2025屆浙江省天域全國名校協(xié)作體高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省天域全國名校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，又因?yàn)榧?，則.故選：B.2.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)是偶函數(shù).故選：D.3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄繚M足，所以，解得，所以在方向上的投影向量是，故選：D4.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，由函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以在區(qū)間上恒成立，又與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則，故“”是“”的充分條件，反之，若，當(dāng)時(shí)，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，，，，解得：，，故選：D．6.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，共種走法，若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，共，所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為.故選：C7.正四棱臺(tái)側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺(tái)的外接球表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，，，設(shè)為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側(cè)棱長為，則，又易知，設(shè)，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.8.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，則，設(shè)，，則，又，得到，所以，又，則，，同理可得，因?yàn)?，所以，整理并化簡得到，又因?yàn)?，將代入，并化簡得，所以，整理得到，所以故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量，若，則C.樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則D.，，，和，，，的方差分別為和，若且，則【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A，將數(shù)據(jù)從小排到大得到，又，數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，由題知，得到，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，設(shè)，，，的平均數(shù)為，，，，的平均數(shù)為，因?yàn)?，則，又，所以，故選D錯(cuò)誤，故選：BC.10.已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根，且這n個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)將單位圓n等分.下列復(fù)數(shù)是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.【答案】ACD【解析】由題意得，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)根，根據(jù)三角函數(shù)定義得這個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，∴在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.A.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，A正確.B.，由得，不是整數(shù)，B錯(cuò)誤.C.，由得，符合要求，C正確.D.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.是的極大值B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且D.若存在極小值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，令，得到或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為，當(dāng)時(shí)，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，當(dāng)時(shí)，令，得到或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為，綜上，是的極大值，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋蛇x項(xiàng)A知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)A知，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，，，由零點(diǎn)存在性原理知，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)榇嬖跇O小值點(diǎn)，由選項(xiàng)A知，，得到，因?yàn)?，則，整理得到，即，又，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．【答案】【解析】，即，直線方程，直線與圓相交，則，解得．故答案為：．13.若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的a為_______.【答案】1【解析】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以a無解；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有1個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上得符合條件的為1．故答案為：1．14.若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)，，，令，則，又易知，點(diǎn)在圓上，如圖所示，則，又，故的最大值為，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得所以，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正切值．（1）證明：延長交于點(diǎn)，連接，，，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的重心，、、三點(diǎn)共線，且，，又側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面；（2）解：在側(cè)面內(nèi)，過作，垂足為，側(cè)面底面，，側(cè)面，底面，因?yàn)榈酌?，所以，又?cè)棱與底面成的角，，，，，在底面內(nèi)，過作交的延長線于點(diǎn)，連接，，平面，平面，又平面，，平面與底面的交線為，為所求二面角的平面角，，，，在中，，故平面與底面成銳二面角的正切值為．16.已知，，，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線與它垂直，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1）由題意得，函數(shù)定義域?yàn)?∵，∴.若，則，在上單調(diào)遞減.若，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為，曲線上的任意一點(diǎn)處的切線斜率為.由題意得，對任意的，總存在，使得等式成立，將等式變形為，則函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.由得，，故函數(shù)的值域?yàn)?，?∵，∴，解得或，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是.17.在列聯(lián)表（表一）的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，其中為第i行第j列的實(shí)際頻數(shù)，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數(shù)，為第i行第j列的理論頻數(shù)，如.abcd10203040（表一）（表二）（1）求表二列聯(lián)表值；（2）求證：題干中與課本公式等價(jià)，其中.（1）解：由題意得，所以；（2）證明：列聯(lián)表如下：abcd則，所以同理所以18.已知拋物線，為的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線是上兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過作，垂足為D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.（1）求C的方程；（2）在C上是否存在點(diǎn)，使得過F的任意直線交C于S，T兩點(diǎn)，交l于M，直線的斜率均成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）由題意可得：，所以，所以直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程消去得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，解得：，所以拋物線方程為：（2）由（1）得，假設(shè)存在滿足題意，過點(diǎn)得動(dòng)直線方程為，聯(lián)立，解得則，設(shè)，聯(lián)立，消去得：，所以，直線得斜率為，直線得斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率均成等差數(shù)列，所以，整理得：，對任意恒成立，所以，解得：或，此時(shí)，即存在或滿足題意；19.