內(nèi)蒙古包頭市第九十三中學(xué)（北重三中）2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某物體的運(yùn)動(dòng)路程（單位：），時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系，求在時(shí)的瞬時(shí)速度（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，求出，從而求出時(shí)的瞬時(shí)速度.【詳解】，故時(shí)，，故在時(shí)的瞬時(shí)速度為5.故選：B2.已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，不等式對(duì)任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，不等式對(duì)任意的恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的期望和概率性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，解得，所以.故選：B.4.若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為可得，利用通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】∵展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，∴，故，∴展開(kāi)式的第項(xiàng)為，由得，∴，即含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.已知一道解答題共有兩小問(wèn)，小李有0.6的概率可以解答出第一問(wèn)．在第一問(wèn)解答不出的情況下，解答出第二問(wèn)的概率為0.1，第一問(wèn)解答出來(lái)的情況下，第二問(wèn)解答不出來(lái)的概率為0.7，則解答出第二問(wèn)的概率為（）A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.04【答案】B【解析】【分析】令表示第一問(wèn)解答出來(lái)，表示第二問(wèn)解答出來(lái)，應(yīng)用對(duì)立事件的概率求法得、，再應(yīng)用全概率公式求解答出第二問(wèn)的概率.【詳解】令表示第一問(wèn)解答出來(lái)，表示第二問(wèn)解答出來(lái)，則，，，故，，所以.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)的正負(fù)性排除B、D，再根據(jù)其單調(diào)性排除C.【詳解】或時(shí)；時(shí)，排除B、D；，則，得；得或，故在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，排除C.故選：A7.某校新聞社團(tuán)負(fù)責(zé)報(bào)道采訪本校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，社團(tuán)派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠(yuǎn)、短跑三個(gè)比賽場(chǎng)地進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，且每個(gè)場(chǎng)地至少安排一人，則甲不在短跑場(chǎng)地的不同安排的方法數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】【分析】由題意，分甲單獨(dú)與組隊(duì)兩種情況，利用特殊元素優(yōu)先法以及分組分配的思想，可得答案.【詳解】當(dāng)甲單獨(dú)一人進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道時(shí)，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個(gè)地方，情況數(shù)為，則此時(shí)總的情況數(shù)為；當(dāng)甲與人組隊(duì)進(jìn)項(xiàng)現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道時(shí)，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊(duì)，則情況數(shù)為，再在跳高、跳遠(yuǎn)選一個(gè)去進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，則情況數(shù)，最后剩下的兩人安排去其他兩個(gè)地方，則情況數(shù)為，所以此時(shí)總的情況數(shù)為；綜上，符合題意的情況數(shù)為.故選：C.8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性奇偶性轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】顯然函數(shù)是上的增函數(shù)，也是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪?，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.投資股票甲的期望收益較大 D.投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高【答案】ACD【解析】【分析】計(jì)算期望以及方差，從而由期望和方差的意義判斷CD，由方差和期望的性質(zhì)判斷AB.【詳解】，，，，則投資股票甲的期望收益較大，投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高.，．故選：ACD10.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法即可逐一求解.【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯(cuò)誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯(cuò)誤，故選：AC11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.若關(guān)于的方程有一解，則C.若在上有極小值，則D.若在上有最大值3，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，令，求出極值點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，判斷A；根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值畫(huà)出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，，令，則，且，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，畫(huà)出簡(jiǎn)圖為結(jié)合圖象知，有一解則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，結(jié)合圖象，為極小值點(diǎn)，所以在上有極小值，則，故C正確；對(duì)于D，令，則或，結(jié)合圖象知，在上有最大值3，則，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某地開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以黨支部為單位參加比賽，某黨支部在5道黨史題中（包含3道選擇題和2道填空題）不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則______．【答案】##【解析】【分析】方法一采用條件概率的公式，分別算出和；方法二是樣本點(diǎn)數(shù)法，分別算出和；方法三是縮小樣本空間法，第1次抽到選擇題后，其樣本空間有4個(gè)樣本點(diǎn)，滿足事件的樣本點(diǎn)有2個(gè)，由此可求得答案.【詳解】方法一：公式法，，由條件概率公式可得．方法二：樣本點(diǎn)數(shù)法不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，樣本空間有個(gè)樣本點(diǎn)，則，所以．方法三：縮小樣本空間法第1次抽到選擇題后，第二次再抽一道題，其樣本空間有4個(gè)樣本點(diǎn)，滿足事件的樣本點(diǎn)有2個(gè)，所以．故答案為：.13.若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則__________.【答案】6【解析】【分析】若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)相等且切線的斜率（切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值）均相等，由此構(gòu)造關(guān)于，的方程，解方程可得答案．