天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷

天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={川一2<%<2},B={x|-l<x<3）,則A|JB=（）

A.1x|-2<x<3|B.{%卜>-2}

C.{%|-Uv3}D.{小<3}

2.已知（zeR,貝（j"tana=1"是"a=/+M（左eZ）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)=+是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

e—1

A.-2B.0C.2D.4

4.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（2,4）,下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該物理量在一次測(cè)量中小于2的概率為0.5

B.該物理量在一次測(cè)量中小于1.98與大于2.02的概率相等

C.該物理量在一次測(cè)量中落在（1.9,2.2）與落在（2,2.3）的概率相等

D.c越小，該物理量在一次測(cè)量中在（1.9,2.1）的概率越大

11

5.已知〃=（5）3/=10823,。=（1082"）?（10834）,則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<a<c

6.已知直線/：y=x+Mm￡R）經(jīng)過(guò)拋物線V=-4x的焦點(diǎn)，直線/與圓（％-域+、2=9相交

于A、5兩點(diǎn)，且|的=2,則實(shí)數(shù)，的值等于（）

A.3B.5C.3或-5D.-3或5

7.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin，-2xj,下面結(jié)論成立的是（）

A.〃尤）在區(qū)間去今上的最大值為-日

B.〃尤）在區(qū)間力上單調(diào)遞增

C.4）=/仁"

D.〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)［?,o］對(duì)稱

8.己知正四面體ABC￡>（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）

表面積為巳，設(shè)能裝下正四面體ABC。的最小正方體的體積為乂，正四面體ABC。的外接

球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為匕，則匕M=（）

A百R娓「3&3

■A..----兀B.-----兀C?-------兀nD.兀

16882

22

9.已知廠是雙曲線，-七=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作垂直于x軸的直線與雙曲線

交于S,T兩點(diǎn)，4、4分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，連接AS交y軸于點(diǎn)R,連接R4并延長(zhǎng)

交ST于點(diǎn)H,且4麗=可，則雙曲線的離心率為（）

75

A.-B.3C.2D.-

23

二、填空題

10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（3-i）（l-i）的實(shí)部為.

11.在12工3-2］的展開式中，『的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

12.袋子中裝有8球，其中6個(gè)黑球，2個(gè)白球，若依次隨機(jī)取出2個(gè)球，則在第一次取到

黑球的條件下，第二次取到白球的概率為;若隨機(jī)取出3個(gè)球，記取出的球中白球

的個(gè)數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.

13.已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和S"滿足2S“=%+-^（〃eN*）,則%=.

_BC

14.已知平面四邊形A3CD滿足|而|=|通|=2,BD+cb=2BAS.BA^=^=l,M為A8的

中點(diǎn)，則口間=,若E、尸分別為線段AD、2C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足族?礪=7，

則匹+畫的最小值為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.若關(guān)于x的方程-_2聞+,+2依-3〃|=2x+a有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

三、解答題

16.在VABC中，角A,民C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知VABC的面積為c—b=2,

,1

cosA=——.

3

⑴求〃的值；

(2)求sin。的值；

⑶求cos(2A+3的直

17.如圖，在四棱錐E—ZMBC中，平面。國(guó)7_1_平面。鉆(7,4。_1?！?,相〃憶)，

04=8=4,AB=EC=2,且C—ED.

(1)求直線OE與平面BCE所成角的正弦值；

(2)求平面ABC與平面BCE的夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)A到平面BCE的距離.

22

18.橢圓J+多=1(穌6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K(-c,0)和月(c,0),左頂點(diǎn)為A,下頂

ab

點(diǎn)為瓦|4卻=白閨周.

(1)求橢圓的離心率；

(2)已知過(guò)片的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，若在直線x=-2c上存在一點(diǎn)P,使得為

面積是與力的等邊三角形，求直線/的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

19.已知〃eN*,記無(wú)窮數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)中的最大值為加.，最小值為啊,，令a=”學(xué)生.

⑴若為=(-2)",求數(shù)列色,｝的通項(xiàng)公式與其前n項(xiàng)和S”.

