浙江省杭州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

杭州二中2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量共線的坐標表示可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為，，，且，則.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因為，則，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)向量與向量的夾角為，根據(jù)投影向量的定義求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因為，所以向量在向量上的投影向量為，則，所以.故選：D.4.已知正四面體的表面積為，則它的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出正面體棱長，將正四面體補成正方體，即可求出該正四面體的體積.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，則該正四面體的表面積為，可得，將正四面體補成正方體，則該正方體為棱長為，因此正四面體的體積為.故選：B.5.在中，，，其面積為，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式可得，由余弦定理得，結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】由題意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由正弦定理（為三角形外接圓半徑），可得：，故選：C.6.已知正三棱錐，，，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得正三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，再補形成正方體，進而求出外接球的體體積.【詳解】正三棱錐，，，則，即，因此正三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，以線段為棱的正方體的外接球即為正三棱錐的外接球，該球的直徑為，半徑，所以該三棱錐的外接球的體積.故選：A7.如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，，現(xiàn)將該四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后判斷出旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)，從而求得旋轉(zhuǎn)體的表面積.【詳解】在圓內(nèi)接四邊形中，，所以是四邊形外接圓直徑，所以，則，延長，過作，垂足為；過作，垂足為，則，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于，，所以四邊形是矩形，，在等腰直角三角形中，，所以，將該四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是圓臺挖掉一個圓錐，其表面積為.故選：C8.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，，，則（）A.120° B.135° C.150° D.165°【答案】A【解析】【分析】由面積公式得到，再將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式得到，利用正弦定理將角化邊得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理計算可得.【詳解】在中，，又，則，而，則，即，又，則，而，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理因此，即，則，由余弦定理，又，所以.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.以下復(fù)數(shù)運算一定成立的是（）A. B.（、均不為）C. D.【答案】ABC【解析】【分析】令，，可得出，，再利用復(fù)數(shù)運算與復(fù)數(shù)的模長公式逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，令，，則，，，所以，，，所以，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，，故，C對；對于D選項，不妨取，則，，故，D錯.故選：ABC.10.在直角坐標系中，，則以下判斷正確的是（）A.為直角三角形 B.，，，依次連起來是一個四邊形C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標公式、兩點間距離公式逐項分析判斷.【詳解】對于A，直線的斜率，直線的斜率，，即，為直角三角形，A正確；對于B，直線的斜率，點共線，B錯誤；對于C，在中，，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為的正方體中，為線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面B.存在點，使得直線與共面C.的最小值為D.若為線段上的動點，且平面，則的最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A選項；利用反證法可判斷B選項；將沿直線翻折，使其與平面共面，連接，再在中，利用余弦定理求解判斷C選項；過作于點，連接，則，從而平面，再由平面，得到平面平面，從而平面求解，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在正方體中，，，如圖1，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，A對；對于B選項，假設(shè)存在點，使得直線與共面，由A選項知，點、直線可確定平面，若直線與共面，則平面，矛盾，假設(shè)不成立，因此，不存在點，使得直線與共面，B錯；對于C選項，將沿直線翻折，使其與平面共面，記翻折后點對應(yīng)的點為，連接，如圖2，則，在中，由余弦定理可得：，即的最小值為，C錯；對于D選項，如圖3，過作于點，連接，則，平面，平面，所以平面，又平面，，，平面，所以平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.設(shè)，，則，，且，所以，當且僅當時等號成立，D對.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為______.【答案】【解析】【分析】利用圓錐的底面周長等于扇形的弧長，可求得圓錐的母線長.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于展開圖扇形的弧長，則，解得.故答案為：.13.已知O為所在平面內(nèi)一點，且點P滿足，，則_______．【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及運算律，結(jié)合向量的夾角公式計算得解.詳解】由，得，則，整理得，即，解得，而，所以.故答案為：14.復(fù)數(shù)，滿足，，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)模的意義求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義及圓的性質(zhì)求出最小值.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理得，即在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為直線，由，得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，過點作于點，線段交圓于，則為等腰直角三角形，，而表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)點的距離，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，.（1）求向量與的夾角的大小；（2）若向量滿足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）由平面向量線性運算的坐標表示可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，可得出向量的坐標，然后平面向量的模長公式可求得的值.【小問1詳解】因為，，則，因為，故.【小問2詳解】因為向量滿足，所以，解得，所以，故.16.已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，，是的中點.（1）求；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解.（2）取定基向量，表示出向量，再利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運算律求解.【小問1詳解】在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.小問2詳解】在中，，，由，得，由是的中點，得，由，得，所以.17.在某湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖所示.為考慮娛樂休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊、、、修建觀賞步道，邊修建隔離防護欄，其中，米，.（1）要使得花卉觀賞區(qū)的觀賞步道的總長度最大，、的長度分別是多少？（2）求燒烤區(qū)占地面積的最大值.【答案】（1）米（2）平方米【解析】【分析】（1）在中，應(yīng)用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用等號成立的條件可求出、的長度，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)米，則米，設(shè)，利用余弦定理、三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得燒烤區(qū)占地面積的最大值.【小問1詳解】在中，米，，由余弦定理可得，所以，，當且僅當米時，等號成立，所以，要使得花卉觀賞區(qū)的觀賞步道的總長度最大，米.【小問2詳解】設(shè)米，則米，設(shè)，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，，當且僅當時，等號成立，所以，燒烤區(qū)面積的最大值為平方米.18.如圖，三棱錐各棱長均為，側(cè)棱上的、、滿足，，線段上的點滿足平面.（1）在上，，求證：平面平面；（2）若，且，求的值；（3）求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理可證得平面，再結(jié)合已知條件與面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）過點在平面內(nèi)作交于點，連接，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出，然后在平面內(nèi)，利用平面向量的基本定理和共線向量的基本定理可求得的值；（3）分析可得，求出的面積以及點到平面的距離，利用錐體的體積公式結(jié)合基本不等式可求得三棱錐體積的最大值.【小問1詳解】如下圖所示：因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，，、平面，所以平面平面.【小問2詳解】過點在平面內(nèi)作交于點，連接，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，，、平面，所以平面平面.因為平面平面，平面平面，所以，因為為的中點，，則為的中點，因為，且正三棱錐的棱長均為，則，，，所以，，，因為，所以，，則存在，使得，即，因為、不共線，則，解得.綜上所述，.【小問3詳解】因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，設(shè)點在平面上的射影為點，則為等邊的中心，由正弦定理可得，則，所以，因為，所以，點到平面的距離，點到直線的距離為，所以，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為.19.設(shè)兩個非零向量、，，，方向逆時針旋轉(zhuǎn)到方向所成的角為.定義偽叉積：.規(guī)定零向量與任意向量的偽叉積為零.已知對任意的、、、，滿足，.（1）設(shè)，，計算和；（2）設(shè)，，求證：；（3）設(shè)四邊形有外接圓，圓心為，半徑為，對角線、相互垂直且交點為，，、交于，、分別為、的中點，求三角形的面積的最大值.【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求出的余弦值，進而可得出的正弦值，結(jié)合題中定義可求得和的值；（2）不妨設(shè)射線、分別為角、的終邊，則，設(shè)，，則，，利用題中定義結(jié)合兩角差的正弦公式化簡可證得結(jié)論成