新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)學(xué)案

精選新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)

學(xué)案

目錄

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.1.1多面體的結(jié)構(gòu)特

征...............................1

1.1.2旋轉(zhuǎn)體與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特

征6

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖.............................10

1.2.3空間幾何體的直觀

圖.................................???15

§1.3空間幾何體的外表積與體積

第1課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的外表積.........................19

第2課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積與球的外表積...........???23

習(xí)題課空間幾何

體.................

-.......27

第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

2.1.1平面.......................................29

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.........................33

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系...............................37

2.2.1直線與平面平行的判定

2.2.2平面與平面平行的判定...................................40

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)...................................44

2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)...................................47

2.3.1直線與平面垂直的判定...................................50

2

2.3.2平面與平面垂直的判定...................................53

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)...................................57

第二章復(fù)習(xí)課...................................60

第三章直線與方程

3.1.1傾斜角與斜率..................................64

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定................................67

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程........................................70

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程......................................73

3.2.3直線的一般式方程........................................76

3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

3.3.2兩點(diǎn)間的距離.......................................79

3.3.3點(diǎn)到直線的距離

3.3.4兩條平行直線間的距離...................................82

第四章圓與方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.........................................85

4.1.2圓的一般方程...........................................88

4.2.1直線與圓的位置關(guān)系...................................91

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系.....................................94

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用.................................97

4.3.1空間直角坐標(biāo)系.......................................100

4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式...........................103

章末復(fù)習(xí)...................................................106

3

4

第一章空間幾何體

§1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

第1課時(shí)多面體的結(jié)構(gòu)特征

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

L認(rèn)識(shí)組成我們的生活世界的各種各樣的多

面體；

2,認(rèn)識(shí)和把握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)

特征；

3,了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類，可

以分成哪些類別.

【知識(shí)梳理】

1.空間幾何體

(1)概念：如果只考慮物體的和，而不考慮

其他因素,那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫

做空間幾何體.

⑵特殊的幾何體

①多面體：一般地，由假設(shè)干個(gè)圍成的

幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多

面體的—；相鄰兩個(gè)面的叫做多面體的棱；棱

與棱的叫做多面體的頂點(diǎn).

②旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定

直線旋轉(zhuǎn)所形成的叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直

線叫做旋轉(zhuǎn)體的

0

2.多面體的結(jié)構(gòu)特征

⑴棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一般地，有兩個(gè)面，其

余各面都是,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊

都，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

⑵棱錐的結(jié)構(gòu)特征：一般地，有一個(gè)面是,

其余各面都是,由這些面所

圍成的多面體叫做棱錐.

⑶棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征：用一個(gè)—于棱錐底面的平面

去截棱錐，之間的局部，這樣的多面體

叫做棱臺(tái).

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］在我們周圍存在著各種各樣的物體，它

們都占據(jù)著空間的一局部.如果我們只考慮這些物體

的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體

抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.本節(jié)課我們

主要從結(jié)構(gòu)特征方面認(rèn)識(shí)最根本的空間幾何體.

探究點(diǎn)一空間幾何體的類型

思考1觀察以下圖片，你知道這圖片在幾何中分別

叫什么名稱嗎？

1

(9)(10)(11)(12)

(13)(14)(15)(16)

答：

思考2如果將這些幾何體進(jìn)行適當(dāng)分類，你認(rèn)為可

以分成哪幾種類型？

答：

思考3觀察圖⑵⑸⑺⑼(13)(14)(15)(16)中組成幾

何體的每個(gè)面的特點(diǎn)，以及面與面之間的關(guān)系，你能

歸納出它們有何共同特點(diǎn)嗎？

答：

［小結(jié)］我們把由假設(shè)干個(gè)平面多邊形圍成的幾何

體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體

的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱

的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

思考4觀察圖(1)⑶(4)(6)⑻(10)(11)(12)中組成幾何

體的每個(gè)面有何共同特點(diǎn)？

2

答:

［小結(jié)］由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定

直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直

線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

探究點(diǎn)二棱柱的結(jié)構(gòu)特征

思考1我們把下面的多面體取名為棱柱，據(jù)此你能

給棱柱下一個(gè)定義嗎？

答:

思考2為了研究方便，我們把棱柱中兩個(gè)互相平行

的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相

鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共

頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).你能指出上面棱柱的底面、側(cè)

面、側(cè)棱、頂點(diǎn)嗎？

答：

3

思考3棱柱上、下兩個(gè)底面的形狀大小如何？各側(cè)

面的形狀如何？

答：

思考4一個(gè)棱柱至少有幾個(gè)側(cè)面？一個(gè)N棱柱分

別有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少條側(cè)棱？有多少個(gè)

頂點(diǎn)？

答：

思考5有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊

形的多面體一定是棱柱嗎？

答：

［小結(jié)］在棱柱中，底面是三角形、四邊形、五邊

形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱;

思考1圖1中的六棱柱用各頂點(diǎn)字母可表示為棱柱

ABCDEF—AfBrC'D'E'F'.

例1試判斷以下說(shuō)法是否正確：

4

⑴棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面;

⑵棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形.

答：

［反思與感悟］概念辨析題常用方法：（1）利用常見(jiàn)幾

何體舉反例；（2）從底面多邊形的形狀、側(cè)面形狀及

它們之間的位置關(guān)系、側(cè)棱與底面的位置關(guān)系等角度

緊扣定義進(jìn)行判斷.

跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)以下關(guān)于空間幾何體的描述，說(shuō)出

幾何體名稱：

⑴由6個(gè)平行四邊形圍成的幾何體.

⑵由8個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是平行且全等的六邊

形，其余6個(gè)面都是平行四邊形.

答：

探究點(diǎn)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征

思考1我們把下面的多面體取名為棱錐，據(jù)此你能

給棱錐下一個(gè)定義嗎？

5

答:

思考2參照棱柱的說(shuō)法，棱錐的底面、側(cè)面、側(cè)棱、

頂點(diǎn)分別是什么含義？你能作圖加以說(shuō)明嗎？

答：

思考3類比棱柱的分類，棱錐如何根據(jù)底面多邊形

的邊數(shù)進(jìn)行分類？如何用棱錐各頂點(diǎn)的字母表示思

考1中的三個(gè)棱錐？

答：

思考4一個(gè)棱錐至少有幾個(gè)面？一個(gè)N棱錐分別

有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少條側(cè)棱？有多少個(gè)頂

點(diǎn)？

答：

思考5用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截

面與底面的形狀關(guān)系如何？

6

答:

思考6棱柱、棱錐分別具有一些什么幾何性質(zhì)?

答：

例2如圖，幾何體中，四邊形AA歸/

為邊長(zhǎng)為3的正方形，CG=2,屋3%

CCi//AAlfCG〃BBi,請(qǐng)你判斷這個(gè)幾何體是棱柱

嗎？假設(shè)是棱柱，指出是幾棱柱.假設(shè)不是棱柱，請(qǐng)

你試用一個(gè)平面截去一局部,使剩余局部是一個(gè)側(cè)棱

長(zhǎng)為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征.在立

體圖中畫(huà)出截面.

答：

［反思與感悟］認(rèn)識(shí)一個(gè)幾何體，要看它的結(jié)構(gòu)特

征，并且要結(jié)合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關(guān)

系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平

面分割開(kāi).

7

跟蹤訓(xùn)練2假設(shè)三棱錐的底面為正三角形，側(cè)面為

等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面周長(zhǎng)為9,求棱錐的

高.（過(guò)頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足的距離）

答：

探究點(diǎn)四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

思考1用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底

面與截面之間的局部形成另一個(gè)多面體,這樣的多面

體叫做棱臺(tái).那么棱臺(tái)有哪些結(jié)構(gòu)特征？

答：

思考2仿照棱錐中關(guān)于底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)的

定義，如何定義棱臺(tái)的底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)呢？

答：

思考3根據(jù)三棱錐、四棱錐、五棱錐……的定義，

如何定義三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……？如何用字母

表不棱臺(tái)？

答：

8

思考4既然棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是多面體，它們?cè)?/p>

結(jié)構(gòu)上有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？三者的關(guān)系如何？

當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí)，它們能否相互轉(zhuǎn)化？

答：

例3有以下三個(gè)命題：

①用一個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的局部

是棱臺(tái)；②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形

的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面

都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái).

其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

［反思與感悟］一個(gè)棱臺(tái)的根本特征是上、下底面平

行且相似，側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，這是判斷幾何體是

否為棱臺(tái)的依據(jù).

跟蹤訓(xùn)練3四棱臺(tái)的上底面、下底面分別是邊長(zhǎng)

為4,8的正方形，各側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且側(cè)棱長(zhǎng)為舊,

求四棱臺(tái)的高.

答：

9

【隨堂練習(xí)】

1.以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是（）

A.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

B.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高

D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定

不是平行四邊形

2.以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是（）

A.有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共

頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐

B.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的局

部是棱臺(tái)

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四

邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

3.以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A.多面體至少有四個(gè)面

B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊

10

形

C.長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱

D.三棱柱的側(cè)面為三角形

4.對(duì)棱柱而言，以下說(shuō)法正確的序號(hào)是.

①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊

形.②所有的棱長(zhǎng)都相等.③棱柱中至少有2個(gè)面的

形狀完全相同.④相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱.

【課堂小結(jié)】

1.在理解的根底上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定

義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀.

2.對(duì)幾何體定義的理解要準(zhǔn)確，另外，要想真正把

握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，必須多角度、全面地分析，多

觀察實(shí)物，提高空間想象能力.

第2課時(shí)旋轉(zhuǎn)體與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識(shí)組成我們生活的世界的各種各

樣的旋轉(zhuǎn)體；

2.認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的幾

何結(jié)構(gòu)特征.

【知識(shí)梳理】

11

1.圓柱及其有關(guān)的概念

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成

的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做.叫做圓柱的

軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的;

平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的;無(wú)

論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面

的-

2.圓錐的概念

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余

兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

3.圓臺(tái)的概念

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間

的局部叫做與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、

底面、側(cè)面、母線.

4.球及其有關(guān)的概念

以半圓的直徑所在直線為,半圓面旋轉(zhuǎn)一周

形成的旋轉(zhuǎn)體叫做，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做

球的，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑

叫做球的-球常用表示球心的字母。表示.

5.簡(jiǎn)單組合體

⑴概念：由組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單

組合體.常見(jiàn)的簡(jiǎn)單組合體大多是由具有柱、錐、臺(tái)、

12

球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組成的.

