湖南省汨羅市第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）VIP

湖南省汨羅市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）．A． B． C． D．22．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則（

）A．50 B．100 C．400 D．5004．甲、乙兩人計(jì)劃分別從“圍棋”，“籃球”，“書(shū)法”三門(mén)興趣班中至少選擇一門(mén)報(bào)名學(xué)習(xí)，若甲只選一門(mén)，且甲乙不選擇同一門(mén)興趣班，則不同的報(bào)名學(xué)習(xí)方式有（

）A．3種 B．6種 C．9種 D．12種5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；B．若事件相互獨(dú)立，，則；C．對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，利用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是；D．若決定系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng).6．在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為在軸上的射影，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B．1 C． D．8．已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．的最大值為10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．精確到0.01的近似值為0.85D．除以15的余數(shù)為311．如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B．的弦長(zhǎng)最大值大于C．直線(xiàn)被截得弦長(zhǎng)的最大值為D．的面積小于三、填空題（本大題共3小題）12．命題.寫(xiě)出該命題的否定．13．已知，則.14．已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題）15．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列的公差不為零，且數(shù)列滿(mǎn)足：，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：；16．如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．17．甲、乙、丙三人組隊(duì)參加某知識(shí)問(wèn)答團(tuán)體比賽．該比賽共分兩輪，第一輪回答錯(cuò)誤就直接出局，兩輪都回答正確稱(chēng)為“通關(guān)”，小組三人中至少有2人“通關(guān)”就可獲得“團(tuán)體獎(jiǎng)”．根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練和測(cè)試可知，甲、乙、丙分別正確回答兩輪比賽的概率情況如下表：甲乙丙第一輪回答正確的概率第二輪回答正確的概率若三人各自比賽時(shí)互不影響．（1）求甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率；（2）在該三人小組獲得“團(tuán)體獎(jiǎng)”的條件下，求甲乙丙同時(shí)通關(guān)的概率．18．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且，，求k的值.19．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為，線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，若的面積是的6倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)S，當(dāng)最大時(shí)，求直線(xiàn)方程．20．近年來(lái)，寵物逐漸成為人們的精神寄托，在供需端及資本的共同推動(dòng)下中國(guó)寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)迅速增長(zhǎng)，數(shù)據(jù)顯示，目前中國(guó)養(yǎng)寵戶(hù)數(shù)在全國(guó)戶(hù)數(shù)中占比為．（1）把頻率作為概率，從中國(guó)家庭中隨機(jī)取4戶(hù)，求這4戶(hù)中至少有3戶(hù)養(yǎng)寵物的概率；（2）隨機(jī)抽取200名成年人，得到如下列聯(lián)表：成年男性成年女性合計(jì)養(yǎng)寵物386098不養(yǎng)寵物6240102合計(jì)100100200是否有的把握認(rèn)為是否養(yǎng)寵物與性別有關(guān)？（3）記2018-2023年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，6，中國(guó)寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)年規(guī)模為（單位：億元），由這6年中國(guó)寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)年規(guī)模數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，且．求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值．參考公式：，其中，時(shí)有99%的把握認(rèn)為變量有關(guān)聯(lián)．回歸方程，其中，，相關(guān)系數(shù)，若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的相關(guān)性．

參考答案1．【答案】A【詳解】由，，得．故選A．2．【答案】B【詳解】對(duì)于A，，是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于B，，是冪函數(shù)，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于C，，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，，其定義域?yàn)?，既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意．故選B．3．【答案】D【詳解】，故選D4．【答案】C【詳解】由題意得，甲只選一門(mén)，有種選法，乙可以選一門(mén)或者選兩門(mén)，有種選法，故不同的報(bào)名學(xué)習(xí)方式有種，故選C．5．【答案】B【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，均值，正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，，，由對(duì)稱(chēng)性知，，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若事件相互獨(dú)立，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，將代入中得，，解得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，決定系數(shù)越大，回歸模型的擬合效果越好，兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故D正確.故選B.6．【答案】B【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以此時(shí)最大，此時(shí)，所以的最大值為.故選B.【思路導(dǎo)引】假設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并計(jì)算出函數(shù)最大值，結(jié)合題目條件得到，從而計(jì)算出的最大值.7．【答案】D【詳解】令，則，故選D.8．【答案】A【詳解】的定義域?yàn)?，，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由，所以，即，由于，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選A9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，由，解得，所以，故A正確．，故B正確．由，解得或，所以或，故C錯(cuò)誤．，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以的最大值為，故D正確．故選ABD10．【答案】AC【詳解】在中，令，則，故A正確；因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；，取展開(kāi)式前3項(xiàng)，則精確到0.01的近似值為．故C正確；，其中，所以能被15整除，所以除以15的余數(shù)為1，故D錯(cuò)誤．故選AC．11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：有.設(shè)，則，由.由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以存在，使得，另.所以曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)的交點(diǎn)為，左側(cè)的交點(diǎn)為，則，所以，結(jié)合圖象可得，的弦長(zhǎng)最大值小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，設(shè)為曲線(xiàn)的切線(xiàn)，由，所以切點(diǎn)為，所以切線(xiàn)方程為.直線(xiàn)與的距離為.所以直線(xiàn)被截得弦長(zhǎng)的最大值為，即.故C正確；對(duì)于D：由，所以B中.過(guò)點(diǎn)做的切線(xiàn)，再做該切線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)，過(guò)，做切線(xiàn)的垂線(xiàn)，與兩切線(xiàn)分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.又，所以矩形的面積為.所以D正確.故選ACD.12．【答案】，使得【詳解】命題，則該命題的否定是：，使得.13．【答案】【詳解】.14．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以令函?shù)，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且由題干可知，，即，若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，恒成立，故.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值，所以；綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．【答案】(1)或;(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和得出，再結(jié)合單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意：成等比數(shù)列，所以，解得：或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差不為零，由（1）知?jiǎng)t所以，故而隨n的增大而增大，則，故成立.【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，可以消去一部分，從而計(jì)算和的方法，適用于通項(xiàng)為1an·an+1常見(jiàn)的拆項(xiàng)方法：①12n?12n+1＝②1nn+1n+2＝12[③1nn+k＝④kanan?1an+116．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉橹睆?，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，?。O(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）記事件“甲通關(guān)”、“乙通關(guān)”、“丙通關(guān)”，則，.甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的對(duì)立事件為甲、乙兩人都不“通關(guān)”，所以,甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率等于.故甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率為.（2）由題意得.事件“三人小組獲得團(tuán)體獎(jiǎng)”，則.甲乙丙同時(shí)通關(guān)的概率.所以.故該三人小組獲得“團(tuán)體獎(jiǎng)”的條件下，甲乙丙同時(shí)通關(guān)的概率為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：，.由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓.可設(shè)方程為，則，，解得，則，故曲線(xiàn)的方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去，整理可得.則.設(shè)，，的中點(diǎn)為，則由韋達(dá)定理可知：，.，.∵，，則，如圖所示.又，則，即，解得.19．【答案】（1）（2）或（3）【詳解】（1）由題意，，則，橢圓方程為：（2）如圖，設(shè)，則，對(duì)，令，所以由相似三角形可得：，所以，又