2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之四邊形

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之四邊形

選擇題（共10小題）

1.（2025?烏魯木齊一模）一個(gè)正多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的2倍，則該正多邊形是（）

A.正四邊形B.正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

2.（2025?新鄉(xiāng)模擬）如圖，在△ABC中，/C=45°,邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（0,3）

和（-4,0）,尸為08的中點(diǎn)，將平行四邊形8OEF沿x軸向右平移.當(dāng)點(diǎn)。落在AC上時(shí)，點(diǎn)E的

373

-)C.(2,2)D.弓，|)

2

3.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABC。中,ZBAD的平分線和NCDA的平分線交于BC

上一點(diǎn)E,若A8=3,AE=2,則。E的長(zhǎng)為（

BEC

A.2V3B.4V2C.5D.6

4.（2025?蠡縣一模）如圖，在7義7的正方形網(wǎng)格圖中，將AABC平移到△QEF的位置，對(duì)于甲、乙的說(shuō)

法，下列判斷正確的是（）

甲：線段BE的長(zhǎng)可以看作平移的最短距離;

乙：連接AD,CF,四邊形ADFC是平行四邊形.

A.只有甲的對(duì)B.只有乙的對(duì)

C.甲、乙的都對(duì)D.甲、乙的都不對(duì)

5.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知在四邊形A3。中，AB//CD,ZA=ZB,添加下列條件，不能保證四

邊形A3CQ是矩形的是（)

A.AD//BCB.AB=CDC.AC=BDD.ZA=ZC

6.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在矩形A5CQ中，A8=4,8C=6,點(diǎn)石是的中點(diǎn)，連接AE,DF

AM

LAE于點(diǎn)尸，連接AC交。尸于點(diǎn)”，則二77的值為（）

7.（2025?廣東模擬）如圖，已知四邊形AC50是矩形，點(diǎn)5在直線MN上，若BD平濟(jì)/ABN,則下列

結(jié)論不能推出的是（）

B.CD//MN

C.△BOC是等邊三角形D.ZCOB=2ZABD

8.（2025?望城區(qū)一模）如圖，四邊形ABCO是菱形，AC=8,DB=6,DHLAB于H,則。H=（)

1224

A.—B.—C.12D.24

55

9.（2025?陜西校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形A3CD中，過(guò)。作于點(diǎn)E,若NA=60°,DE=6,

A.2V3B.3C.4V3D.6V3

10.（2025?陜西模擬）如圖，在矩形中，AD^IAB,AC與3。相交于點(diǎn)。.過(guò)。作OE_LC￡）,垂

22

—.填空題（共5小題）

11.（2025?新鄉(xiāng)模擬）如圖，在正方形ABCZ）中，AB=4,P為A8上一點(diǎn)，且AP=1,E為BD上一動(dòng)點(diǎn),

連接PE,作ABPE關(guān)于直線PE的對(duì)稱圖形，點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8',繼續(xù)作AB'PE關(guān)于直線P8'

的對(duì)稱圖形，點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E',連接E'E,當(dāng)B'E1與正方形的一邊平行時(shí)，則EE'的長(zhǎng)

為.

12.（2025?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，在正方形A8C。中，以8C為邊在正方形內(nèi)作等邊△BCE,則/AE8

13.（2025?旺蒼縣一模）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,BC=2,AC=4,點(diǎn)。為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

以2。為邊在的上方作正方形8。尸￡,當(dāng)AE取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為

14.（2025?巴彥縣校級(jí)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形A8CD中，M為對(duì)角線8。上的一點(diǎn)，連接AM并

延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P.若PM=PC,則AM的長(zhǎng)為.

15.（2025?陜西模擬）如圖，在菱形ABC。中，43=6,乙4=60°,點(diǎn)E,尸分別在邊和上，且

E尸=4.當(dāng)尸的面積最大時(shí)，△（7￡尸的面積為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?武漢模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC,AC邊上，DE=AF,EF=AD.

