江西省南昌市江西科技學(xué)院附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁江科附中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)試卷卷面分?jǐn)?shù)：150分考試時(shí)間：120分種一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法正確的是（）A.若，則 B.長度相等的向量叫相等向量C.零向量的長度是0 D.共線向量一定是在同一條直線上的向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯(cuò)誤；B：長度相等的向量方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；C：根據(jù)零向量的定義可判斷C正確；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可在相互平行的直線上，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故選：A3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，因此，.故選：C.4.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求，結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示列方程可得，化簡求，再結(jié)合二倍角正切公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，，所以，若，則，與矛盾，故，所以，所以，故選：D.5.非零向量，滿足：，，則與夾角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積將已知條件化簡可得，再利用向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，①又因?yàn)?，所以，即，將①代入得，，設(shè)與夾角為，所以，因?yàn)?，所?故選：B.6.如圖，在中，與CE的交點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論及平面向量基本定理，將、向量都用、表示，進(jìn)而得到，再利用邊的關(guān)系得到面積比例即可.【詳解】因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，消可解得，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B.7.記的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上的中線長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理、三角恒等變換等知識化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理、向量運(yùn)算、基本不等式等知識來求得正確答案.【詳解】由，得，所以，即，則由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，因?yàn)?，所以由余弦定理得，?由題可得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，則，所以邊上的中線長度的最小值為.故選：C.8.已知平面向量、、滿足：與的夾角為銳角.，，，且的最小值為，向量的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知的最小值為，用含的式子表示，利用二次函數(shù)最小值的表示方式，表示其最小值讓其等于構(gòu)建方程，解得，由與的夾角為銳角，舍掉負(fù)值，代入原二次函數(shù)對稱軸的表達(dá)式中，解得；表示，展開（設(shè)），將已知模長代入展開式，可化簡為，利用三角函數(shù)的值域，即可得答案.【詳解】由題，因?yàn)?，，所以，因最小值為，且由二次函?shù)分析可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得，又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，故；因?yàn)?，又有，將模長代入，設(shè)，即原式，因?yàn)?，所?因此，的最大值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.設(shè)為非零向量，若，則B.若，則或C.設(shè)為非零向量，則D.若點(diǎn)為的重心，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷A；根據(jù)模的定義及向量共線的概念即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則即可判斷C；根據(jù)向量線性運(yùn)算及重心的性質(zhì)即可判斷D．【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，表示是的2倍，或表示與共線，且是的2倍，故B錯(cuò)；對于C，，，所以與不一定相等，故C錯(cuò)誤；對于D，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則，即，所以，故D正確；故選：AD．10.已知的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則有一解B.若，則無解C.若，則有一解D.若，則有兩解【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理求解三角形的邊或角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系，一一判斷各選項(xiàng)中三角形解的情況，即得答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，則是邊長為2的等邊三角形，有一解，故A正確；B選項(xiàng)，若，由正弦定理得，即，解得，無解，故B正確；C選項(xiàng)，若，由大邊對大角可知，此時(shí)三角形中有2個(gè)鈍角，不可能，則無解，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，由正弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所以或，所以有兩解，D正確.故選：ABD.11.如圖，已知圓的內(nèi)接四邊形中，，，.下列說法正確的是（）A.四邊形的面積為B.該外接圓的直徑為C.D.過作交于點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)及余弦定理求出，，進(jìn)而求出，利用面積公式進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，由正弦定理求出外接圓直徑；C選項(xiàng)，作出輔助線，利用數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)和C選項(xiàng)中的結(jié)論，先求出∠DOF的正弦與余弦值，再利用向量數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】對于A，連接，在中，，在中，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四邊形的面積為，故A正確；對于B，設(shè)外接圓半徑為，則，故該外接圓的直徑為，半徑為，故B錯(cuò)誤；對于C，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)，則由垂徑定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影長為1，且與反向，故，故C正確；對于D，由C選項(xiàng)可知：，故，且，因?yàn)?，由對稱性可知：為的平分線，故，由A選項(xiàng)可知：，顯然為銳角，故，，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______．【答案】【解析】【分析】由，展開，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.詳解】，故答案為：13.已知點(diǎn)O為外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量為．則的值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)判斷出，，三點(diǎn)共線，再結(jié)合外心的性質(zhì)得到的形狀，最后根據(jù)投影向量的定義求出的值.【詳解】已知，將其變形可得，即.根據(jù)向量共線定理，可知與共線，所以，，三點(diǎn)共線.因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，則，所以，即是直角三角形.

根據(jù)投影向量的定義求的值，，可得，即，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?的值為.故答案為：14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值＝______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意求出角的大小，再結(jié)合角平分線的長度得到的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求出的最小值【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，故，則的面積為，即即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，，，且，．（1）若//，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量平行以及其模長，列出方程組，求解即可；（2）求得與的坐標(biāo)，結(jié)合其數(shù)量積為正數(shù)，且不共線，進(jìn)而求得的范圍.【小問1詳解】設(shè)，，，，即；又，，解得或或．【小問2詳解】由題可知，，，與的夾角是銳角，，解得，又與不共線，，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及對稱軸、對稱中心；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），對稱軸為，，對稱中心為，（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)的值域，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，即，所以的最小正周期，令，，解得，，故對稱軸，；令，，解得，，故對稱中心為，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，即?shí)數(shù)m的取值范圍為．17.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由三角變換公式可得，從而可求的值.（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，結(jié)合的范圍可求其取值范圍，從而可求的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以.【小問2詳解】由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，，因，則，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，則，，故.18.如圖所示，在中，D為BC邊上一點(diǎn).過D點(diǎn)的直線EF與直線AB相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于F點(diǎn)（E，F(xiàn)兩點(diǎn)不重合）.（1）若，（ⅰ）用，表示；（ⅱ）若，，求的值.（2）若，，P是線段AD上任意一點(diǎn)，求最大值.【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）向量的線性表示，利用三角形法則及題所給條件即可得；根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系即可求解（ⅱ）；（2）利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】（ⅰ）在中，由，又，所以，所以,（ⅱ）因?yàn)椋?，，所以，，所以，又三點(diǎn)共線，且在線外，所以有：，即.【小問2詳解】由于，故是的中點(diǎn)，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故最大值為2，19.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，滿足，.（1）求；（2）若為銳角三角形，且外接圓圓心為，（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┣蠛兔娣e之差的最大值.【答案】（1）2（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由正弦定理及輔助角公式求解即可；（2）（?。└鶕?jù)平面向量的運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)及余弦定理可得，再利用正