(2)若數(shù)列物,,｝為遞增的等差數(shù)列，判斷數(shù)列｛4｝是否也一定為遞增的等差數(shù)列，并說(shuō)明理

由；

(3)若，=2"-4,%=條，設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為北，是否存在正整數(shù)。，4(1<〃<4),使得

7］,乙,7；為等差數(shù)列？如果存在，求出所有P，4的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知函數(shù)g(x)=x+Z?,(a,Z?￡R).

⑴若a=-l,函數(shù)Hx)=〃x)-g(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線斜率為一，求函數(shù)Wx)的單調(diào)

區(qū)間和極值；

⑵試?yán)?1)結(jié)論，證明：〈相［］),(心")；

(3)若，=0,。>0,且xe(O,"),不等式［需］之加能恒成立，求。的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)123456789

答案ACBCBCDAD

1.A

【分析】利用并集的定義可求得集合AU8.

【詳解】因?yàn)?={%卜2<%<2},B=l<x<31,貝I=2<%<3}.

故選：A.

2.C

【分析】由充分必要條件的概念判斷即可.

JTJT

【詳解】若tana=l,貝lja=]+E(Z￡Z),反之若。二^+而伏EZ),貝ijtana=l,

所以tane=l是a=]+fat(左eZ)的充要條件.

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，可得出=化簡(jiǎn)后即可得出實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】對(duì)于函數(shù)〃x)=(尤+有e2-1*0,解得xwO,

所以，函數(shù)“X)的定義域?yàn)閧尤|尤#0},且/⑺=(x+a)./^=F^,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，貝lJ/(—x)=/(x),即三二=豐、，

e—ee-e

可得a—x=—(x+a)對(duì)任意的xN0恒成立，貝!Ja=O.

故選：B.

4.C

【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于2的概率為0.5,

故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于2.02的概率與小于

1.98的概率相等，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)檎龖B(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，該物理量測(cè)量結(jié)果落在(192)的概率大于落在

(22,2.3)的概率，

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

所以一次測(cè)量結(jié)果落在(192.2)的概率大于落在(2,2.3)的概率，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,，為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=2附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(192.1)

內(nèi)的概率越大，故D正確；

故選：C.

5.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算比較大小.

【詳解】依題意，c=(log273)-log34=log23-21og32=1,

3

a=(1)<(i)°=l,i=log23>log22=l,

所以a,6,c的大小關(guān)系為q<c<6.

故選：B

6.C

【分析】根據(jù)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)求出機(jī)的值，利用勾股定理求出圓心到直線/的距離，再

利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于。的等式，解之即可.

【詳解】易知拋物線V=-4x的焦點(diǎn)為網(wǎng)-1,0),且直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-1,0),貝股”-1=0,可

得加=1,

所以，直線/的方程為y=x+l,即x-y+l=0,

圓(x-4+y2=9的圓心為C(a,0),半徑為r=3,

由題意可知，圓心到直線/的距離為4=

由點(diǎn)到直線的距離公式可得1=苧=20,即|a+l|=4,解得a=-5或3.

72

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)X的范圍計(jì)算方-2x的整體范圍，求出函數(shù)/(x)的最大值，從而判斷A；將/(x)

變換為/(x)=-sin[2x-3,根據(jù)所給范圍以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷B；化簡(jiǎn)(g-x]

可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的對(duì)稱中心可判斷D.

IT7TIT2冗\(yùn)TT)

【詳解】解:A選項(xiàng)：因?yàn)閤w,所以丁2xe--,0,則sin匕一2尤同-1,0],

U乙DJ\JJ

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

JTJT

即/(元)在區(qū)間上的最大值為0.故A不正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)?，貝IJ2尤-#-利，所以-inQx-；]在值]上單調(diào)遞增，

/(x)=-sin^2x-^,所以/(無(wú))在(0,胃上單調(diào)遞減，故B不正確；

C選項(xiàng)：一x]=sin[]-2[1-x]]=-sin2xwy(x),故C不正確；

D選項(xiàng)：當(dāng)x=g時(shí)，/(x)=sin^-2x^=sin(-7t)=0,所以1g,。]為/(x)的圖象的

對(duì)稱中心，故D正確.

故選：D

8.A

【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為“，設(shè)正四面體ABC。內(nèi)切球球心為0,半徑為U，由等體積

法求出。=1,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此

時(shí)即為能裝下正四面體ABC。的最小正方體，即可求出匕，設(shè)正四面體ABC。的外接球的

半徑R,根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出匕，即可得出答案.