（1）求證：ZDEF=ZA；

（2）添加一個(gè)條件，使四邊形ADEF為矩形，直接寫出這個(gè)條件.

17.（2025?南崗區(qū)模擬）矩形ABC。中，G,以分別是A2,。。的中點(diǎn)，E,尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

SLAE=CF.

（1）如圖，當(dāng)4EV*4c時(shí)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)若A8=6,8c=8,以E,G,F,H為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng).

備用圖

18.(2025?越秀區(qū)校級(jí)一模)己知：如圖，四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)E在3。的延長(zhǎng)線上，連接瓦1、

EC.求證：AEAB24ECB.

E

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖所示，在團(tuán)ABC。中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。任作一條直線

分別交42,CD于點(diǎn)、E,F.

(1)求證：OE=OF；

(2)連接AF,CE直接寫出當(dāng)所與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECP是菱形？

20.(2025?碑林區(qū)校級(jí)二模)【問(wèn)題探究】

(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,。為BC的中點(diǎn),連接AD,則AD與BC的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,在△ABC中，AB^AC,ZBAC=120°,E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與3、C重合)，連

接AE,將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AR連接ER點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC、所的

中點(diǎn).試探究BE和MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,正方形A8CD是一塊蔬菜種植基地，邊長(zhǎng)為3千米，對(duì)角線RD為該基地內(nèi)的一條小路，

管理人員計(jì)劃在小路2。上確定一點(diǎn)E(不與點(diǎn)2、。重合)；連接AE,以線段AE為斜邊，在AE右側(cè)

建等腰直角△AEF區(qū)域(NE陰=90°),用來(lái)種植新品有機(jī)蔬菜，并在產(chǎn)處設(shè)立蔬菜倉(cāng)庫(kù).G點(diǎn)和。

點(diǎn)為基地的兩個(gè)蔬菜打包裝運(yùn)點(diǎn)，G在8。上且8G=2DG.現(xiàn)要沿GF、。產(chǎn)修建蔬菜運(yùn)輸軌道，請(qǐng)確

定運(yùn)輸軌道G尸尸的最小值.并求出當(dāng)G尸+￡>/最小時(shí)，有機(jī)蔬菜種植區(qū)域的面積（即的面積）.

圖2圖3

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案CDBCCBCBCC

選擇題（共10小題）

1.（2025?烏魯木齊一模）一個(gè)正多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的2倍，則該正多邊形是（）

A.正四邊形B.正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】C

【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為幾根據(jù)題意列出方程即可解決問(wèn)題.

【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為"，

由題意（”-2）780°=2X360°,

解得"=6,

所以這個(gè)多邊形是正六邊形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和、外角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

2.（2025?新鄉(xiāng)模擬）如圖，在△ABC中，NC=45°,邊在x軸上，頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（0,3）

和（-4,0）,尸為。8的中點(diǎn)，將平行四邊形8DEF沿x軸向右平移.當(dāng)點(diǎn)。落在AC上時(shí)，點(diǎn)E的

373

A.（1,2）B.（4,-）C.（2,2）D.6，|）

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化-平移.

【專題】平面直角坐標(biāo)系；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】利用平行四邊形性質(zhì)，根據(jù)中位線定理求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出平移距離，繼而得到平移后點(diǎn)E

的坐標(biāo).

???頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（0,3）和（-4,0）,

???05=4,OA=3,

VZC=45°,

：.OC=OA=3,

??,方為08的中點(diǎn)，四邊形8OE/是平行四邊形，

????！晔恰?95的中位線，

3,3

：.E（0,ED'=總

22

Q7

由平移的性質(zhì)可知：DD'=DE+ED'=2+|=^,

7

.?.向右平移距離的距離為5，

73

；?平移后點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（［-）,

22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化-平移，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

3.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABC。中，的平分線和NCD4的平分線交于BC

上一點(diǎn)E,若A8=3,AE=2,則。E的長(zhǎng)為（）

A.2V3B.4V2C.5D.6

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線可知，NBAE=/DAE,ZCDE=ZADE,結(jié)合四邊形A8CD是平行四邊形，AD

//BC,ZBAD+ZCDA=180°,從而得到/DEC=NCDE,ZEAD+ZEDA^90°,

最后在RtAAED中利用勾股定理即可求解.