【詳解】，，曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，且即，故答案為：614.如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】96【解析】【詳解】試題分析：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法（此前三步已經(jīng)用去三種顏色）；第四步：涂區(qū)域3，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類(lèi)，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法．所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×（1×1+1×3）=96.考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處為0，得到，在驗(yàn)證在左右兩邊導(dǎo)函數(shù)異號(hào)，即可的結(jié)論；（2）由（1）中結(jié)論得到導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于0，求得函數(shù)的增區(qū)間，從而得到函數(shù)的減區(qū)間，由此知道函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性求出最大值與最小值.【小問(wèn)1詳解】，∵函數(shù)在處取得極值，∴，即，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，令，解得或；令，解得；∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值，而，.故函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，，.16.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客當(dāng)日消費(fèi)金額達(dá)366元及以上的均可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有2個(gè)紅球，8個(gè)白球的箱子中一次性取出2個(gè)小球，若取出2個(gè)紅球，得200元本商場(chǎng)購(gòu)物券；若取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，得80元本商場(chǎng)購(gòu)物券；若取出2個(gè)白球，得10元本商場(chǎng)購(gòu)物券.（1）求顧客抽一次獎(jiǎng)獲得購(gòu)物券金額的分布列；（2）為吸引更多的顧客，現(xiàn)在有兩種改進(jìn)方案，甲方案：在原方案上加一個(gè)紅球和一個(gè)白球，其他不變.乙方案：在原方案的購(gòu)物券上各加10元，其他不變；若你是顧客，你希望采用哪種方案.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）顧客希望采用方案乙【解析】【分析】（1）設(shè)獲得購(gòu)物券的金額為，先求得各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到其分布列；（2）分別求得甲乙兩方案顧客所得購(gòu)物券金額的數(shù)學(xué)期望，對(duì)二者進(jìn)行大小比較，選擇數(shù)學(xué)期望較大者即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)獲得購(gòu)物券的金額為，則可以取200，80，10，，，.的分布列為：2008010【小問(wèn)2詳解】方案甲，設(shè)獲得購(gòu)物券的金額為，則可以取200，80，10，，，.則.方案乙，設(shè)獲得購(gòu)物券的金額為，.因，所以顧客希望采用方案乙.17.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：元）與日產(chǎn)量（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷(xiāo)售額R（單位：元）與日產(chǎn)量滿足函數(shù)關(guān)系式：，已知每日的利潤(rùn)，且當(dāng)時(shí)．（1）求的值；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值．【答案】（1）（2）當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時(shí)每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值14300元【解析】【分析】（1）由題意列出利潤(rùn)y與日產(chǎn)量滿足函數(shù)關(guān)系式，由當(dāng)時(shí)，求出的值；（2）由利潤(rùn)y與日產(chǎn)量滿足函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求出最大值及取最大值的條件.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，因?yàn)闀r(shí)，所以．解得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，由可得：，（舍）所以當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值14300．當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時(shí)每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值14300元．18.某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵(lì)農(nóng)戶(hù)利用荒坡種植果樹(shù).某農(nóng)戶(hù)考察三種不同的果樹(shù)苗A?B?C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹(shù)苗A的自然成活率為，引種樹(shù)苗B?C的自然成活率均為.（1）任取樹(shù)苗A?B?C各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時(shí)的值作為種樹(shù)苗自然成活的概率.該農(nóng)戶(hù)決定引種棵種樹(shù)苗，引種后沒(méi)有自然成活的樹(shù)苗中有的樹(shù)苗可經(jīng)過(guò)人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹(shù)苗不能成活.①求一棵種樹(shù)苗最終成活概率；②若每棵樹(shù)苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶(hù)為了獲利不低于20萬(wàn)元，問(wèn)至少引種種樹(shù)苗多少棵？【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；期望為（2）①；②700【解析】【分析】（1）依題意X的所有可能值為0，1，2，3.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.（2）①當(dāng)時(shí),取得最大值.然后求解一棵樹(shù)苗最終成活的概率.②記為棵樹(shù)苗的成活棵數(shù)，為棵樹(shù)苗的利潤(rùn)，利用二項(xiàng)分布的概率以及期望求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，X的所有可能值為0，1，2，3，則；；；.由此得X的分布列如下表：X0123P所以.【小問(wèn)2詳解】根據(jù),由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最大值.①一棵種樹(shù)苗最終成活的概率為.②記為棵種樹(shù)苗的成活株數(shù)，為株種樹(shù)苗的利潤(rùn)，則，所以，所以，故，要使，則有.所以該農(nóng)戶(hù)應(yīng)至少種植700棵種樹(shù)苗，就可獲利不低于20萬(wàn)元.19.已知函數(shù)且．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）個(gè)（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，將所證不等式變形為，令，求出的取值范圍，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，證得即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，可得或，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值