【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，則正四面體的表面積為S=4x立/=島2,

4

a,_上

由題設(shè)底面VABC的外接圓半徑(，則一V小一"=石"

sm—

3

所以正四面體的高為（曰4,

其體積為V=-x—a2x—a=-a3,

34312

設(shè)正四面體ABC。內(nèi)切球球心為。，半徑為4，

V=VO-ABC+^O-ABD+VO-BCD+VO-ACD=4X1.Sf=4XjXflV=^-fl3

解得：/;=—?,所以4叫2=4兀［坐/=5,解得：0=1,

212112J6

將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，

此時(shí)即為能裝下正四面體A28的最小正方體，

正四面體ABC。的最小正方體的邊長(zhǎng)為6,如下圖，§P2b2=a2=l,所以6=走,

2

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為2R=亞="，

2

所以R=手，所以外接球的體積為匕=^兀(乎]=,兀，

vv及瓜73

V.?匕=-------71=——兀.

124816

故選：A.

9.D

【分析】先將耳(G。)代入雙曲線，得到S,T兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線S的方程，得到R點(diǎn)坐標(biāo),

寫出直線R4的方程，得到H點(diǎn)坐標(biāo)，利用4兩=萬(wàn)，構(gòu)造出關(guān)于〃，仇。的方程，結(jié)合雙

曲線中c2=a2+〃，得到離心率的方程，解出離心率.

【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則S,尸1九丁的橫坐標(biāo)都為J

代入雙曲線方程得y=±c—\,Tc,——

aVaJVa)

少2

而4(-a,0),所以直線SA方程為y=r——;(％+?),

/ayc+a)

人,日f(shuō)na廿'

令％-0,付,..DR0,

a^c+a)(a(c+a)J

A2b2(c-a)

所以直線R4：y=(、(無(wú)。)，令x-c得，W=

a^c+a)Q(C+Q)'

因?yàn)?兩=百，所以可得

Cb2(c-a]yb25

4x一一)—J=,整理得3c=5a,所以e=c￡=：

、ayc+a)Jaa3

故選：D.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

10.2

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】z=（3-i）（l-i）=3-3i-i+i2=2-4i,

所以復(fù)數(shù)z=（3-i）（l一i）的實(shí)部為2.

故答案為：2.

11.280

【分析】利用二項(xiàng)式定理，求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，把含尤的進(jìn)行幕運(yùn)算合并，然后令指數(shù)

等于7,即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?x3-；1的通項(xiàng)為小=Q（2巧]一；）=（一

7

令21—ar=7,得r=4,

所以/的系數(shù)為（-1）4-27-4C^=8x35=280.

故答案為：280.

12.22

74

【分析】第一問(wèn)可根據(jù)條件概率公式求解，第二問(wèn)可先確定隨機(jī)變量X的取值，再求出

每個(gè)取值的概率，最后根據(jù)期望公式計(jì)算期望.

【詳解】設(shè)“第一次取到黑球”為事件A,“第二次取到白球”為事件B.

貝l]P（A）C.

84

尸（AB）表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有6種取法，第二次

取白球有2種取法，從8個(gè)球中依次取2個(gè)球的總?cè)》ㄓ蠥；=8x7=56種，所以

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

3

一342

14--X-

根據(jù)條件概率公式P@A)=W可得P")=33-7-

一14

4

隨機(jī)取出3個(gè)球，取出的球中白球的個(gè)數(shù)X可能取值為0,1,2.

P(X=0)表示取出的3個(gè)球都是黑球的概率，從6個(gè)黑球中取3個(gè)球的組合數(shù)為

C：=74W=20,從8個(gè)球中取3個(gè)球的組合數(shù)為亡=汽釁=56,所以

3x2x13x2x1

P(x=o)*W5

C8JO14

P(X=1)表示取出的3個(gè)球中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球的概率，從2個(gè)白球中取1個(gè)

6x5

球的組合數(shù)為C-2,從6個(gè)黑球中取2個(gè)球的組合數(shù)為C--=15,所以

C^xCg2x1515

P(X=1)=

d-56-28

P(X=2)表示取出的3個(gè)球中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球的概率，從2個(gè)白球中取2

個(gè)球的組合數(shù)為G=l,從6個(gè)黑球中取1個(gè)球的組合數(shù)為爆=6,所以

P(X=2)=^^lx6_3

-56--28

根據(jù)期望公式可得E(X)=0x—+lx—+2x—=—+-=—=-

1428282828284

23

故答案為：~.