【解答】解：平行四邊形A8CD中，的平分線和/CZM的平分線交于上一點(diǎn)E,48=3,

：.AB//CD,AB=C￡>=3,AD=BC,AD//BC,

：.ZBAD+ZCDA^1SQ°,/DAE=/AEB,NADE=/CED,

1I

ZBAE=ZDAE=^BAD,NCDE=/ADE=^CDA,

1i

ZEAD+ZEDA=^BAD+^CDA=90°,ZBAE=ZAEB,ZDEC=ZCDE,

.?.A2=BE=3,CD=EC=3,

.?.8C=BE+CE=3+3=6=AD

"：AE=2,

：.DE=yjAD2-AE2=V62-22=V32=4/.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?蠡縣一模）如圖，在7義7的正方形網(wǎng)格圖中，將△ABC平移到△。跖的位置，對(duì)于甲、乙的說(shuō)

法，下列判斷正確的是（）

甲：線段BE的長(zhǎng)可以看作平移的最短距離；

乙：連接A。，CF,四邊形AOFC是平行四邊形.

A.只有甲的對(duì)B.只有乙的對(duì)

C.甲、乙的都對(duì)D.甲、乙的都不對(duì)

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；平移的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形狀，平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線互

相平行，對(duì)甲、乙的說(shuō)法分析判斷即可.

【解答】解：?..將△ABC平移到△￡）所的位置，平移的距離等于線段BE的長(zhǎng)，

線段BE的長(zhǎng)可以看作平移的最短距離，甲的說(shuō)法正確；

：.AD=CF,AD//CF,

四邊形ADFC是平行四邊形，乙的說(shuō)法正確，

.?.甲和乙的說(shuō)法均正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知在四邊形ABCD中，AB//CD,乙4=/8,添加下列條件，不能保證四

邊形ABC。是矩形的是（）

A.AD//BCB.AB=CDC.AC=BDD.ZA=ZC

【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的判定.

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】由AB〃C。，AD//BC,證明四邊形形ABC。是平行四邊形，ZA+ZB=180°,而

則2/8=180°,求得NB=90°,則四邊形ABC。是矩形，可判斷A不符合題意；由AB=

CD,證明四邊形形A2C￡）是平行四邊形，則Ar>〃BC,所以NA+NB=180°,求得NB=90°,則四

邊形ABC。是矩形，可判斷8不符合題意；由AC=BO,ZABC=ZBAD,AB=BA,證明△ABCgA

BAD,得可知四邊形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形，可判斷C符合題意；由

NA=/B,ZA=ZC,得/B=/C,由A8〃C。，得/B+/C=180°,則2/8=180°,所以/A=

NB=/C=90。，則四邊形ABC。是矩形，可判斷。不符合題意，于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解：如圖b'：AB//CD,AD//BC,

.?.四邊形形ABC。是平行四邊形，ZA+ZB=180°,

??ZA=ZB,

.?.2/8=180°,

：.ZB=90°,

四邊形42。是矩形，

故A不符合題意；

如圖1,VAB//CD,AB=CD,

...四邊形形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZA+ZB=180°,

???ZA=ZB,

：.2ZB=180°,

：.ZB=90°,

???四邊形ABC。是矩形，

故B不符合題意；

如圖2,在△ABC和△A4。中，

AC=BD

Z.ABC=乙BAD,

AB=BA

AABC^ABAD(SAS),

：.BC=AD,

'JAB//CD,

四邊形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形,

不能保證四邊形ABCD是矩形，

故C符合題意；

:如圖1,ZA^ZB,NA=NC,

：.ZB=ZC,

,JAB//CD,

.?.ZB+ZC=180°,

.*.2/8=180°,

/.ZA=ZB=ZC=90°,

四邊形ABC。是矩形，

故。不符合題意，

故選：C.