⑵根本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體而成，另一

種是由簡(jiǎn)單幾何體—或一局部而成.

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］舉世聞名的比薩斜塔是意大利的一個(gè)

著名景點(diǎn).它的構(gòu)造從外形上看是由八個(gè)圓柱組合成

的一個(gè)組合體，我們周圍的很多建筑物和它一樣，也

都是由一些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的組合體.本節(jié)我們

就來(lái)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.

探究點(diǎn)一圓柱的結(jié)構(gòu)特征

思考1如下圖的空間幾何體叫做圓柱，那么圓柱是

怎樣形成的呢？與圓柱有關(guān)的幾個(gè)概念是如何定義

的？

答：

思考2如圖，平行于圓柱底面的截面，經(jīng)過(guò)圓柱任

意兩條母線的截面分別是什么圖形？

答:

13

探究點(diǎn)二圓錐的結(jié)構(gòu)特征

思考1類比圓柱的定義，結(jié)合以下圖你能給圓錐下

個(gè)定義嗎？

答：

思考2類比圓柱的軸、底面、側(cè)面、母線的定義，

如何定義圓錐的軸、底面、側(cè)面、母線？

答：

思考3經(jīng)過(guò)圓錐的任意兩條母線的截面是什么圖

形？圓錐如何用字母表示？

答：

探究點(diǎn)三圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

思考1用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截

面與底面之間的局部叫做圓臺(tái).圓臺(tái)可以由什么平面

圖形旋轉(zhuǎn)而形成？

答：

14

思考2與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、底面、側(cè)

面、母線，它們的含義分別如何？圓臺(tái)如何用字母表

示？

答：

思考3圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)

上有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？三者的關(guān)系如何？當(dāng)?shù)?/p>

面發(fā)生變化時(shí)，它們能否互相轉(zhuǎn)化？

答：

例1用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓

錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：16,截去

的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)的母線長(zhǎng).

答：

［反思與感悟］用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)

等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相

似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面）

的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)

幾何變量的方程組而解得.

跟蹤訓(xùn)練1將例1中“截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3

cm"改為“圓錐SO的母線長(zhǎng)為16cli1〃其余條件不

15

變，那么結(jié)果如何？

答：

探究點(diǎn)四球的結(jié)構(gòu)特征

思考類比圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義，球是如何定義

的？球心及球半徑是指什么？如何用字母表示球？

答：

例2判斷以下各命題是否正確：

⑴三棱柱有6個(gè)頂點(diǎn)，三棱錐有4個(gè)頂點(diǎn)；

⑵圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連

線都是圓柱的母線；

(3)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的

曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；

(4)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截

面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；

⑸到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球.

答：

跟蹤訓(xùn)練2以下表達(dá)中正確的個(gè)數(shù)是()

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓

錐；

16

②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；

④用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

A.0B.1C.2D.3

探究點(diǎn)五簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

思考1現(xiàn)實(shí)生活中的物體多數(shù)是由柱體、錐體、臺(tái)

體、球體等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做

簡(jiǎn)單組合體.那么這些組合體是怎樣構(gòu)成的？

答：

思考2觀察教材圖中(1)、⑶兩物體所示的

幾何體,你能說(shuō)出它們各由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成

嗎？

答：

例3描述以下幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

(1)(2)

答:

17

跟蹤訓(xùn)練3數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中，假設(shè)你獲得第一

名，被授予如下圖的獎(jiǎng)杯，那么，請(qǐng)你介紹一下你所

得的獎(jiǎng)杯是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

Q.

答:

【隨堂練習(xí)】

1.以下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）

ABCD

2.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.圓錐的母線長(zhǎng)等于底面圓直徑

B.圓柱的母線與軸垂直

C.圓臺(tái)的母線與軸平行

D.球的直徑必過(guò)球心

3.下面幾何體的截面一定是圓面的是（）

A.圓臺(tái)B.球

C.圓柱D.棱柱

18

4.以下說(shuō)法中：

①圓臺(tái)上底面的面積與下底面的面積之比一定小于

1.

②矩形繞任意一條直線旋轉(zhuǎn)都可以圍成圓柱.

③過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上每一點(diǎn)的母線都相等.

正確的序號(hào)為.

5.如下圖的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形

分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

(1),(2)

【課堂小結(jié)】

(1)圓臺(tái)、棱臺(tái)可以看作是用一平行于底面的平面去

截圓錐、棱錐得到的底面與截面之間的局部；圓臺(tái)的

母線、棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于同一點(diǎn)，假設(shè)不滿足

該條件，那么一定不是圓臺(tái)或棱臺(tái).

19

⑵球面與球是兩個(gè)不同的概念，球面是半圓以它的

直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，也可以看作

與定點(diǎn)（球心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)的集

合.而球體不僅包括球的外表，同時(shí)還包括球面所包

圍的空間.

§1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影1.2.2空間幾何體的三視圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解投影、中心投影和平行投影的

概念；

2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，能識(shí)別三視

圖所表示的立體模型.

【知識(shí)梳理】

投影

⑴投影的定義

由于光的照射,在不透明物體后面的屏幕上可以留下

這個(gè)物體的,這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們

把光線叫做，把留下物體影子的屏幕叫

做-

⑵投影的分類

20

①中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做

中心投影.中心投影的投影線交于-

②平行投影：在一束光線照射下形成的投影，

叫做平行投影.平行投影的是平行的.在平

行投影中，投影線正對(duì)著投影面時(shí)，叫做，

否那么叫做_______一

2.三視圖

(1)三視圖的分類

①正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

②側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

③俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

(2)三視圖的畫(huà)法要求

①三視圖的正視圖、俯視圖、側(cè)視圖分別是從物體

的、、看到的物體輪廓線的正投

影圍成的平面圖形.