13.75-2

【分析】通過(guò)題給條件逐項(xiàng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可寫出〃5的值.

【詳解】由題知2S〃=4+'(〃￡N*),即2弓=6+,，因?yàn)?＞。，解得％=1,

〃=2時(shí)，2(〃1+〃2)=。2+7，即。2-丁=一2,因?yàn)椤?＞。，解得％=0-1,

〃=3時(shí)，2(q+〃2+。3)=。3，即2(1+A/2-1+〃3)=。3■1,即。3---=-2形,因?yàn)椤?＞。,

解得/=g-8,

同理可得〃4=2—g,a5-^5—2.

故答案為：A/5-2.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

14.岳4

TT

【分析】推導(dǎo)出品=2而，ZABC=~,然后以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸，過(guò)點(diǎn)B

且垂直于BC的直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的模長(zhǎng)公式可求得|加|的值;

設(shè)點(diǎn)網(wǎng)犯指）、F（n,O）,其中0<n<4,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出

2￡|=4,再結(jié)合基本不等式求得|赤+祈耳的最小值.

【詳解】因?yàn)?麗=而+前=麗+麗-肥,可得前=2麗-2麗=2而，

__~DC|BA|-|BC|COSZABC,_,i

因?yàn)辂?7=7=J-11.'------=明cosZABC=2cosZABC=1,貝!|cosZABC=

|BC|\BC\112

因?yàn)?</ASC〈兀，則NA8C=《，>|BC|=2|AD|=4,如下圖所示：

以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過(guò)點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸建立如上圖所示的平

面直角坐標(biāo)系,

則3(0,0)、c(4,0)、r?(3,V3)

設(shè)點(diǎn)6)、F(n,0),其中14〃z<3,0<n<4,

―.(i一?ri

ME=Im一2一2J,MF=In一一22J

所以,

因?yàn)閯tw>,，貝!|〃?一，>。，n-->0,

2222

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

所以，ME+MF=(m+n-1,0),

即當(dāng)機(jī)=〃=*時(shí)，等號(hào)成立,

2

l<m<3,0<n<4

因此，|赤+礪|的最小值為4.

故答案為：；4.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值大于等于。，求得x2-羨.再找到各個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)，然后分

。=0,。>0,々<0三種情況分別考慮去絕對(duì)值符號(hào)后對(duì)應(yīng)區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)情況，進(jìn)而總結(jié)

得到答案.

【詳解】右邊的2x+a20,即：尤"菱解方程無(wú)2-2辦=0得x=0或x=2a;

解方程尤?+2ov-3a2=0得x=a或x=—3a-

需要根據(jù)?的符號(hào)討論：

(1)當(dāng)4=0時(shí)方程變?yōu)镮尤2Mx2|=2尤，即2元2=2X,解得X=O或x=l,有兩個(gè)不

等實(shí)根.

(2)當(dāng)a>0時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)順序：

記/(x)=—2flLx|+|x2+2ax—3a21—2x—a2

--<x<0：方程變?yōu)椋簒=得0<a<!.

24a+224a+23

當(dāng)0<xva時(shí)，f(x)=-2%2—2x+3Q?-a

根據(jù)開口方向和對(duì)稱軸可知，至多有一解.

恰有一解條件：，解得!<?<3

當(dāng)aVx<2a時(shí)，/(x)=(4a-2)x-3/-a,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

有一解條件即*<2a,解得l<a<3;

4a-2

當(dāng)了之2〃時(shí),/（x）=2x?—2%—3.2一〃,至多有一解.

有一解條件/（2〃）=5/一5，4。，解得Ova<l.

所以0<〃<3時(shí)有2解；

若a<0,由于％2一3,

一4?兀<一3。時(shí)一44^——-<-3a,得一!<。<0.

224〃+23

—3aWx:止匕時(shí)f（x）—2d—2x—3tz2—a,

有一解條件/（一3。）=15/+5。W。,一g4a<0,

/（-3?）>0

或者＜A=0,無(wú)解.

