2025中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：遇到中點(diǎn)如何添加輔助線（含答案）

微專題19遇到中點(diǎn)如何添加輔助線

一階方法訓(xùn)練

方法解讀

情形一已知三角形一邊（兩邊）中點(diǎn)

原理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

作法：1.如圖①，連接一邊中點(diǎn)與另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線；

2.如圖②，倍長(zhǎng)另一邊構(gòu)造中位線

A

圖①

A

R

圖②

結(jié)論：DE//BC,DE=^BC

情形二已知三角形一邊中點(diǎn)

原理：1.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫(xiě)

成“三線合一”）；

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

3.三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分

作法：連接中點(diǎn)與頂點(diǎn)

（1）等腰三角形（2）直角三角形

A

B'D'C

結(jié)論：AD±BC,平分NBA。

結(jié)論：BD=AD=CD="C

(3)一般三角形

結(jié)論：5AABD=5AACD=-5AABC

情形三已知三角形一邊上的中線或三角形一邊上的中點(diǎn)與另一邊上一點(diǎn)的連

線

原理：當(dāng)三角形出現(xiàn)中線或與中線有關(guān)的線段，考慮倍長(zhǎng)中線或倍長(zhǎng)類中線構(gòu)造

全等三角形，利用全等三角形性質(zhì)進(jìn)行解題

作法一：構(gòu)造倍長(zhǎng)中線

延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使得4。=。石，連接5E；

、'心

結(jié)論：kBDEQACDA；

作法二：構(gòu)造倍長(zhǎng)類中線

延長(zhǎng)V。至點(diǎn)N,使MD=DN,連接CN；

B0'、、/C

XZ

結(jié)論：XBDM”XDN

方法一遇到中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中位線

例1（北師九上習(xí)題改編）如圖，在△ABC中，D,E分別是A'AC的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)E作E足L5C于點(diǎn)R連接。尸，若8C=8,EF=3,則。尸的長(zhǎng)為（）

例1題圖

A.4

B.5

C.6

D.8

例2如圖，在AABC中，ADL5C于點(diǎn)。，且5。=：。。，/是AO的中點(diǎn)，若

BF=2,則AC的長(zhǎng)為.

例2題圖

例3如圖，在△ABC中，。為5C邊的中點(diǎn)，片為AC邊上一點(diǎn)，NBAC=2NZ）￡C,

若CE=8,AE=2,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)______.

例3題圖

方法二遇到中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中線（2020.17）

例4如圖，在△ABC中，。是5C上的點(diǎn)，AD=AB,E,尸分別是AC,的

中點(diǎn)，AC=6,則Eb的長(zhǎng)為

A

E

例4題圖

例5（人教八上習(xí)題改編）如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,AB=S,D為

A5邊的中點(diǎn)，E為5。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接。E,ZB=2ZE,則CE的長(zhǎng)

為.

例5題圖

例6如圖，在△人5。中，。是A5邊上任意一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE

的中點(diǎn)，若△45尸的面積為6,則△4與。的面積為.

A

C.

例6題圖

方法三遇到中線（類中線），考慮倍長(zhǎng)中線（類中線）構(gòu)造全等三角形（2024.15）

例7如圖，在△人5。中，5。是AC邊上的中線，/ABD=70°,ZDBC=40°,

BD=3,則5。的長(zhǎng)為.

例7題圖

例8如圖，在△人5。中，A。是5。邊上的中線，E是AZ）上一點(diǎn)，連接BE并

延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)尸，AF=EF,求證：AC=BE.

證法一（構(gòu)造倍長(zhǎng)中線）：

例8題圖

證法二（構(gòu)造倍長(zhǎng)類中線）:

二階綜合應(yīng)用

1.（人教八上習(xí)題改編）如圖，在等腰△斗5。中，AB=AC,于點(diǎn)。，E

為4。的中點(diǎn)，連接5石交AZ）于點(diǎn)/，若AF=5C=4,則△人5。的面積為（）

A

RI)C

第1題圖

A.12B.15C.16D.18

2.如圖，在菱形A5CD中，NB=60：E,尸分別是邊AB5C的中點(diǎn)，連接

EF,DF,若EF=2,則。下的長(zhǎng)為.

第2題圖

3.如圖，在R3ABC中，NB=90°,AB=6,BC=8,。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在邊上，連接即，若/A=/BED,則的長(zhǎng)為

A

D

BFC

第3題圖

4.如圖，在△A5C中，AB=AC=6,ZBAC=60°,D,E分別為線段5C,AC

上的動(dòng)點(diǎn)，且連接A。，BE交于點(diǎn)F,若點(diǎn)尸為BE的中點(diǎn)，求線段

BD的長(zhǎng).

第4題圖

一階方法訓(xùn)練

例1B【解析】如解圖，連接。E,丁。，E分別是ABAC的中點(diǎn)，，。石是

1

△A5C的中位線，：.DE//BC,DE=：BC=4,'：EF±BC,:./BFE=9U°,

：.ZDEF=180°~ZBFE=90°,,：EF=3,，由勾股定理得=^32+42=

5.

例1題解圖

例24【解析】如解圖，延長(zhǎng)。5至點(diǎn)G,使G5=B。，連接AG....點(diǎn)下是

的中點(diǎn)，尸是△AOG的中位線，：.AG=2BF^4,'：BD=^CD,：.DG=

DC,'：AD±BC,：.AC=AG=4.

6RD

例2題解圖

例36【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)。作。尸〃AB交AC于點(diǎn)尸，則尸。=NBAC,

VZBAC=2ZDEC,ZDFC=ZDEC+ZEDF,：.ZDEC=ZEDF,：.EF=DF,

?.?。為邊的中點(diǎn)，尸為△人5。的中位線，尸=。尸=%5,CF=AR

=CF+EF=AF+EF=AE+EF+EF=2+2EF=2+AB^8,：.AB=6.