②一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)那么是:俯視圖放在正

視圖的，長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放

在正視圖的右邊，高度與的高度一樣，寬度

與的寬度一樣.

21

③在繪制三視圖的時(shí)候,分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)

線畫(huà)出，被遮擋局部用虛線畫(huà)出.

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］從不同角度看廬山，有古詩(shī)：“橫看成

嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近上下各不同；不識(shí)廬山真面目，只緣

身在此山中.〃對(duì)于我們所學(xué)幾何體，從不同方向看

到的形狀也各有不同，我們通常用三視圖和直觀圖來(lái)

把幾何體畫(huà)在紙上.

探究點(diǎn)一中心投影與平行投影

導(dǎo)引在建筑、機(jī)械等工程圖中，需要用平面圖形反

映空間幾何體的形狀和大小，在作圖技術(shù)上這也是一

個(gè)幾何問(wèn)題，要想知道這方面的根底知識(shí)，請(qǐng)先閱讀

教材第11頁(yè)，然后思考以下問(wèn)題.

思考1什么是投影、投影線、投影面嗎？

答：

思考2不同的光源發(fā)出的光線是有差異的，其中燈

泡發(fā)出的光線與手電筒發(fā)出的光線有什么不同？

答：

22

［小結(jié)］我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做

中心投影；把在一束平行光線照射下形成的投影叫做

平行投影.

思考3用燈泡照射物體和用手電筒照射物體形成

的投影分別是哪種投影？

答：

思考4用燈泡照射一個(gè)與投影面平行的不透明物

體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小有

什么關(guān)系？當(dāng)物體與燈泡的距離發(fā)生變化時(shí),影子的

大小會(huì)有什么不同？

答：

思考5用手電筒照射一個(gè)與投影面平行的不透明

物體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小

有什么關(guān)系？當(dāng)物體與手電筒的距離發(fā)生變化時(shí)，影

子的大小會(huì)有變化嗎？

答：

思考6一個(gè)與投影面平行的平面圖形，在正投影和

斜投影下的形狀、大小是否發(fā)生變化？一個(gè)與投影面

不平行的平面圖形，在正投影和斜投影下的形狀、大

23

小是否發(fā)生變化?

答：

例1如下圖，在正方體ABCO-AiBGOi中，E、

尸分別是A4、GOi的中點(diǎn)，G是正方形3CGH的

中心，那么四邊形AGbE在該正方體的各個(gè)面上的

投影可能是圖中的.(填序號(hào))

①②③

［反思與感悟］畫(huà)出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影

的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)等，畫(huà)出這些

關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上

的投影.如果對(duì)平行投影理解不充分，做該類題目容

易出現(xiàn)不知所措的情形，防止出現(xiàn)這種情況的方法是

依據(jù)平行投影的含義，借助于空間想象來(lái)完成.

跟蹤訓(xùn)練1如圖(1)所示，￡、F分別為正方體面

ADD'A'、面BCC'B'的中心，那么四邊形

BFD'E在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖⑵

中的.

24

D'

A4

lc

A----------B①②③④

⑴（2）

探究點(diǎn)二柱、錐、臺(tái)、球的三視圖

導(dǎo)引把一個(gè)空間幾何體投影到一個(gè)平面上,可以獲

得一個(gè)平面圖形.從多個(gè)角度進(jìn)行投影就能較好地把

握幾何體的形狀和大小，通常選擇三種正投影，即正

面、側(cè)面和上面.

思考1如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、氏

C,那么其三視圖分別是什么？

答：

思考2三視圖，分別反映物體的哪些關(guān)系（上下、左

右、前后）？哪些數(shù)量（長(zhǎng)、寬、高）？

答：

［小結(jié)］一般地，一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯

視圖的長(zhǎng)度、寬度和高度的關(guān)系為：正側(cè)等高，正俯

等長(zhǎng)，側(cè)俯等寬.

思考3圓柱、圓錐、圓臺(tái)的三視圖分別是什么？

答：

25

思考4球的三視圖是什么？以下三視圖表示一個(gè)

什么幾何體？

答:

俯視圖

探究點(diǎn)三簡(jiǎn)單組合體的三視圖

思考1在簡(jiǎn)單組合體中，從正視、側(cè)視、俯視等角

度觀察，有些輪廓線和棱能看見(jiàn)，有些輪廓線和棱不

能看見(jiàn)，在畫(huà)三視圖時(shí)怎樣處理？

思考2如下圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體截去一局部，這個(gè)幾

何體的三視圖如何畫(huà)出？（標(biāo)出字母）

正上方/「NIB

答:

26

例2如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前

方，試畫(huà)出它的三視圖.（單位：cm）

答：正贏

［反思與感悟］（1）在畫(huà)三視圖時(shí)，務(wù)必做到正（視圖）

側(cè)（視圖）高平齊，正（視圖）俯（視圖）長(zhǎng)對(duì)正，俯（視圖）

側(cè)（視圖）寬相等.（2）習(xí)慣上將正視圖與側(cè)視圖畫(huà)在同

一水平位置上，俯視圖在正視圖的正下方.