已知N為偶數(shù)，給定數(shù)列，，…，，記為，對作如下變換：①將中的奇數(shù)項(xiàng)取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的前項(xiàng)；②將中的偶數(shù)項(xiàng)取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的第項(xiàng)到第N項(xiàng).稱上述操作為T變換，構(gòu)成的新數(shù)列為，記，定義為操作k次后得到的新數(shù)列，即，，其中表示數(shù)列中的第i項(xiàng).（1）若，求，，；（2）令，，其中數(shù)列的各項(xiàng)互不相同，記，規(guī)定為集合C的元素個(gè)數(shù)：（i）求；（ii）求不超過10的最大正整數(shù)m，滿足.解：（1），，；（2）（i）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；記滿足，若，則，有當(dāng)時(shí)，；，為以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，，此時(shí)有，可知，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)有，因此為周期數(shù)列，；（ii）因?yàn)?，若，則不斷操作下去，有，且對于任意，要么，要么，于是有，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，不超過10的最大正整數(shù)，此時(shí)，，以此類推，符合條件.浙江省天域全國名校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，又因?yàn)榧?，則.故選：B.2.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)是偶函數(shù).故選：D.3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄繚M足，所以，解得，所以在方向上的投影向量是，故選：D4.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，由函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以在區(qū)間上恒成立，又與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則，故“”是“”的充分條件，反之，若，當(dāng)時(shí)，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，，，，解得：，，故選：D．6.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，共種走法，若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，共，所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為.故選：C7.正四棱臺(tái)側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺(tái)的外接球表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，，，設(shè)為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側(cè)棱長為，則，又易知，設(shè)，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.8.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，則，設(shè)，，則，又，得到，所以，又，則，，同理可得，因?yàn)?，所以，整理并化簡得到，又因?yàn)椋瑢⒋?，并化簡得，所以，整理得到，所以故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量，若，則C.樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則D.，，，和，，，的方差分別為和，若且，則【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A，將數(shù)據(jù)從小排到大得到，又，數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑒t，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，由題知，得到，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，設(shè)，，，的平均數(shù)為，，，，的平均數(shù)為，因?yàn)?，則，又，所以，故選D錯(cuò)誤，故選：BC.10.已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根，且這n個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)將單位圓n等分.下列復(fù)數(shù)是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.【答案】ACD【解析】由題意得，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)根，根據(jù)三角函數(shù)定義得這個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，∴在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.A.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，A正確.B.，由得，不是整數(shù)，B錯(cuò)誤.C.，由得，符合要求，C正確.D.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.是的極大值B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且D.若存在極小值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，令，得到或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為，當(dāng)時(shí)，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，當(dāng)時(shí)，令，得到或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為，綜上，是的極大值，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，由選項(xiàng)A知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)A知，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，，，由零點(diǎn)存在性原理知，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)榇嬖跇O小值點(diǎn)，由選項(xiàng)A知，，得到，因?yàn)?，則，整理得到，即，又，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．【答案】【解析】，即，直線方程，直線與圓相交，則，解得．故答案為：．13.若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的a為_______.【答案】1【解析】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以a無解；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有1個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上得符合條件的為1．故答案為：1．14.若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】因?yàn)椋O(shè)，，，令，則，又易知，點(diǎn)在圓上，如圖所示，則，又，故的最大值為，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得所以，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正切值．（1）證明：延長交于點(diǎn)，連接，，，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的重心，、、三點(diǎn)共線，且，，又側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面；（2）解：在側(cè)面內(nèi)，過作，垂足為，側(cè)面底面，，側(cè)面，底面，因?yàn)榈酌?，所以，又?cè)棱與底面成的角，，，，，在底面內(nèi)，過作交的延長線于點(diǎn)，連接，，平面，平面，又平面，，平面與底面的交線為，為所求二面角的平面角，，，，在中，，故平面與底面成銳二面角的正切值為．16.已知，，，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線與它垂直，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1）由題意得，函數(shù)定義域?yàn)?∵，∴.若，則，在上單調(diào)遞減.若，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為，曲線上的任意一點(diǎn)處的切線斜率為.由題意得，對任意的，總存在，使得等式成立，將等式變形為，則函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.由得，，故函數(shù)的值域?yàn)?，?∵，∴，解得或，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是.17.在列聯(lián)表（表一）的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，其中為第i行第j列的實(shí)際頻數(shù)，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數(shù)，為第i行第j列的理論頻數(shù)，如.abcd10203