2023-2024學(xué)年廣東省湛江市霞山區(qū)高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省湛江市霞山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡，上的指定位置.2．選擇題的作答；每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意,故選：A.2.設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)同心圓所形成的圓環(huán)，其中一個(gè)半徑為，另一個(gè)半徑為，則其面積為.故選：A.3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．故選：C．4.在中，已知A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以設(shè)，，由余弦定理得，，所以，所以．故選：B．5.若直線與單位圓交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】若，則圓心到直線得距離，又半徑，，則，，故，即充分性成立；若，則是等腰直角三角形，，則圓心到直線得距離，即，得，則，即必要性不成立；綜上所述：是的充分不必要條件．故選：A．6.甲乙兩名大學(xué)生計(jì)劃今年五一假期分別從岳陽(yáng)樓，常德桃花源，天門山，長(zhǎng)沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個(gè)不同的景區(qū)隨機(jī)選三個(gè)景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同的選法共有（）A.36種 B.48種 C.60種 D.72種【答案】C【解析】先從5個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)相同的，有種，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)景點(diǎn)選兩個(gè)分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同選法共有種.故選：C.7.若雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則直線OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.不確定【答案】C【解析】由雙曲線離心率為，得，則，，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C.8.在數(shù)列中，已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖，則（）A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)為72.5%B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的眾數(shù)為85%C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】ABC【解析】對(duì)于A，講座前的中位數(shù)為，所以A正確；對(duì)于B，講座后問(wèn)卷答題的正確率有4個(gè)85%，其余正確率的個(gè)數(shù)都小于4．所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的眾數(shù)為85%，所以B正確；對(duì)于C，講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以C正確；對(duì)于D，講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖象如圖，若A.B.C.的零點(diǎn)形成的集合為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋矣蓤D可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A和B得，令得，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.11.定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x,若是奇函數(shù),,,且，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且定義域?yàn)镽，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，解得．所以B正確；對(duì)于C，令得，，即，所以C正確；對(duì)于D，令得．，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若，則______．【答案】1【解析】因?yàn)椋?，所以?3.小明喜愛(ài)踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率為．若他下午去踢足球，則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為.已知小明在某個(gè)周末晚上去打羽毛球，則下午踢足球的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)小明周末晚間去打羽毛球?yàn)槭录?，下午去踢足球?yàn)槭录瑒t，，依題意，.14.已知側(cè)棱長(zhǎng)為l的正四棱錐的頂點(diǎn)都在直徑為6的同一球面上，則該正四棱錐的體積的最大值是______．【答案】【解析】l的取值范圍是，不妨設(shè)高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則，或，所以，，因?yàn)?，故，，其中，故?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令得或．?dāng)(1,+∞)時(shí)，，當(dāng)-1,1時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為和(1,+∞)，減區(qū)間為-1,1．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．16.如圖，在正三棱柱中，，O為AB的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，O為AB中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，又平面,故，因?yàn)椋矫?，故⊥平面．?）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則，則平面ABC，因，故OB，OC，兩兩垂直，故可以直線OB，OC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，．由（1）得，平面，則可作為平面的一個(gè)法向量．因，，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，故可?。畡t平面與平面夾角的余弦值為．17.A，B兩人進(jìn)行象棋友誼賽，雙方約定：在任意一局比賽中，一方獲勝、打成平局和失敗分別記分、m分和0分．比賽兩局，已知在每局比賽中A獲勝、打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5，0.3，0.2．各局的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若，求A兩局得分之和為5的概率；（2）若，用X表示B兩局比賽的得分之和，求X的分布列．解：（1）若，由已知條件得，A兩局得分之和為5等價(jià)于一勝一負(fù)，所以A兩局得分之和為5的概率為．（2）因?yàn)樵谝痪直荣愔蠥獲勝、打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5，0.3，0.2，所以在一局比賽中B獲勝、打成平局和失敗的概率分別為0.2，0.3．0.5，若，則X的可能取值為0，3，6，9，12，，，，，，所以X分布列為X036912P0.250.30.290120.0418.已知拋物線的方程為y2=2pxp>0，直線與交于兩點(diǎn)，且．（1）求；（2）設(shè)的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到距離的取值范圍．解：（1）因?yàn)橹本€與C交于A，B兩點(diǎn)，且，所以，所以．（2）由已知得，F(xiàn)1,0，設(shè)Mx1由可得，，所以，，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)，所以，所以，即，所以將，代入得，因?yàn)椋?