跟蹤訓(xùn)練2某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如下圖，

那么該幾何體的俯視圖不可能是（）

ABD

27

探究點(diǎn)四將三視圖復(fù)原成幾何體

思考以下圖是簡(jiǎn)單組合體的三視圖，想象它們表示

的組合體的結(jié)構(gòu)特征，并畫(huà)出其示意圖.

答:正視圖側(cè)視圖

俯視圖

例3說(shuō)出下面的三視圖表示的幾何體的

結(jié)構(gòu)特征.

答：

［反思與感悟］通常要根據(jù)俯視圖判斷幾何體是多

面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的

幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡(jiǎn)單幾何體還是簡(jiǎn)單組合

體.

跟蹤訓(xùn)練3以下圖是一個(gè)物體的三視圖，試說(shuō)出物

28

體的形狀.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

答:

【隨堂練習(xí)】

1.如下圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N

分別是的中點(diǎn)，那么圖中陰影局部在平面

4DD1A1上的正投影是（）

2.某幾何體的三視圖如下圖，那么這個(gè)幾何體是

()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺(tái)D.三棱臺(tái)

3.將正方體（如圖⑴所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到如

29

圖⑵所示的幾何體，那么該幾何體的側(cè)視圖為（）

4.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體可以

是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

5.如圖，四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面上的

射影是底面正方形的中心，試畫(huà)出其三視圖.

【課堂小結(jié)】

1.三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是分別從幾何

體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓

線，畫(huà)幾何體的要求是正視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，正視

圖、側(cè)視圖高平齊，俯視圖、側(cè)視圖寬相等，前后對(duì)

30

應(yīng)，畫(huà)出的三視圖要檢驗(yàn)是否符合“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、

寬相等〃的根本特征.

2.幾何體的三視圖的畫(huà)法為：先畫(huà)出兩條互相垂直

的輔助

坐標(biāo)軸，在第二象限畫(huà)出正視圖；根據(jù)“正、俯兩圖

長(zhǎng)對(duì)正〃的原那么，在第三象限畫(huà)出俯視圖；根據(jù)

“正、側(cè)兩圖高平齊〃的原那么，在第一象限畫(huà)出側(cè)

視圖.

3.看得見(jiàn)局部的輪廓線畫(huà)實(shí)線，看不見(jiàn)局部的輪廓

線畫(huà)虛線.

1.2.3空間幾何體的直觀圖

目標(biāo)1.掌握斜二測(cè)畫(huà)法的作圖規(guī)那么；2.會(huì)用斜二

測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖.

【知識(shí)梳理】

1.畫(huà)平面圖形直觀圖的步驟

⑴在圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于

點(diǎn)。.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與，軸,

兩軸交于點(diǎn)。,，且使N7Ofyr=45。（或135。），

它們確定的平面表示水平面.

⑵圖形中平行于“軸或y軸的線段，在直觀圖中分

別畫(huà)成平行于W軸或<軸的線段.

⑶圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)

31

度一，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的.

2.立體圖形的直觀圖的畫(huà)法

畫(huà)立體圖形的直觀圖，在畫(huà)軸時(shí)，要多畫(huà)一條與平面

NOfyf垂直的軸O'z'.且平行于O'z的線段長(zhǎng)

度-其他同平面圖形的畫(huà)法.

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］空間幾何體除了用三視圖表示外，更多

的是用直觀圖來(lái)表示.空間圖形能否在平面中畫(huà)出

來(lái)，使得既富有立感，又能表達(dá)出圖形各主要局部的

位置關(guān)系和度量關(guān)系呢？這就是空間幾何體的直觀

圖.本節(jié)我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

探究點(diǎn)一水平放置的平面圖形的畫(huà)法

導(dǎo)引用來(lái)表示空間圖形的平面圖叫空間圖形的直

觀圖，要畫(huà)空間幾何體的直觀圖，先要學(xué)會(huì)水平放置

的平面圖形的畫(huà)法.

思考1把一個(gè)矩形水平放置，從適當(dāng)?shù)慕嵌扔^察，

給人以平行四邊形的感覺(jué)，如圖.比擬兩圖，其中哪

些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化？哪些

沒(méi)有發(fā)生變化？

答:

32

思考2把一個(gè)直角梯形水平放置得其直觀圖如下，

比擬兩圖，其中哪些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系

發(fā)生了變化？哪些沒(méi)有發(fā)生變化？

答：

思考3閱讀教材16頁(yè)中的例1,然后自主作出水平

放置的正六邊形的直觀圖.

答：

［小結(jié)］上述畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的方

法叫做斜二測(cè)畫(huà)法，斜二測(cè)畫(huà)法的根本步驟和規(guī)那

么：

⑴建坐標(biāo)系，定水平面；

⑵與坐標(biāo)軸平行的線段保持平行；

(3)水平線段等長(zhǎng)，豎直線段減半.

思考4斜二測(cè)畫(huà)法可以畫(huà)任意多邊形水平放置的

直觀圖，如果把一個(gè)圓水平放置，看起來(lái)像什么

33

圖形？畫(huà)出水平放置的圓的直觀圖.

答:

例1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正

三角形的直觀圖.