AB

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確理解和

運(yùn)用平行四邊形的定義和判定定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE,DF

AM

」_AE于點(diǎn)R連接AC交。/于點(diǎn)則工的值為（）

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能

力；推理能力.

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)。F交BC于點(diǎn)”，由矩形的性質(zhì)得NB=/"CZ）=9（r,CD=AB=4,AD=BC=6,則

iCH

BE=CE=*BC=3,由DFL4E于點(diǎn)R得/EFH=90°,可證明NH￡）C=由一=tanNH￡）C

2CD

AD44AMAD9

=tmZAEB=黑=”，求得CH=^CD=孚，再證明則一二一=一,于是得到問(wèn)

BE333CMCH8

題的答案.

【解答】解：延長(zhǎng)。月交8C于點(diǎn)H,

???四邊形A3C0是矩形，點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，A8=4,BC=6,

1

：.ZB=ZHCD=90°,CD=AB=4,AD=BC=6,BE=CE=^BC=3,

???Z）b_LAE于點(diǎn)F,

：.ZEFH=90°,

：.ZHDC=ZAEB=90°-/CHD,

CHAB4

—=tanZHDC=tanXAEB=言=亍，

CDBE3

44

--

33

'：AD//CH,

：.LADMs^CHM,

,AMAD69

?.?而=還=匹=3

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?廣東模擬）如圖，已知四邊形AC8O是矩形，點(diǎn)8在直線上，若BD平分NABN,則下列

結(jié)論不能推出的是（）

B.CD//MN

C.△80C是等邊三角形D.ZCOB=2ZABD

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定.

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到。4=O8=OC=。。，NCBD=90°,進(jìn)而得到角平

分線推出進(jìn)而得到CD//MN,得到/CO8=/ABN=2/A8。，根據(jù)等角的余角相等,

推出/ABC=NM8C,即可.

【解答】解：根據(jù)矩形的性質(zhì)，OA=OB=OC=OD,ZCBD^90°,

：.ZOBD=ZODB,

平分NABN,

???/ABD=/DBN,

：.ZODB=ZDBN,

:.CD〃MN；故選項(xiàng)2正確；

AZCOB=ZABN=2ZABD,故選項(xiàng)。正確；

,：ZCBD=90°,

：.ZABD+ZABC^9Q°,NNBD+NMBC=180°-90°=90°,

又,:/ABD=/DBN,

：.ZABC=ZMBC,

故選項(xiàng)A正確；

??OB=OC,

...△BOC是等腰三角形，無(wú)法得到等邊三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題

關(guān)鍵.

8.(2025?望城區(qū)一模)如圖，四邊形A8C。是菱形，AC=8,DB=6,DHLAB于H,貝l|08=()

AHB

1224

A.—B.——C.1：2D.24

55

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】由四邊形A8C。是菱形，AC=8,DB=6,可求得此菱形的面積與AB的長(zhǎng)，繼而求得答案.

【解答】解：設(shè)AC與2。交于。，

:四邊形ABCO是菱形，AC=8,DB=6,

1I

：.AC±BD,OA=^AC=4,OB=^BD=3,

：.AB=y/AO2+BO2=5,

1

TS菱形ABCQ=?AC?3O=24,DH_LAB,

24

：.DH=24^DH=^-.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理.關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于對(duì)角線積的一半或底乘以高.

9.（2025?陜西校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABC。中，過(guò)。作于點(diǎn)E,若乙4=60°,DE=6,

C.4V3D.6V3

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】證明AB=C。，ZA=ZC=60°，根據(jù)CD=需而可得答案.