，且，解得或，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，令，所以．19.設(shè)等比數(shù)列：的公比為q，其中都為正奇數(shù)，a,b,c構(gòu)成單調(diào)遞增的正項(xiàng)等差數(shù)列．（1）求證：；（2）求證：；（3）把用表示．解：（1）由題意知，又，可得，所以，又是正偶數(shù)，所以．（2）設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，由題意得，，又，，故，可得，又，又，都為正偶數(shù)，故，即，又由（1）的結(jié)論得，，故有，即．（3）設(shè)個(gè)數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，，，由，可得，，又，，由s，t都為正奇數(shù)，則q既可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)．若q為正數(shù)，則，插入的個(gè)數(shù)的乘積為；若q為負(fù)數(shù)，中為負(fù)數(shù)，即共有個(gè)負(fù)數(shù)，故，所插入的個(gè)數(shù)的乘積為，綜上所述，當(dāng)q為正數(shù)時(shí)，為，當(dāng)q為負(fù)數(shù)時(shí)，為．廣東省湛江市霞山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡，上的指定位置.2．選擇題的作答；每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意,故選：A.2.設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)同心圓所形成的圓環(huán)，其中一個(gè)半徑為，另一個(gè)半徑為，則其面積為.故選：A.3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．故選：C．4.在中，已知A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以設(shè)，，由余弦定理得，，所以，所以．故選：B．5.若直線與單位圓交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】若，則圓心到直線得距離，又半徑，，則，，故，即充分性成立；若，則是等腰直角三角形，，則圓心到直線得距離，即，得，則，即必要性不成立；綜上所述：是的充分不必要條件．故選：A．6.甲乙兩名大學(xué)生計(jì)劃今年五一假期分別從岳陽(yáng)樓，常德桃花源，天門山，長(zhǎng)沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個(gè)不同的景區(qū)隨機(jī)選三個(gè)景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同的選法共有（）A.36種 B.48種 C.60種 D.72種【答案】C【解析】先從5個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)相同的，有種，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)景點(diǎn)選兩個(gè)分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個(gè)景區(qū)相同選法共有種.故選：C.7.若雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則直線OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.不確定【答案】C【解析】由雙曲線離心率為，得，則，，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C.8.在數(shù)列中，已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖，則（）A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)為72.5%B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的眾數(shù)為85%C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】ABC【解析】對(duì)于A，講座前的中位數(shù)為，所以A正確；對(duì)于B，講座后問(wèn)卷答題的正確率有4個(gè)85%，其余正確率的個(gè)數(shù)都小于4．所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的眾數(shù)為85%，所以B正確；對(duì)于C，講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以C正確；對(duì)于D，講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖象如圖，若A.B.C.的零點(diǎn)形成的集合為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且由圖可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A和B得，令得，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.11.定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x,若是奇函數(shù),,,且，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且定義域?yàn)镽，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，解得．所以B正確；對(duì)于C，令得，，即，所以C正確；對(duì)于D，令得．，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若，則______．【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，所以?3.小明喜愛(ài)踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率為．若他下午去踢足球，則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為.已知小明在某個(gè)周末晚上去打羽毛球，則下午踢足球的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)小明周末晚間去打羽毛球?yàn)槭录挛缛ヌ咦闱驗(yàn)槭录?，則，，依題意，.14.已知側(cè)棱長(zhǎng)為l的正四棱錐的頂點(diǎn)都在直徑為6的同一球面上，則該正四棱錐的體積的最大值是______．【答案】【解析】l的取值范圍是，不妨設(shè)高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則，或，所以，，因?yàn)?，故，，其中，故?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令得或．?dāng)(1,+∞)時(shí)，，當(dāng)-1,1時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為和(1,+∞)，減區(qū)間為-1,1．（2）由（1）得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．16.如圖，在正三棱柱中，，O為AB的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，O為AB中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，又平面,故，因?yàn)?，平面，故⊥平面．?）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則，則平面ABC，因，故OB，OC，兩兩垂直，故可以直線OB，OC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，．由（1）得，平面，則可作為平面的一個(gè)法向量．因，，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，故可?。畡t平面與平面夾角的余弦值為．17.A，B兩人進(jìn)行象棋友誼賽，雙方約定：在任意一局比賽中，一方獲勝、打成平局和失敗分別記分、m分和0分．比賽兩局，已知在每局比賽中A獲勝、打成平局和