答：

［反思與感悟］此類問(wèn)題的解題步驟是：建系、定點(diǎn)、

連線成圖.要注意選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn)，能使整個(gè)作

圖變得簡(jiǎn)便.

跟蹤訓(xùn)練1將例1中三角形放置成如下圖，那么直

觀圖與例1中的還一樣嗎？

34

c

答:

探究點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖的畫(huà)法

例2用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、

2cm的長(zhǎng)方體AKCD—A，B'CDf的直觀圖.

答：

［反思與感悟］直觀圖中應(yīng)遵循的根本原那么：

⑴用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平

行于X軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫(huà)成

平行于N軸、（軸、/軸的線段；

⑵平行于X軸、z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變,

35

平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的今

跟蹤訓(xùn)練2如以下圖，是一個(gè)空間幾何體的三視

圖，請(qǐng)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖.

q

Q

正視圖

答:

例3如圖，一個(gè)平面圖形的水平放置的斜二測(cè)直觀

圖是一個(gè)等腰梯形，它的底角為45。，兩腰和上底邊

長(zhǎng)均為1,求這個(gè)平面圖形的面積.

B

36

答:

［反思與感悟］解答此類題目的關(guān)鍵是首先要能夠

將水平放置的平面圖形的直觀圖復(fù)原為原來(lái)的實(shí)際

圖形，其依據(jù)就是逆用斜二測(cè)畫(huà)法，也就是使平行于

%軸的線段的長(zhǎng)度不變，而平行于y軸的線段長(zhǎng)度變

為原來(lái)的2倍.

跟蹤訓(xùn)練3AABC的平面直觀圖B'C是

邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原的面積為（）

【隨堂練習(xí)】

37

1.一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有

一邊長(zhǎng)為4,那么此正方形的面積為（）

A.16B.64

C.16或64D.無(wú)法確定

2.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀

圖，正確的選項(xiàng)是圖中的（）

3O1.501-5/ZZ7

3333

ABCD

3.兩個(gè)圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面）,

其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm,另一個(gè)圓

錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm,那么其直觀圖中這兩

個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為（）

A.2cmB.3cm

C.2.5cmD.5cm

4.如下圖，XNB'C是水平放置的平面圖形的

斜二測(cè)直觀圖，將其復(fù)原成平面圖形.

答:

38

【課堂小結(jié)】

1.斜二測(cè)畫(huà)法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根

據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖

的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出直觀圖，從而確

定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖復(fù)原

為原圖形.

2.在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行,

所畫(huà)平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所

畫(huà)夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小.

39

§1.3空間幾何體的外表積與體積

第1課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的外表積

目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、

臺(tái)體的外表積的求法；2.了解柱、錐、臺(tái)體的外表積

計(jì)算公式；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的外表積公式進(jìn)行計(jì)算

和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題；3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能

力.

【知識(shí)梳理】

1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的外表積

棱柱、棱錐、棱臺(tái)是由多個(gè)圍成的多面體,

它們的外表積就是各個(gè)面的面積的-

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別

是一、—、-

3.旋轉(zhuǎn)體的外表積

名稱圖形公式

底面積：5底=_

圓柱側(cè)面積：S側(cè)=____

外表積：s=

底面積：3底=____

圓錐側(cè)面積：S側(cè)=____

外表積：s=_____

40

上底面囿積：S上底=_

下底面面積：S下底=—

圓臺(tái)

險(xiǎn)側(cè)面積：S側(cè)=__

外表積：s=______

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］是圓柱的軸截面，AAi=a,AB

=b,P是的中點(diǎn)；一小蟲(chóng)沿圓柱的側(cè)面從Ai爬

到P,如何求小蟲(chóng)爬過(guò)的最短路程？要解決這個(gè)問(wèn)題

需要將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，本節(jié)我們將借助幾何體的側(cè)

面展開(kāi)圖來(lái)研究幾何體的外表積.

探究點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的外表積

思考1在初中我們已經(jīng)學(xué)過(guò)正方體和長(zhǎng)方體的外

表積，以及它們的展開(kāi)圖，你知道正方體和長(zhǎng)方體的

展開(kāi)圖的面積與正方體和長(zhǎng)方體的外表積的關(guān)系

嗎？

答：

思考2幾何體的外表積等于它的展開(kāi)圖的面積，那

么，棱柱，棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是怎樣的？如何

求棱柱，棱錐，棱臺(tái)的外表積？

答：

41

例1棱長(zhǎng)為〃，各面均為等邊三角形的四面體

S—ABC,求它的外表積.

［反思與感悟］在解決棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、外表積

問(wèn)題時(shí)往往將條件歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中求解，為

此在解此類問(wèn)題時(shí)，要注意直角三角形的應(yīng)用.

跟蹤訓(xùn)練1棱長(zhǎng)為5,底面為正方形，各側(cè)面均為

正三角形的四棱錐5—A3CD,求它的外表積.

答：

例2正四棱臺(tái)（上、下底是正方形，上底面的中心

在下底面的投影是下底面中心）上底面邊長(zhǎng)為6,高和

下底面邊長(zhǎng)都是12,求它的側(cè)面積.

答：

42

［反思與感悟］解決有關(guān)正棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，常用兩種

解題思路：一是把根本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中去解決；

二是把正棱臺(tái)復(fù)原成正棱錐，利用正棱錐的有關(guān)知識(shí)

來(lái)解決.

