《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三版答案大學(xué)數(shù)學(xué)

立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本1.1計(jì)算下列各式.;解1.2證明下列關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：=(xi±xz)+i(y?±y?)=(x=X?Z?-yIy?-i(x?y?+yix?).z1·z?=(x1+iyi)(z2+iy?)=(即左邊=右邊，得證.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本即故(a-ib)z+(a+ib)乏+2c=0,立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故Az+AE+B=0,其中A=a+ib,B=2c.1.5將圓周方程a(x2+y2)+bx+cy+得故其中A=2a,B=b+ic,C=2d.=|z?|2+|z?l2-2Re(z?22).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本=2izil2+2|z?|2=2(|z?|2+|z?|2).(3)(其中≈=x+iy).故即故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本牧解故1.9利用復(fù)數(shù)的三角表示計(jì)算下列各式：解故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本解由乘冪公式知k=0,1,2,3.解方程z3+1=0,即z3=-1,它的解是由開方公式計(jì)算得即1.11指出下列不等式所確定的區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本的還是無界的?是單連通域還是多連通域?●中●中解分三種情況：0<a<1,區(qū)域?yàn)閳A的外部；1.12指出滿足下列各式的點(diǎn)z的軌跡是什么曲線?解以(0,-i)為圓心，1為半徑的圓周.(2)|z-al+|z+a|=b,其中a,b為正實(shí)常數(shù)；(3)|z-a|=Re(z-b),其中a,b為實(shí)常數(shù)；立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故(z≠0).限為0,故導(dǎo)數(shù)為0.2.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)?何處解析?何處不解析?z|2·z立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本這里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2).ux=x2+y2+2x2,vy=x2+y要ux=Uy,uy=-vx,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0,而ux,uy,v,vy均連續(xù)，解這里u=x2,v=y2.u=2r,uy=0,vx=0,vy=2y,四(3)f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3).解這里u(x,y)=x3-3zy2,v(x,y)=3x2y-y3.ux=3x2-3y2,uy=-6xy,vx=6xy,v,=3x2-3y2,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且處處解析.解這里u(x,y)=sinxchy,v(x,y)=osxshy.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本(3)設(shè)f(z)=u+iv,由條件知,從而(4)設(shè)a≠0,則u=(c-bv)/a,求導(dǎo)得立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本而則有因立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本得解析函數(shù).證,則立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本,所以p'(x)=ψ(y)=-y2-3y+C.故f(z)=x2-y2-3y+C+i(2xy+3x).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本ψ'(y)=2y,ψ(y)=y2+C,則則故(4)u=e*(xcosy-ysiny),f(0)=0.則立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故f(z)=e2(xcasy-ysiny)+ie(xsiny-ycosy)+iC.f(z)=e2(xoosy-ysiny)+ie*(xsin所以 立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本又即-u與v滿足CR條件，故if(z)也是解析函數(shù).故(2)4(2k-1)π-i,k為整數(shù).另解.見本節(jié)例24.解由題設(shè)知tanz=-1,,k為整數(shù).14.求下列各式的值.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本解33-i=e(3-i)Ln3=e(3-)(hn3+2km)(2)cos(z?+z2)=osz?COSz證立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本證利用復(fù)數(shù)變量正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義直接計(jì)算得=1.sin(z?-z?)=sinz?COSz..立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本w=In(z+√z2-1).而=In|z|2+i(2θ+4kπ),k=0,±1,±2,…即Ln1=0僅當(dāng)k=0時(shí)成立.20.下列命題是否成立?立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本p(z)=(a+ib)z,p(z)=(a-i而(4)Lnz=Lnz.Ln乏=1n|z|+i(-θ+2kπ)立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本1.計(jì)算積,積分路徑(1)自原點(diǎn)至1+i的直線段；(2)自原點(diǎn)沿實(shí)軸至1,再由1鉛直向上至1+i;(3)自原點(diǎn)沿虛軸至i,再由i沿水平方向向右至1+i.C?:x=1,dx=0,dz3.求證：,其中C是從1-i到1的直線段第3題立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故解積分值為0,因被積函數(shù)在|z|≤1內(nèi)解析，解積分值為0,理由同上.5.求積的值，其中C為由正向圓周|z|=2與負(fù)向圓周|z|=1所組成.=2πi-2πi=0.第5題第6題立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本6.計(jì),其中C為圓周|z|=2.1,分別作以0,1為中心的圓周C?,C?,C?與C?不相交，則=2πi-2πi=0.7.計(jì)算8.計(jì)算下列積分值.解解乙3解=3ei-1-3=3ei-4.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本一個(gè)原函數(shù),則10.計(jì)算下列積分.解解將被積函數(shù)分解因式得到11.計(jì)算,其中C是立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本(2)被積函數(shù)在|z-2|≤1內(nèi)僅有奇點(diǎn)z=2,故13.計(jì)算下列積分.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本解解=πi(-1)-πi(-1)=0.則立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本z|=1上.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本1.下列序列是否有極限?如果有極限，求出其極限.2.下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?②收斂；故(2)絕對收斂.(3),故發(fā)散.3.試證級數(shù)當(dāng)時(shí)絕對收斂.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本且收斂，故絕對收斂.