【解答】解：在平行四邊形4BCD中，ZA=60°,

AZA=ZC=60°,AB=CD,

"：DE=6,DE±BC,

???8=^S^=6x專=4百,

：.AB=4V3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解

題的關(guān)鍵.

10.（2025?陜西模擬）如圖，在矩形A8CD中，AD=2AB,AC與8。相交于點(diǎn)。.過(guò)。作垂

足為E,則二■的值為（

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】c

1

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/4。。=90°,CD^AB,OC=OA^AC,再證明OE//AD得到△

CEOS^CDA,利用相似三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出AO=2OE,結(jié)合已知可得?！??！辏?進(jìn)而可得解.

【解答】解：：四邊形A8C。是矩形，

1

AZADC=90°,CD=AB,OC=OA=^AC^

VOE±CZ）,

：.ZOEC=ZADC=90°,

：.OE//AD,

:?△CEOs△cm,

OEOC1

—=——=則AD=2OE,

ADAC2

9：AD^2AB=2CD,

：?OE=CD,

OE

—=1,

CD

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似

三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

—.填空題（共5小題）

H.（2025?新鄉(xiāng)模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,P為A8上一點(diǎn)，且AP=1,E為BD上一動(dòng)點(diǎn),

連接PE,作△BPE關(guān)于直線PE的對(duì)稱圖形，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,繼續(xù)作AB'PE關(guān)于直線P3'

的對(duì)稱圖形，點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)戌，連接E,當(dāng)B'E'與正方形的一邊平行時(shí)，則EE'的長(zhǎng)為

6-3V21K3V2.

AD

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì).

【答案】6=3包或3a

【分析】需要分類討論，分為兩種情況①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)"E'〃&。時(shí)，分類求解即可.

【解答】如圖1,當(dāng)B'E〃AB時(shí)，設(shè)B'P交8。于點(diǎn)

則ZBPB'=NPBE=ZPB'E=/PB'E=45°,

；./BMP=90°,

由對(duì)稱性可知，BP=B'P=3,

'：PB2=PM2+BM2,

：.BM=PM=當(dāng)BP=竽，

-PM=3-當(dāng),

由對(duì)稱性易知△EB'E為等腰直角三角形，且△EM8為等腰直角三角形，

:.EE=2BM=2X（3-竽）=6-3位；

如圖2,當(dāng)B'E'〃A。時(shí)，

由對(duì)稱性易知，BP=B'P,BE=B'E,

易知AEBE為等腰直角三角形，

：.B'E//BP,

：.ZBPE=ZPEB',

；/BPE=ZB'PE,

：.ZB'PE^ZPEB',

：.B'P=B'E,

：.B'E'=B'E=BE=BP=3,

EE=V2B'￡=3V2,

綜上所述，EE的長(zhǎng)為6-3夜或3/，

故答案為：6-3或或3a.

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論.

12.（2025?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，在正方形A8C。中，以BC為邊在正方形內(nèi)作等邊△BCE,則/AE8

=75°.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】75°.

【分析】由正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，求得NABE=30；從而由等腰三角形的性質(zhì)可得NA協(xié)

=/EAB=15°.

【解答】解：在正方形ABC。中，NBAD=/ABC=/ADC=NBCD=90°,AB=BC^CD^DA,

：△BCE是等邊三角形，

：.BC=BE=CE,/EBC=6Q°,

C.AB^BE,NABE=/ABC-NEBC=3Q°,

1

ZAEB=ZEAB=jx(180°-30°)=75°,

故答案為：75°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等知識(shí)，掌

握這些性質(zhì)是關(guān)鍵.

13.(2025?旺蒼縣一模)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,點(diǎn)。為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

以為邊在2。的上方作正方形BDFE,當(dāng)AE取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】V5.