〃-3"）=15a2+5tz>0

A=4+8（3片+〃）〉0

有兩解的條件:9

1c

—>-3a

2

解得0.

所以時(shí)符合題意.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)-a<3時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

故答案為:［少］.

16.（1）a=2y/3

（2）sinC=^

3

小4n7

-18-

【分析】（1）利用同角關(guān)系可求sinA,再利用面積公式以及條件可求"c的值，最后利用余

弦定理即可；

（2）在VA5c中利用正弦定理即可；

（3）利用倍角公式計(jì)算sin2A,cos2A,再利用兩角和差的余弦公式計(jì)算.

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】（1）VABC中，由cosA=-g,得sinA=Jl-cos2A=半,

由面積為有S=；bcsinA=0,整理得bc=3,

又c—6=2,解得b=l,c=3（負(fù)值舍去）

在VABC中由余弦定理cosA=、+廠-。-==_1,可得°=2右.

2bc63

（3）因sin2A=2sinAcosA=-42,cos2A=cos2A-sin%=,

99

“n.c4.n7140y/34#一7

貝！Jcos2A+—=cos2Acos----sinzAsin—=——x—H--------x——=-----------

3929218

2V19

19

4A/57

19

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCE的法向量，計(jì)算線面所成角的正弦值即

可；

（2）利用空間坐標(biāo)求出平面ABC的法向量，計(jì)算面面所成角的余弦值即可；

（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.

【詳解】（1）平面ECDJ_平面DABC,交線為CD,過(guò)。在平面。CE內(nèi)作

故平面DABC,又因?yàn)锳DLCD,

因此以點(diǎn)。為原點(diǎn)，/%,。。,。”所在直線分別為了軸，y軸，z軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

E

由已知CE，ED,DC=4,EC=2,求得網(wǎng)0,3,⑹，

所以。（0,0,0）,A（4,0,0）,C（0,4,0）,8（4,2,0）,E（0,3,班）.

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

DE=（0,3,A/3）,因?yàn)榫?（一4,2,0）,國(guó)=（0,_1,6）,

%?BC=-4x+2y=0,

設(shè)平面BCE的法向量為n}=(%,y,z),則＜

Y\-CE=-y+A/3Z=0,

令x=JL貝(石,2代,2),

設(shè)直線DE與平面BCE所成角為4,sin*=|cosCDE,^)1=磐出=呼

1'/I卜網(wǎng)19

則直線OE與平面BCE所成角的正弦值為處.

19

(2)易知平面A3C的法向量為后=(0,0,1),

/——\||%聞2M

設(shè)平面A3C與平面BCE夾角為％，cos%=Hi*麗F

則平面ABC與平面BCE夾角的余弦值為名叵.

19

(3)因?yàn)辂?(0,2,0),

\AB-n]4國(guó)

則點(diǎn)A到平面BCE的距離為.

㈣19

18.(1)—

2

⑵橢圓方程為言+3=1,直線方程為)；=^/2x+^/10或y=-0%-

【分析】(1)根據(jù)題意可得出“。^二且二小由此求得橢圓的離心率；

2

(2)討論直線/斜率存在和不存在，設(shè)直線/為y=M%+c),聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方

程，寫出韋達(dá)定理，由此求得|MN|,1PM的表達(dá)式并進(jìn)行化簡(jiǎn)，由|尸叫=咚阿陷，整理可

求出/=±&，由此可求出直線/的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(1)依題意，而謨=也2且〃=62+02,

2

所以。2=3(?一片，又〃=々2一。2,所以3c2_片=/一。2,

整理得e=￡=1.

a2

22

(2)由(1)有"=2°2,故橢圓方程可寫成二+4=1.

2

2c2c

①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/為x=-c,顯然不成立；

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

②當(dāng)直線斜率/存在時(shí)，設(shè)直線/為y=k(x+c),設(shè)直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

M(xl,yl),N(x2,y2),MN中點(diǎn)為“,

y=k(x+c)

由方程組，29整理得(2左?+1卜2+4丘尤+2左*-2,=0

匠+廠

222

An4k2c2kc-2c2/(%2-1)(2k%kc)

勺22k2+1122k2+12k2+1I2k2+12k2+1)

由已知可得S=￥|MN|2=9VL所以|MN|=g&U,且=

\MN\=yjl+k2X一%2I=Jl+12+々)2-452="!------①，

乙K十1

①②式代入|PH|=^|MN|,整理得/=2,滿足△>(),即4=±0,

公=2代入①式pw|=g0c=g質(zhì)，求得c=君，

故橢圓方程為［+：=1,

直線方程為y=42x+y/15或y=-逝%-VI6.

