微專題33　圓錐曲線的基本問題VIP

板塊六平面解析幾何微專題33圓錐曲線的基本問題高考定位圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題的一問的形式命題，難度相對較小.【

真題體驗

】A.1 B.2 C.4

D.5√所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故選B.√由題意可知，∠F1PF2＝90°，又直線PF2的斜率為2，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，將點A的坐標代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，－3因為|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，精準強化練熱點一圓錐曲線的定義與標準方程熱點二橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)熱點三拋物線的幾何性質(zhì)熱點突破熱點一圓錐曲線的定義與標準方程1.圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|). (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|). (3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2.求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”

所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.例1√設(shè)雙曲線的右焦點為F，連接MF，NF，√設(shè)橢圓的半焦距為c，因為點P在以線段F1A為直徑的圓上，所以AP⊥PF1.又因為F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因為|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，

求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤：雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置.規(guī)律方法訓(xùn)練1√圓C：x2＋y2＋8x＋7＝0的圓心為C(－4，0)，半徑r＝3，√(2)(2024·莆田二模)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點M在拋物線上.若點Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|MF|＋|MQ|的最小值為A.5 B.4 C.3

D.2如圖所示.由題意拋物線y2＝4x的準線為x＝－1，它與x軸的交點為D(－1，0)，焦點為F(1，0)，過點M向拋物線的準線引垂線，垂足為點N，設(shè)圓(x－3)2＋y2＝1的圓心為P(3，0)，已知圓與x軸的交點為點E，|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－|PQ|＝|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3，且|MF|＋|MQ|＝3成立的條件是M，O重合，且Q，E重合，綜上所述，|ME|＋|MQ|的最小值為3.熱點二橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)考向1離心率問題例2√√又|PF1|∈(a－c，a＋c)，∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0，考向2橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)例3√6根據(jù)題意可得A(0，b)，C(0，－b)，設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2).連接BD(圖略)，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得，點A，B，C，D均在以BD為直徑的圓E(E為BD中點)上，又原點O為圓E上的弦AC的中點，所以圓心E在AC的垂直平分線上，即圓心E在x軸上，所以y1＋y2＝0.又S△ABC＝2S△ADC，所以x1＝－2x2，所以b＝3，短軸長為6.規(guī)律方法訓(xùn)練2√√√設(shè)∠PF1F2＝θ，由題意知|PF1|＝|F1F2|＝2c，由橢圓的定義得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c.在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cosθ，即(2a－2c)2＝8c2－8c2cosθ＝8c2－a2，整理可得4c2＋8ac－5a2＝0，即4e2＋8e－5＝0，故選C.熱點三拋物線的幾何性質(zhì)

例4√過點M作MD⊥EG，垂足為D.由①②得x0＝p＝－2(舍去)或x0＝p＝2，∴拋物線C的方程是y2＝4x.(2)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，M為拋物線上的點，且MF與x軸不垂直，M在直線x＝－2上的射影為N.若△MNF的垂心在拋物線C上，則|MF|＝A.9 B.10 C.11 D.12√不妨設(shè)點M在第一象限.如圖，過點F作FQ⊥MN，垂足為Q，設(shè)線段FQ交拋物線C于點H，則H為△MNF的垂心，易知F(1，0)，將x＝1代入y2＝4x，得y＝±2，則H(1，2).即y2－8y＋12＝0.因為點M與點H不重合，則y≠2，所以y＝6，則M(9，6)，因此，|MF|＝9＋1＝10.故選B.利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來得到已知量與p的關(guān)系，靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學(xué)運算.規(guī)律方法(1)蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑(如圖1所示)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形.圖2是“東方之門”的示意圖，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，點D到直線AB的距離為150m，則此拋物線頂端O到AB的距離為訓(xùn)練3√以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，A.180m B.200m C.220m D.240m設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，由題意設(shè)D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，所以此拋物線頂端O到AB的距離為50＋150＝200(m).√(2)焦點為F的拋物線y2＝2px(p>0)上有一點P(2，2p)，O為坐標原點，則滿足|MP|＝|MO|＝|MF|的點M的坐標為將點P的坐標代入拋物線中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，則P(2，2)，所以O(shè)P的斜率為1，且OP的中點為(1，1)，則OP的垂直平分線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，|MP|＝|MO|＝|MF|，則點M為OP的垂直平分線和OF的垂直平分線的交點，【精準強化練】√1.(2024·濟南二模)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，該拋物線上一點P到x＝－2的距離為4，則|PF|＝ A.1