【分析】過(guò)點(diǎn)E作"_LAC于X,由四邊形OEF2是正方形，得/BDE=90。=NC,DE=BD,可證

明△8OC附△OEH(A4S),即有EH=C。，DH=BC=2,Affi!AH=AC-DH-CD=2-CD,而AE2

=2(CD-1)2+2,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得AE取得最小值時(shí)，CD=1,即可得到答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作砥，AC于H,如圖所示：

由條件可知N2OE=90°=/C,DE=BD,

：.ZDBC=ZEDA,且DE=BD,ZDHE=ZC=90°,

:.ABDC名ADEH(AAS),

：.EH=CD,DH=BC=2,

：.AH=AC-DH-09=4-2-CD=2-CD,

'：AE1=AH-+EH2=(2-CD)2+CD2=2(CD-1)2+2,

V2>0,

當(dāng)CQ=1時(shí)，A￡2最小，則AE也最小，

此時(shí)BD=y/CD2+BC2=-22=Vs,

故答案為：V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及正方形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理及二次

函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)，熟記二次函數(shù)表圖象與性質(zhì)，用含CD的代數(shù)式表示8爐是解決問(wèn)題的關(guān)鍵..

14.(2025?巴彥縣校級(jí)模擬)如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABC。中，M為對(duì)角線8。上的一點(diǎn)，連接AM并

延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P.若PM=PC,則AM的長(zhǎng)為6(W一1).

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力.

【答案】6(V3-1).

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

NBAM=NBCM,繼而得到ND4M=/QCM,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/PMC=/QCM,從而可

得/D4P=30°,然后利用勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.

【解答】解：：邊長(zhǎng)為6的正方形A8CD,

：.BA=BC,ZABM=ZCBM,ZDAB=ZADC=ZBCD=90°,

BA=BC

4ABM=乙CBM,

BM=BM

△ABMmACBM(SAS),

NBAM=ZBCM,

90°-ZBAM=90°-ZBCM,

ZDAM=ZDCM,

;PM=PC,

：.ZPMC=ZDCM,

：.NAPD=ZPMC+ZDCM^2ZDCM=2ZDAM,

：.ZAPD+DAM=3ZDAM=900,

：.ZDAP=3Q°,

：.AP^2DP,

'：AP1=DP2+AD2

：.(2DP)2=DP2+61,

解得：DP=2V3,

：.AP=2DP=4V3,PM=PC=CD-DP=6—2A/3,

：.AM=AP-PM=6V3-6=6(V3-1),

故答案為：6(V3-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.(2025?陜西模擬)如圖，在菱形A8CD中，AB=6,ZA=60°,點(diǎn)、E,歹分別在邊AB和A。上，且

￡F=4.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，△CEF的面積為8百.

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力.

【答案】8V3.

【分析】作的外接圓，設(shè)圓心為。，過(guò)。作于X,過(guò)A作APIEF^P,由AP^OA+OH,

當(dāng)A、。、H共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AP最大，點(diǎn)P、H重合，AE=AF,則的面積最大；設(shè)8。、

AC相交于。'，由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)分別求得C。'=4。，=3V3,再由垂徑定理和等腰三

角形的性質(zhì)證得點(diǎn)A、0、P、O'、C共線，進(jìn)而求得4P=2百，貝。CP=4百，然后利用三角形的面

積公式求解即可.

【解答】解：：EF=4,Z￡AF=60°,

...作△AEf'的外接圓，設(shè)圓心為。，過(guò)。作O8_LE尸于X,過(guò)A作于尸，如圖，則EH=HF,

：.AP^OA+OH,當(dāng)A、。、H共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)A尸最大，點(diǎn)尸、〃重合，AE=AF,

91

：SAAEF=^EF-AP=APf

???A尸最大時(shí)，ZkAEb的面積最大；

由題意可得：

1

AO'=COr,BDLAO',ZBAC=ZDAC=^BAD=30°,

COz=2。'=AB-COS30°=亨x6=35

又AP±EF,

11

ZEAP=/FAP=^AEAF=30°,EP=^EF=2,

???點(diǎn)A、0、P、O'＞。共線，

FPLL

?MP=^=bEP=2后

ACPAC-AP=4V3,

11

：.ShCEF=^EF-CP=1x4x4A/3=8百，

故答案為：8V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、隱形圓求最值問(wèn)題等知識(shí)，利用圓的相關(guān)知

識(shí)得到△AEF的面積最大是解答的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?武漢模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E,尸分別在AB,BC,AC邊上，DE=AF,EF=AD.