-2,n=l,

19.(1)2=〃”，s,

(—2)"一233

(2)數(shù)列｛%｝為遞增的等差數(shù)列，證明見解析.

(3)存在，p=2,q=3

【分析】(1)由?！?(-2)”,分類討論求解〃及其前九項(xiàng)和S“即可；

(2)設(shè)等差數(shù)列公差為d,則d>0,討論。用<%,和%+1=%,矛盾，所以然

后證明即可；

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

(3)若優(yōu)=2〃-4e=-2,由(2)可知｛凡｝也為等差數(shù)列，且公差為4,%=*=-2,

a“=4+45-l)=4〃-6,C"=(4"-6)m，由錯(cuò)位相減法求出[，假設(shè)存在正整數(shù)

p,q(l<p<q),使得7],乙工為等差數(shù)列，求解。,4即可.

1-2""為奇數(shù)

【詳解】(1)由q=(-2)”,即?！?心';；甲丁'，當(dāng)"=1時(shí)，4=-2,當(dāng)〃>2時(shí),

[2",”為偶數(shù).

〃為偶數(shù)，公山^(一2),+(-2產(chǎn)=-2*一2,

"222

〃為奇數(shù)，且心3也==(一2r+(-2)、一一,

〃222

故"=[f(-一22,產(chǎn)，n心=i2,.

當(dāng)〃=1時(shí)，Sn=-2,

當(dāng)“22時(shí),S“=[+（%+&+…+婦=-2+谷騫=-2+；[1-（-2嚴(yán)]

1一（一夕3

所以，5?=-|-1（-2）--'

(2)若也,｝為遞增的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d>0,

所以，2M-2=%過(guò)詈包一必富

若。用<%，則M"+i=Mn,mn+l<mR,bn+1-bn<0,矛盾,

若%+1=%，則“用=%，2+1-6“=°，矛盾，所以4+1>%,

所以，｛%｝是遞增的數(shù)列.由此=a“,m“=%d=向2"+'"j“=也

所以，｛4｝是公差為2d的等差數(shù)列，因此數(shù)列｛%｝為遞增的等差數(shù)列得證.

(3)若勿=2〃-4,4=-2,由(2)可知｛4｝也為等差數(shù)列，且公差為4,

%=瓦=-2,a=a+4（n-1）=4n—6,c=（4n—6）-

nxnI

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

1_flYxl

>“"Im-（4"6>。+4x93

=-|i-（4^-6）｛|

1----1

3

若存在正整數(shù)使得4,9工成等差數(shù)列，即2々=7]+7；,

2x（T＞一+=；+即""{|?一[①，

令夕（P）=|f，。（。+1）-9（P）=/養(yǎng)-=彳孚＜。，所以。（。）單調(diào)遞減,

*）=1＞K（3）=|＜；，

所以若①式成立，則0=2,所以4=3"=3”,

類似。（P）的單調(diào)性，可得“（4）=券是單調(diào)減函數(shù)，

由于“（3）=1,

所以上面關(guān)于q的方程存在唯一解4=3.

因此存在唯一一組正整數(shù)P=2,q=3，使得工,乙工為等差數(shù)列.

20.⑴單調(diào)遞增區(qū)間為（-吟0）,函數(shù)尸（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（。,+巧，極大值1,無(wú)極小值.

（2）證明見解析

⑶IT，

【分析】（1）求尸（力，由/（1）=-'求出6=1,分別解F（x）＜0和F（x）＞0,即可求出函

數(shù)網(wǎng)x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

可得/）

（2）由（1）可得尤+lVe',令尤一1/eN*,,再由放縮法結(jié)合等比

2k2kUJ

數(shù)列的前鼠項(xiàng)和可證明;

上吟2"＞螞桓成立,

（3）將不等式轉(zhuǎn)化為證明