AEF

例3題解圖

例43【解析】如解圖，連接AR?.?AZ)=A5,尸是瓦)的中點(diǎn)，...AFLBZ),

在中，E是AC的中點(diǎn)，...斯=|AC=|X6=3.

A

RFn

例4題解圖

例54【解析】如解圖，連接CD,..?NAC5=90°,點(diǎn)。是A5邊的中點(diǎn),

1

CD=BD=AD=-AB=4,ZB=ZBCD,VZB=2ZE,ZBCD=ZE+

2

/CDE,：.ZE=ZCDE,:.CE=CD=4.

例5題解圖

例624【解析】如解圖，連接AE,?.?點(diǎn)尸是BE的中點(diǎn)，...&AEF=%ABF=

1[

ABE-■1點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，SAADE=SAACEtS&BDE=SABCE,??ABE=SABDE

+5AADE=~S^ABC5AABC=25AABE=45AABF=24.

—c

例6題解圖

例76【解析】如解圖，延長(zhǎng)5。至點(diǎn)E,使DE=BD,連接4E,丁是4。

邊上的中線，：.AD=CD,'：ZBDC=ZEDA,：.△AEDA(SAS),：.BC

=EA,ZDBC=ZDEA=40°,VZABD=70°,：.ZBAE=1SO°—/ABD—

ZD￡A=180°-70°-40°=70°,:./BAE=/ABE,：.AE=BE=2BD=6,

:.BC=6.

例7題解圖

例8證法一：證明：如解圖①，延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使40=7X7,連接5G,

VAD>fiC邊上的中線,

：.BD=CD.

在△4。。和^GBD中，

(AD=GD

(CD=BD

：.△ACD^AGBD(SAS),

：.BG=CA,ZCAD=ZG.

'：AF^EF,

：.ZEAF=ZAEF,

,：ZAEF=ZBED,

：.ZBED=ZEAF,

：.ZBEG=ZG,

:.BE=BG,

：.AC=BE.

A

例8題解圖①

證法二：證明：如解圖②，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)H,使成）DH,連接C",

VAD>BC邊上的中線，

：.BD=CD.

在45。石和4CDH中，

BD=CD

團(tuán)BDEFCDH,

ED=HD

，△BDE咨ACDHISAS),

：./BED=/CHD,BE=CH,

"：AF^EF,

：.ZEAF=ZAEF,

丁ZAEF=ZBED,

：.ZBED=ZEAF,

：.ZCHD=ZEAF,

：.CH=AC,

：.AC=BE.

例8題解圖②

二階綜合應(yīng)用

1.A【解析】如解圖，連接。E,?..△A5C是等腰三角形，AB=AC,AD±BC,

.,.Z）是的中點(diǎn)，;石是AC的中點(diǎn)，...DE是△人5。的中位線，：.DE//AB^

DE=-AB,：.△DEF^^ABF,：.DF=-AF=2,：.AD=AF+DF

2AFAB22

=4+2=6,.?.SAABc=jX4X6=12.

A

Rr>c

第1題解圖

2.2V7【解析】如解圖，連接4尸，4C,,四邊形A5C。為菱形，

AB=AD=BC.VZB=60o,，△A5C為等邊三角形.TE,尸分別是邊AbBC

的中點(diǎn)，EF=2,：.AC=2EF=4,AF±BC,：.AB=AD^AC=4,ZAFB=ZDAF

=90°，在RtAA3尸中，AF=AAsin60°=2K,在RtA中，。尸AF2+AD2

=2V7.

第2題解圖

3.4-【解析】如解圖①，連接5。，在R3A5C中，'：ZB^90°,AB=6,

BC=8,.??由勾股定理可得AC=10.?.?。是AC的中點(diǎn)，：.DB=DC=^AC=5,

：—?又?：NA=NBED,:上ABCsgDB,卷卷,即5寸，解

得3T

第3題解圖①

一題多解法

如解圖②，過(guò)點(diǎn)。作。尸〃AB交5。于點(diǎn)尸，：.ZDFE=ZB,在R3A5C中，

?.?/5=90°,A5=6,5。=8,.??由勾股定理可得40=10.?.?點(diǎn)。是4。的中點(diǎn),

.?.Z)尸為AABC的中位線，.?./。=15=3.又?.,NA=NJBEZ),.'.△A5cs△石尸。,

iP-=—,解得ED=g.

FDED3ED4

K8FF.

第3題解圖②

4.解：如解圖①，過(guò)點(diǎn)尸作/G//AC交于點(diǎn)G,

\'AB=AC,ZBAC=60°,

A5C為等邊三角形，

：.BC=AB^6.

;點(diǎn)尸為BE的中點(diǎn)，F(xiàn)G//AC,

:.FG為bBCE的中位線，

：1

.BG=CG=-2BC=3.

設(shè)CE=%(0<%<6),則尸G=$,AE=AC-CE^6~x,

\'BD=CE=x,

.,.DG=3—x,CD—6—x.

\'FG//AC,

：.XDGFSMDCA,

X

?FGDG|qn73—x

ACDC66-x

解得x=—3^5+9或X=3V^+9(舍去)，

.,.BD=-3V5+9.

A

?DG

第4題解圖①

一題多解法

解法二：如解圖②，延長(zhǎng)A尸至點(diǎn)使得FH=AR連接

"：AB^AC,ZBAC=60°,

A5C為等邊三角形，

：.BC=AB=6.

?.?點(diǎn)尸為5E的中點(diǎn)，

：.BF=EF.

又,：/BFH=/EFA,

：.AHFB^AAFE,