(1)求證：/DEF=NA；

(2)添加一個(gè)條件，使四邊形AD所為矩形，直接寫出這個(gè)條件.

【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答；

(2)ZA=90°.(答案不唯一，如斯_LAC)

【分析】(1)由。E=AREF=AD,證明四邊形ADEF是平行四邊形，則/。所=NA；

(2)因?yàn)樗倪呅蜛DEF是平行四邊形，所以當(dāng)/A=90°,或EFLAC時(shí)，四邊形是矩形，寫

出一個(gè)條件即可.

【解答】(1)證明：EF=AD,

四邊形ADEF是平行四邊形，

：./DEF=ZA.

(2)解：NA=90°,

理由：：四邊形AOEF是平行四邊形，ZA=90°,

四邊形ADE尸是矩形.

注：答案不唯一，如EFLAC.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)，證明四邊形AOE尸是平行四邊形是

解題的關(guān)鍵.

17.(2025?南崗區(qū)模擬)矩形ABC。中，G,以分別是。。的中點(diǎn)，E,尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

MA￡=CF.

(1)如圖，當(dāng)ZEV±AC時(shí)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)若AB=6,BC=8,以E,G,F,〃為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng).

備用圖

【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；

推理能力.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

（2）AE的長(zhǎng)為1或9.

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得AB//DC,則AG=%B=，）C=C8,ZGAE^ZHCF,而AE

=CF,即可根據(jù)“SAS”證明△G4E之△HCH得EG=FH,ZAEG^ZCFH,推導(dǎo)出NEFH,

則EG〃/7/,即可證明四邊形EG/7/是平行四邊形；

（2）連接GH,由A8=OC=6,BC=8,ZB=90°,求得8G=C〃=3,AC=y/AB2+BC2=10,可

證明四邊形8CHG是平行四邊形，則GH=8C=8,因?yàn)橐訣,G,F,"為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，所以

EF=GH=8,當(dāng)時(shí)，貝2AE+8=10,求得AE=1；當(dāng)AE＞與4C時(shí)，2A5-8=10,求得AE

=9,所以AE的長(zhǎng)為1或9.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形，G,〃分別是AB,OC的中點(diǎn)，

：.AB=DC,AB//DC,

：.AG=%8=^DC=CH,ZGAE=NHCF,

在AGAE和/中，

AG=CH

/-GAE=乙HCF,

AE=CF

：./\GAE^/\HCF（SAS）,

：.EG=FH,ZAEG=ZCFH,

.*.180°-ZAEG=180°-ZCFH,

ZFEG=ZEFH,

：.EG//FH,

???四邊形EG尸H是平行四邊形.

(2)解：AE的長(zhǎng)為1或9,

理由：連接G//,

"：AB=DC=6,BC=8,ZB=90°,

11________________

：.AG^BG=抑2=3,DH=CH=卯C=3,AC=y/AB2+BC2=V62+82=10,

：.BG//CH,且BG=CH,

/.四邊形BCHG是平行四邊形，

.?.G//=8C=8,

?.?以E,G,F,X為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，

:.EF=GH=8,

1

如圖1,當(dāng)AEv/lC時(shí)，四邊形EGFH是矩形，

\"AE^CF,>AE+EF+CF^AC,

.,.2AE+8=10,

：.AE=i；

如圖2,當(dāng)yC時(shí)，四邊形PG即是矩形，

'：AE=CF,且AE-EF+CF=AC,

：.2AE-8=10,

；.AE=9,

綜上所述，AE的長(zhǎng)為1或9.