故的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域，原點(diǎn)到所有奇點(diǎn)的距離最小值為1,故|z|<1.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本,且,且即即(6)令f(z)=e,f(0)=1,立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本因?yàn)?為f(z)的唯一奇點(diǎn)，原點(diǎn)到1的距離為1,故收斂半徑R<1.6.證明對任意的z,有|e2-1|≤eIzl-1≤lzlel?所以le2-1≤elzl-1≤Izle21.7.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)zo處的泰勒展式.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本1立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故8.將下列各函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)展開為洛朗級數(shù).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本9.將在z=1處展開洛朗級數(shù).f(z)的奇點(diǎn)為zi=1,x?=2.f(z)z-1l>1解析.立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本解f(z)的孤立奇點(diǎn)為±i.f(z)在最大的去心鄰域0<上式即為f(z)在z=i的去心鄰域內(nèi)的洛立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本2,…),之=0處不解析，,故0不為的孤立奇其孤立奇點(diǎn)解(1),顯然z=±3i為其一階零點(diǎn).(2)因=(-1)k·kπ≠0(3)令立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本所以z=0為f(z)的四階零點(diǎn).又所以之=√2kπi(k=±1,±2,…)為f(z)的一階零點(diǎn).3.下列各函數(shù)有哪些奇點(diǎn)?各屬何類型(如是極點(diǎn)，指出它的階數(shù)).解(1)令,z=0,±2i(2),所以z=0為二階極點(diǎn).(3)令付的零點(diǎn)為,k=0,±1,±2,….因所以,±1,…)都為簡單極點(diǎn).(4)令的零點(diǎn)為所以,±1,…)都為簡單極點(diǎn).(4)令的零點(diǎn)為故z=2kπi的一階零點(diǎn)，即為f(z)的簡單極點(diǎn).(5)令,z=0為其孤立奇點(diǎn).因所以之=0為可去奇點(diǎn).(6)令z=0和2kxi(k=±1,±2,…)為其孤立奇點(diǎn).因所以z=0為其可去奇點(diǎn).又所以z=2kπi(k=±1,±2,…)的一階零點(diǎn)，即為f(z)的簡立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本單極點(diǎn).(7)令因單極點(diǎn).因而≠0,故為f(z)的簡單極點(diǎn).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本常數(shù)C-m.所以由定理5.1,zo是g(z)的可去奇點(diǎn).根據(jù)可去奇點(diǎn)的定義其中m≥1,bm≠0,p(z)是上式方括號內(nèi)的冪級數(shù)的和函數(shù).顯然φ(z)在zn解析且p(zo)=bm≠0.由于解析函數(shù)的商在分母不為零5.如果f(z)與g(z)是以zn為零點(diǎn)的兩個(gè)不恒為0的解析函數(shù)，則立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本(或兩端均為○).因而當(dāng)m>n時(shí)，(1)式=(2)式=0,6.問一是否為下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn).,故一為可去孤立奇點(diǎn).故口不是其孤立奇點(diǎn)，7.求出下列函數(shù)的在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).44.4.4立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本解(1)令,孤立奇點(diǎn)僅有0.(3)z=-1為其三階極點(diǎn).(5)的孤立奇點(diǎn)為z=0,zk=kπ立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本所以8.利用留數(shù)計(jì)算下列積分.中中中中(n為正整數(shù)，|a|≠1,1b≠1,ial<1bl).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本9.判定z=是下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)，并求出在一的留數(shù).解(1)不存在，故一為sinz-COSz的本性奇點(diǎn).立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本(2),故為其可去奇點(diǎn).(3)顯然一為的簡單極點(diǎn)10.求下列積分=2πi[Res(f(z),0)+Re立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本11.設(shè)函數(shù)f(z)在R<|z-zo|<+的洛朗級數(shù)展開為求證Res[f(z),○]=-C_1·證由逐項(xiàng)積分定理及的整數(shù)即Res[f(z),0]等于f(z)在點(diǎn)○的洛朗展式這一項(xiàng)系數(shù)的反12.求下列各積分之值.;甲中甲中立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本令,其中a=-a-√a2-1,β=-a+√a2-1為實(shí)系數(shù)二次方程≈2+2az+1=0的兩相異實(shí)根，顯然又有一個(gè)簡單極點(diǎn)z=β,故即軸上無奇點(diǎn)，在上半平面僅有二階極點(diǎn)ai,所以立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本(4)不難驗(yàn)證滿足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件，函數(shù)f(z)有兩個(gè)一階極點(diǎn)-2+i,-2-i.故所以(6)令,容易驗(yàn)證f(z)滿足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件.故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本所以證立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本注：是w的偶函數(shù).3.試求f(t)=|sint|的離散頻譜和它的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故4.求下列函數(shù)的傅氏變換：解立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本證明,立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本求解.解(1)已知,F[1]=2πδ(w),(2)已知+38(w+1)-8(w+3)].(4)由于故立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本kk202證立身以立學(xué)為先--立學(xué)以讀書為本=7[cosp(t)],立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本12.求函數(shù)的傅氏積分變換.解13.證明下列各等式.(2)a[fi(t)*f?(t)]=[af?(t)]*f?(t)(a為常數(shù));證(1)、(2)略.僅證(3):又立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本14.設(shè)求fi(t)*f?(t).故證立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本16.求下列函數(shù)的傅氏變換(1)f(t)=sinwot·u(t);(2)解(1)已知：由位移性質(zhì)有(2)由微分性質(zhì)有了立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本立身以立學(xué)為先，-立學(xué)以讀書為本