北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)文）

北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的定義域為$D$，則$D$的取值范圍是（）A.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-\infty,2]$D.$[2,+\infty)$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=36$，則$a_6$的值為（）A.6B.7C.8D.93.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極小值，則$a$，$b$，$c$之間的關(guān)系是（）A.$a>0$，$b=0$，$c>0$B.$a>0$，$b\neq0$，$c>0$C.$a<0$，$b=0$，$c<0$D.$a<0$，$b\neq0$，$c<0$4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，則$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積為（）A.7B.5C.4D.35.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增的是（）A.$f(x)+1$B.$f(x)-1$C.$f(x)\cdot2$D.$f(x)\div2$6.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則數(shù)列的前5項之和為（）A.62B.63C.64D.657.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$的圖像關(guān)于點$(0,0)$對稱，則函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.$(-1,+\infty)$B.$(-\infty,-1)$C.$(-1,0)$D.$(0,+\infty)$8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=32$，$S_8=256$，則$a_6$的值為（）A.2B.4C.8D.169.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的圖像與直線$y=x$相交于點$(1,1)$，則函數(shù)$f(x)$的零點為（）A.1B.2C.-1D.-210.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角余弦值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{5}{6}$二、填空題要求：本大題共5小題，每小題6分，共30分。11.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_4=8$，$a_8=24$，則$a_1=$______。12.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像關(guān)于點$(1,2)$對稱，則函數(shù)$f(x)$的對稱中心為______。13.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，則$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積為______。14.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，則數(shù)列的前5項之和為______。15.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$的圖像與直線$y=x$相交于點$(1,1)$，則函數(shù)$f(x)$的零點為______。三、解答題要求：本大題共4小題，共20分。16.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極小值，求$a$，$b$，$c$之間的關(guān)系。17.（本小題滿分10分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，求$\vec{a}$與$\vec$的夾角余弦值。四、解答題要求：本大題共4小題，共20分。18.（本小題滿分10分）已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_5=16$，$a_8=256$，求等比數(shù)列的前6項和$S_6$。19.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)的圖像的漸近線。五、解答題要求：本大題共4小題，共20分。20.（本小題滿分10分）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-3^n$，求數(shù)列的前4項和$S_4$。21.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。六、解答題要求：本大題共4小題，共20分。22.（本小題滿分10分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，求向量$\vec{a}$與向量$\vec$的叉積$\vec{a}\times\vec$。23.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的定義域為使得根號內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)的$x$的取值范圍，即$4-x^2\geq0$，解得$-2\leqx\leq2$，因此定義域$D$為$[-2,2]$。2.C解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_5=15$和$S_8=36$，得到兩個方程：$$\begin{cases}15=\frac{5}{2}(2a_1+4d)\\36=\frac{8}{2}(2a_1+7d)\end{cases}$$解這個方程組得到$a_1=1$，$d=2$，因此$a_6=a_1+5d=1+5\times2=11$。3.A解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極小值，則其一階導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2ax+b$在$x=1$時為0，即$2a+b=0$。由于在$x=1$處取得極小值，二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=2a$在$x=1$時大于0，即$a>0$。因此，$a>0$，$b=0$，$c>0$。4.D解析：向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$的數(shù)量積為$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+3\times2=2+6=8$。5.A解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，因此$f(x)+1$、$f(x)-1$、$f(x)\cdot2$、$f(x)\div2$的單調(diào)性分別為單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)遞減、單調(diào)遞增。6.C解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前5項分別為$a_1=3^1-2^1=1$，$a_2=3^2-2^2=5$，$a_3=3^3-2^3=7$，$a_4=3^4-2^4=15$，$a_5=3^5-2^5=31$，因此前5項之和為$1+5+7+15+31=59$。7.D解析：函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$的圖像關(guān)于點$(0,0)$對稱，說明函數(shù)在$x=-1$時取得零點，即$f(-1)=\ln(0)$，這在數(shù)學(xué)上是未定義的，但根據(jù)對稱性，$f(x)$在$x=1$時也取得零點，即$f(1)=\ln(2)$。8.D解析：等比數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入$S_5=32$和$S_8=256$，得到兩個方程：$$\begin{cases}32=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}\\256=\frac{a_1(1-q^8)}{1-q}\end{cases}$$解這個方程組得到$q=2$，因此$a_6=a_1q^5=2^5=32$。9.A解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$可以簡化為$f(x)=x+1$（在$x\neq1$時），因此$f(x)$的零點為$x=-1$。10.C解析：向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$的夾角余弦值為$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{2\times1+3\times2}{\sqrt{2^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{8}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{4}{5}$。二、填空題11.1解析：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得到$a_4=a_1+3d=8$，$a_8=a_1+7d=24$，解得$a_1=1$。12.(1,2)解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像關(guān)于點$(1,2)$對稱，意味著$f(2-x)=f(x)$，代入$x=1$得到$f(1)=f(1)$，因此對稱中心為$(1,2)$。13.8解析：向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$的數(shù)量積為$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+3\times2=2+6=8$。14.59解析：見選擇題第6題解析。15.-1解析：見選擇題第9題解析。三、解答題16.解析：由$f'(x)=2ax+b=0$得到$x=-\frac{2a}$，由于$f(x)$在$x=1$時取得極小值，因此$f''(x)=2a>0$，所以$a>0$。結(jié)合$f'(1)=0$得到$b=-2a$，因此$a>0$，$b=-2a$。17.解析：向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$的夾角余弦值為$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{2\times1+3\times2}{\sqrt{2^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{8}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{4}{5}$。四、解答題18.解析：由$a_5=16$和$a_8=256$得到$a_1q^4=16$，$a_1q^7=256$，解得$q=2$，$a_1=1$，因此$S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{1(1-2^6)}{1-2}=63$。19.解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$可以簡化為$f(x)=x+2$（在$x\neq2$時），因此水平漸近線為$y=x+2$。五、解答題20.解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前4項分別為$a_1=2^1-3^1=-1$，$a_2=2^2-3^2=-5$，$a_3=2^3-3^3=-7$，$a_4=2^