，則：.不妨設，則，所以：.當且僅當或時等號成立.23．（2021·全國·高三競賽）已知正實數(shù)滿足．證明：．【答案】證明見解析.【詳解】當時，由平均值不等式知．又，則，所以．當時，即證．由于，所以，所以．命題得證．24．（2021·浙江金華·高三浙江金華第一中學?？几傎悾?shù)列定義為，．證明，存在正整數(shù)，使得．【答案】證明見解析【詳解】由題意．對，我們有：；．兩式相減，得：，即．對有．取，則，從而滿足要求．25．（2021·全國·高三競賽）給定正整數(shù)．求最大的實數(shù)．使得對任意正實數(shù)恒成立，其中．【答案】【詳解】當時，令，則．當時，．令，則問題化為：，證明：．當時，首先證明：．

①①式，由均值不等式知成立．由①式知．假設時，對任意正實數(shù)結論成立．則時，由對稱性不妨設中最大，則，所以，由歸納假設知，此時結論成立．由數(shù)學歸納法知，．故．當時，．由于，令，則，所以．綜上所述，26．（2019·河南·高二校聯(lián)考競賽）銳角三角形ABC中，求證：.【答案】證明見解析【詳解】原不等式等價于.在三角形ABC中，，.令，則原不等式等價于.而上式左邊，故原不等式得證27．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競賽）正數(shù)，滿足，求證：．【答案】證明見解析【詳解】（柯西不等式），由均值不等式可得，令，，其中，則，所以．所以．28．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）已知整數(shù)，證明：.【答案】證明見解析【詳解】解同除：，設，原題即證：，而，所以，即，，又，所以，即，，綜上可得：時，，即.29．（2022·浙江杭州·高三學軍中學校考競賽）設實數(shù)滿足，求的最小值.【答案】答案見解析【分析】由特例可得當為偶數(shù)時，的最小值為0，當為奇數(shù)時，問題可轉化為“給定正奇數(shù)，設滿足，,則恒成立.”，利用逐步調(diào)整法可證后者.【詳解】當為偶數(shù)時，取，故的最小值為0；當為奇數(shù)時，也可只取，其余為0，此時，下證當為奇數(shù)時，恒成立.（利用換元可以得到更直觀的形式如問題2）.問題2：給定正奇數(shù)，設滿足，,則恒成立.證明：注意到若同號，即有，因為為正奇數(shù)，則必定存在一組同號，否則若均異號，則的符號必定相異.若還存在其他組，則可得成立，若無其他組同號，不妨，可設，（若等于0的可以進行小范圍微調(diào)，只要不影響絕對值內(nèi)數(shù)值的符號即可）.因為無其他組同號，故，此時同號.記，則且對，設，下