跟蹤訓(xùn)練2在本例中，把棱臺(tái)復(fù)原成棱錐，你能利

用棱錐的有關(guān)知識(shí)求解嗎？

答:

43

探究點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的外表積的求法

思考1如何根據(jù)圓柱的展開(kāi)圖，求圓柱的外表積?

答：

思考2如何根據(jù)圓錐的展開(kāi)圖，求圓錐的外表積?

答：

思考3如何根據(jù)圓臺(tái)的展開(kāi)圖，求圓臺(tái)的外表積?

答：

思考4圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的外表積公式之間有

什么關(guān)系？

答：

例3—圓臺(tái)形花盆，盆口直徑20cm,盆底直徑15

cm,底部滲水圓孔直徑1.5cm,盆壁長(zhǎng)15cm,為美

化外表而涂油漆，假設(shè)每平方米用100毫升油漆，涂

100個(gè)這樣的花盆需要多少油漆？m取3.14,結(jié)果精

44

確到1毫升）

答：

［反思與感悟］解決臺(tái)體的問(wèn)題通常要還臺(tái)為錐，求

面積時(shí)要注意側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，上、下底面圓的周

長(zhǎng)是展開(kāi)圖的弧長(zhǎng).

跟蹤訓(xùn)練3圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和

20cm.它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180。，那么圓

臺(tái)的外表積是多少？（結(jié)果中保存加）

答：

45

【隨堂練習(xí)】

1.一個(gè)幾何體的三視圖（單位長(zhǎng)度：cm）如下圖，那

么此幾何體的外表積是（）

T

4

—

一

俯視圖

A.（80+16A/2）cm2B.84cm2

C.（96+16^2）?112D.96cm2

2.某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖是個(gè)半圓,

那么該幾何體的外表積為（）

46

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A?乃B.九+小

D.|TT+A/3

3.一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2九該圓柱的外表

積為.

4.外表積為37r的圓錐,它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,

那么該圓錐的底面直徑為.

5.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外

表積為.

!inr-n-

：i

—*-i~F2—~i———?os〉2.|o.5一

【課堂小結(jié)】

1.多面體的外表積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之

47

和.棱柱的外表積等于它的側(cè)面積加底面積；棱錐的

外表積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的外表積等于

它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積.

2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的外表積的計(jì)算要充分利用其軸截面，

就是說(shuō)將條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解.而對(duì)于圓臺(tái)

有時(shí)需要將它復(fù)原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求

解.

3.S圓柱表-;S圓錐表7rr(rIS圓臺(tái)表=兀(戶

+rl+Rl+R2).

第2課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積與球的外表積

目標(biāo)

1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用

它們求有關(guān)幾何體的體積；

2.了解球的外表積與體積公式，并能應(yīng)用它們

求球的外表積及體積；

3.會(huì)求簡(jiǎn)單組合體的體積及外表積.

【知識(shí)梳理】

1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積

幾何體體積

48

V柱體=一（S為底囿面積，人為圖），

柱體V圓柱=______（r為

底面半徑）

V錐體=______S為底面面積，無(wú)

為高），

錐體

V圓錐=

（r為底面半徑）

V臺(tái)體一;（S+"sS+Sr）h（Sf,S

分別為上、下底面面積，無(wú)為高），

臺(tái)體

V圓臺(tái)一3兀入&'2+rrz+戶）（/,r

分別為上、下底面半徑）

2.球的體積

球的半徑為K,那自它的體積V=

3.球的外表積S=

球的半徑為R,那么它的外表積5=

思考探究

［情境導(dǎo)學(xué)］上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了幾何體的外表積，一

般地，面積是相對(duì)平面圖形來(lái)說(shuō)的，對(duì)于空間圖形需

要研究它們的體積，本節(jié)我們就來(lái)研究柱體、錐體、

臺(tái)體、球的體積和球的外表積問(wèn)題.

49

探究點(diǎn)一柱體、錐體、臺(tái)體的體積

思考1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓

錐的體積計(jì)算公式，它們的體積公式如何表示？

答：

思考2根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積公式，推

測(cè)柱體的體積計(jì)算公式？

答：

思考3等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系如

何？等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系如何？

答：

思考4根據(jù)圓錐的體積公式，推測(cè)錐體的體積計(jì)算

公式？

答：

思考5臺(tái)體的上底面積，下底面積S,高兒

那么臺(tái)體的體積是怎樣的？圓臺(tái)的體積公式如何用

上下底面半徑及高表示？

答：

例1如下圖的三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩垂

50

直，且PB=1,PA=BPC=?,求其體積.（一

直線和一平面內(nèi)兩相交直線垂直,那么直線與平面垂

直）

答：/X

［反思與感悟］三棱錐的任一側(cè)面都可以做為底面

來(lái)求其體積；在三棱錐的體積時(shí)，可用等體積法求點(diǎn)

到平面的距離.在本例中有VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC

=Vc-PAB?

跟蹤訓(xùn)練1一空間幾何體的三視圖如下圖，那么該

幾何體的體積為（

A.2冗+2勺3B.4加+243

C.2加+苧D.4九+學(xué)

51

探究點(diǎn)二球的體積和外表積

思考球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像柱、錐、臺(tái)體一樣展

成平面圖形，怎樣求球的外表積和體積呢？就目前我

們學(xué)過(guò)的知識(shí)還不能解決，我們不妨先記住公式.設(shè)

3

球的半徑為R,那么它的體積：V=1nRf它的外表

積5=4加火2,現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察這兩個(gè)公式，思考它們

都有什么特點(diǎn)？

答：

例2如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直

徑.求證：

⑴球的體積等于圓柱體積的余2

⑵球的外表積等于圓柱的側(cè)面積.