B.2 C.3

D.4由題意可知，拋物線C：y2＝4x的準線為x＝－1，設(shè)P(x0，y0)，x0≥0，則x0＋2＝4，解得x0＝2，所以|PF|＝x0＋1＝3.√A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；又a2＋b2＝c2，所以5a2＝5，得到a2＝1，b2＝4，√3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y>0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為由題意可知把曲線C上所有點的縱坐標縮短至原來的一半，橫坐標不變，即可得到點M的軌跡.曲線C為半圓，則點M的軌跡為橢圓(x軸上方部分)，其中長半軸長為4，短半軸長為2，故選A.√4.(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個焦點分別為(0，4)，(0，－4)，點(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為法一根據(jù)焦點坐標可知c＝4，根據(jù)焦點在y軸上，法二根據(jù)雙曲線的定義，√5.(2024·西安模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，直線PF與l相交于點Q，與y軸交于點M.若F為PQ的中點，則|PM|＝所以4＝xP＋1，所以xP＝3，6.已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，P為拋物線上一個動點，A(－1，3)，則|PF|＋|PA|的最小值為 A.3

B.4 C.5

D.6由題意可知拋物線x2＝4y的焦點坐標為F(0，1)，準線l的方程為y＝－1，√過P作PQ⊥l于Q，如圖所示，由拋物線定義可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，則當(dāng)A，P，Q三點共線時，|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|的最小值為3－(－1)＝4.設(shè)雙曲線右焦點為F2，連接AF2.√又△AFF2中，F(xiàn)O＝OF2，F(xiàn)B＝BA，則AF2∥OB，|AF2|＝2|OB|，又c2＝a2＋b2，則有4b4－9a4－9a2b2＝0，√兩邊平方并將b2＝a2－c2代入，即2e3－2e2－2e＋1＝0.構(gòu)造函數(shù)f(x)＝2x3－2x2－2x＋1，0<x<1，f′(x)＝6x2－4x－2＝2(3x2－2x－1)＝2(3x＋1)(x－1)，9.(2024·泉州調(diào)研)已知橢圓C：3x2＋4y2＝48的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上任意一點，則√√易知△PF1F2的周長為|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋4＝12，故B正確；當(dāng)P在橢圓長軸的一個端點時，|PF1|取得最小值，最小值為a－c＝4－2＝2，故C錯誤；當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時取等，則|PF1|·|PF2|取得最大值16，故D正確.√√且直線與x軸的交點為(1，0)，所以拋物線C的焦點坐標為(1，0)，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，對于C，設(shè)MN的中點A，M，N，A到直線l的距離分別為d1，d2，d，即A到直線l的距離等于MN的一半，所以MN為直徑的圓與直線l相切，C正確；√√√對于A，由雙曲線方程得a＝1，b＝，故c＝2，則離心率e＝2，故A錯誤；對于B，由A知F2(2，0)，則直線l的方程為y＝2(x－2)，消去y，得x2－16x＋19＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，對于C，根據(jù)雙曲線定義得|MF1|－|MF2|＝2，由余弦定理的推論可得可得|MF1|·|MF2|＝12，對于D，當(dāng)直線MN⊥x軸時，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1為等腰三角形；當(dāng)MN不與x軸垂直時，根據(jù)雙曲線定義得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，兩式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，①若|MF1|＝|MN|，則|NF1|＝4，此時△MNF1為等腰三角形；②若|NF1|＝|MN|，則|MF1