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等

知識(shí)，證明△GAEg/XHCP是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?越秀區(qū)校級(jí)一模)已知：如圖，四邊形A2C。為正方形，點(diǎn)￡在BZ)的延長(zhǎng)線上，連接01、

EC.求證：AEAB咨AECB.

E

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定.

【專題】證明題；圖形的全等；推理能力.

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明AB=BC,ZABE=ZCBE,然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明

即可.

【解答】證明：：四邊形ABC。為正方形，

：.AB=BC,ZABE=ZCBE=45°,

在△EA8和△ECB中，

AB=CB

Z.ABE=乙CBE,

BE=BE

:?△E\BQXECB(SAS).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，熟練找

出△EA8和△ECB的全等條件.

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖所示，在團(tuán)中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。任作一條直線

分別交AB,CD于點(diǎn)、E,F.

(1)求證：OE=OF；

(2)連接AF,CE直接寫出當(dāng)E尸與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是菱形？

【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)EfUAC時(shí)，四邊形AECF是菱形.理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC,AB//CD,貝!］可證得△AOEg△(%＞尸(ASA),

繼而證得OE=OF；

(2)由△AOE0ZXCOF,可得。4=0C,OE=OF,可征得四邊形AEC尸是平行四邊形，由EE_LAC,

根據(jù)菱形的判定即可證的結(jié)論.

【解答】(1)證明：二?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=OC,AB//CD,

；./OAE=NOCF,

在△OAE■和△Ob中，

rZOAE=ZOCF

OA=OC，

^AOE=ZCOF

AAAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF；

(2)當(dāng)￡F_LAC時(shí)，四邊形AECF是菱形.

證明：VAAOE^ACOF,

：.OA^OC,OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

VEFXAC,

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形判定.此題難度適中，注意掌

握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.(2025?碑林區(qū)校級(jí)二模)【問(wèn)題探究】

(1)如圖1,在△ABC中，AB^AC,。為BC的中點(diǎn)，連接A。，則AD與BC的位置關(guān)系是ADL

BC；

（2）如圖2,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,E是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），連

接AE,將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AR連接ER點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC、所的

中點(diǎn).試探究BE和MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【問(wèn)題解決】

（3）如圖3,正方形ABC。是一塊蔬菜種植基地，邊長(zhǎng)為3千米，對(duì)角線為該基地內(nèi)的一條小路，

管理人員計(jì)劃在小路上確定一點(diǎn)E（不與點(diǎn)3、。重合）；連接AE,以線段AE為斜邊，在AE右側(cè)

建等腰直角△AEP區(qū)域（NE陰=90°）,用來(lái)種植新品有機(jī)蔬菜，并在F處設(shè)立蔬菜倉(cāng)庫(kù).G點(diǎn)和。

點(diǎn)為基地的兩個(gè)蔬菜打包裝運(yùn)點(diǎn)，G在8。上且8G=2OG.現(xiàn)要沿GF、。尸修建蔬菜運(yùn)輸軌道，請(qǐng)確

定運(yùn)輸軌道GF+DF的最小值.并求出當(dāng)GF+DF最小時(shí)，有機(jī)蔬菜種植區(qū)域的面積（即的面積）.

A

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）AD±BC；

（2）BE=2MN；

45

（3）—（平方千米）.

32

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ADJ_BC；

4心,AMAN,MNAM1

（2）連接AM,AN,可得——=——，ZBAE=ZMAN,從而得出進(jìn)而得出——=——=

ABAEBEAB2

從而BE=2MN；

（3）作AH_L8。于H,作射線液，可證得從而NAHE=/A8O=45°,從而得出點(diǎn)

廠在過(guò)X點(diǎn)且與2。成45°的直線L上運(yùn)動(dòng)，直線/交A。于V,連接AG,交FH交于F',