答：

52

［反思與感悟］(1)球與正方體的六個(gè)面均相切，那么

球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng).

⑵球與正方體的12條棱均相切，那么球的直徑是正

方體的面對(duì)角線.

⑶球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，那么球的直徑等

于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(4)球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，那么球的直徑等

于圓臺(tái)的高.

跟蹤訓(xùn)練2球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，

且球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3：4,那么球的

體積與圓臺(tái)的體積之比為()

A.6：13B.5：14

C.3：4D.7：15

探究點(diǎn)三簡(jiǎn)單組合體的外表積和體積

例3如圖，梯形中，AD//BC,ZABC=90°,

AD=a,BC=2afZDCB=60°,在平面4BCD內(nèi)過(guò)

點(diǎn)。作以/為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的外表

積和體積.

B三莖三B，

答:

53

［反思與感悟］求組合體的外表積或體積，首先應(yīng)弄

清它的組成，其外表有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)該

怎樣求，然后再根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相

加或相減.求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡(jiǎn)單幾

何體的體積，然后再相加或相減.

跟蹤訓(xùn)練3如下圖，在多面體ABCDEF中，面

3

A8CO是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB,EF=^fEF

與面ABCD的距離為2,求該多面體的體

積.

答:

54

【隨堂練習(xí)】

L高為3的棱柱ABC—AiBiCi的底面是邊長(zhǎng)為1的

正三角形（如圖），那么三棱錐Bi-ABC的體積為

（）

Bq

6D里

2.設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為小，那么

它的體積為（）

A.64B.5C.2小D.2

3.假設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為27r的半圓

面，那么該圓錐的體積為.

4.如圖，在三棱柱中，D,E,F分

55

另I」是A&AC,AAi的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F-4DE的體

積為Vi,三棱柱AiBiCi-ABC的體積為V2,那么

V1：V2=.

【課堂小結(jié)】

1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為

V柱體=S/i-J—V臺(tái)體+s')-5V■錐

體=}Sh.

2.在三棱錐A-BCD中，假設(shè)求點(diǎn)A到平面BCD

3V

的距離h,可以先求VA-BCD,h=~.

3△BCD

這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V

一般用換頂點(diǎn)法求解，即VA-BCD-VB-ACD-VC-ABD

=VD-ABC,求解的原那么是V易求，且△3CD的面

積易求.

56

3.求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)那

么的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的幾

何體求解.

4.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的

半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

5.解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題，通常先作截面，

將球與幾何體的各量表達(dá)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)

計(jì)算.

習(xí)題課空間幾何體

結(jié)構(gòu)圖

L|多面體卜-4H

-T圓柱I

-I圓錐I

—T旋轉(zhuǎn)體I—

T圓臺(tái)I

一匿］

E三視圖I

I空間幾何體1—

?I平行投影II投影線平行I—

L-1宜觀圖|

?I投影|—

中心投影H投影線交于二國(guó)

I表面積H

―T錐體

T度量I—I

,I體積I-T臺(tái)體I

類型題

題型一三視圖與直觀圖

三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一個(gè)物體而得到的

三個(gè)視圖，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長(zhǎng)

和寬，正視圖反映它的長(zhǎng)和高，側(cè)視圖反映它的寬和

57

高.

例1某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體

積為()

/[4O

A8九「cC10冗C/

A.yB.371C.~^~D.67rJiI-2__2—

'J正視圖側(cè)視圖

O

俯視圖

跟蹤訓(xùn)練1一幾何體的三視圖如下圖.

(1)說(shuō)出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征并畫(huà)出直觀圖；

⑵計(jì)算該幾何體的體積與外表積.

58

題型二柱體、錐體、臺(tái)體的外表積和體積

幾何體的外表積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能

夠遇到的問(wèn)題,在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及

各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)體,

要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖

形的應(yīng)用.

例2圓柱有一個(gè)內(nèi)接長(zhǎng)方體AG,長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)

是圓柱的側(cè)面展開(kāi)平面圖為矩形，此矩形

的面積是100加cn?,求圓柱的體積.

答：

跟蹤訓(xùn)練2正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)為3cm,它的外表

積為16cm2,求它的體積.

答：

59

題型三幾何體中的有關(guān)最值問(wèn)題

有關(guān)旋轉(zhuǎn)體中某兩點(diǎn)外表上的長(zhǎng)度最小問(wèn)題,一般是

利用展開(kāi)圖中兩點(diǎn)的直線距離最小來(lái)求解;有關(guān)面積

和體積的最值問(wèn)題,往往把面積或體積表示為某一變

量的二次函數(shù)的形式,然后利用二次函數(shù)的知識(shí)求最

值.

例3如圖，在底面半徑為1,高為2的圓柱A。

上A點(diǎn)處有一只螞蟻,它要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬/

到3點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬行的最短距離是多少？〃匕

答：

跟蹤訓(xùn)練3有一根長(zhǎng)為3兀cm,底面半徑為1cm

的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使

鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,求鐵絲

的最