專(zhuān)題06立體幾何小題綜合-2024年高考數(shù)學(xué)沖刺雙一流之小題必刷滿(mǎn)分沖刺-1

專(zhuān)題06立體幾何小題綜合一、單選題1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1，2，高為3，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A．5 B．7 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】.故選：B2．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）

A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B3．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，是指在下雨時(shí)可以用圓臺(tái)形的盆接雨水來(lái)測(cè)量降雨量．若一個(gè)圓臺(tái)形盆的上口直徑為40cm，盆底直徑為20cm，盆深18cm，某次下雨盆中積水9cm，則這次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的體積除以盆口面積）（

）A．3cm B．3.5cm C．5.5cm D．5.8cm【答案】B【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，再除以盆口面積即可.【詳解】根據(jù)題意，盆中水的體積約為，降雨量等于．故選：B．4．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意可得圓錐體的母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）米斗是稱(chēng)量糧食的量器，是古代官倉(cāng)?糧棧?米行及地主家里必備的用具?如圖為一倒正四棱臺(tái)型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50cm的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意作出正四棱臺(tái)的對(duì)角面，為外接球球心，為線(xiàn)段中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.【詳解】由題意，作出正四棱臺(tái)的對(duì)角面，如圖為正四棱臺(tái)上底面正方形對(duì)角線(xiàn)，為正四棱臺(tái)下底面正方形對(duì)角線(xiàn)，為外接球球心，為線(xiàn)段中點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.因?yàn)椋?，所以，所以，所以正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為.

故選:D.6．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)控制壓縮和排放．如圖1，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓構(gòu)成的曲面三角形（如圖2），正三角形的頂點(diǎn)稱(chēng)為曲面三角形的頂點(diǎn)，側(cè)棱長(zhǎng)為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h．已知曲面棱柱的體積V=Sh，如圖1所示的曲面棱柱的體積為，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】把底面分為三個(gè)弓形和三角形面積之和，在根據(jù)題中體積和高可得.【詳解】由題意可知該曲面棱柱的底面積．設(shè)，則，解得.故選：B.7．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】表達(dá)出圓錐的體積，通過(guò)求導(dǎo)得出其單調(diào)性，即可求出當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù).【詳解】由題意，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，，∴體積：，∴，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角.故選：A．8．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體中，，，在線(xiàn)段上取點(diǎn)M，在上取點(diǎn)N，使得直線(xiàn)平面，則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系發(fā)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，由向量與平面的法向量垂直可得關(guān)系式，從而表示出的模，然后可求得最小值．【詳解】解：如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，即，又，，，設(shè)，，則，因?yàn)槠矫?，故即，?dāng)時(shí)，取得最小值，即的長(zhǎng)度的最小值為．故選：D．

9．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，底面同心的圓錐高為，，在半徑為3的底面圓上，，在半徑為4的底面圓上，且，，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定四邊形的形狀，再求出四邊形面積最大時(shí)，圓心O到邊的距離，然后在幾何體中作出點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段，借助直角三角形計(jì)算作答.【詳解】如圖，直線(xiàn)交大圓于點(diǎn)，連接，由，知四邊形為等腰梯形，取的中點(diǎn)，連接，則，由，知四邊形是矩形，因此四邊形為矩形，過(guò)O作于Q，連接，從而四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，如圖，在幾何體中，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，又，平面，于是平面，而平面，則有平面平面，顯然平面平面，在平面內(nèi)過(guò)O作于R，從而平面，即長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，在中，，，，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離可以利用幾何法，作出點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)確定的向量在法向量的投影即可.10．（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）有一個(gè)正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長(zhǎng)為6．若該石料最多可打磨成四個(gè)半徑為的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出柱形石料的高，利用柱體體積減去四個(gè)球體體積可得結(jié)果.【詳解】設(shè)底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為，由等面積法可得，解得，若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為的石球，則該柱形石料的高至少為，因此，至少需要打磨掉的石料廢料的體積為.故選：B.11．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過(guò)AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線(xiàn)面平行得性質(zhì)證明，再根據(jù)可得，進(jìn)而可得出答案.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面，

因?yàn)?，平面，平面，所以，因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C將弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故選：B.12．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)球的表面積求得求得半徑，再根據(jù)題意得出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，求出點(diǎn)到底面的距離即可求出最大值.【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，由題意知底面三角形的面積為定值，要使四面體體積的最大，只須頂點(diǎn)到底面的距離最大即可，又因?yàn)槠矫嫫矫妫芍?dāng)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，外接圓的半徑，則到面的距離為，且到面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，此時(shí)體積最大值為.故選：B.13．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知球和正四面體，點(diǎn)在球面上，底面過(guò)球心，棱分別交球面于，若球的半徑，則所得多面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用正四面體和球的關(guān)系，利用勾股定理求出正四面體的棱長(zhǎng)，進(jìn)一步利用體積公式及比列關(guān)系求出多面體的體積即可.【詳解】設(shè)正四面體，棱長(zhǎng)為，如圖所示：設(shè)外接球的球心為，半徑為，所以，解得，由于，所以，在中，過(guò)O作AB垂線(xiàn)OH，由面積可得，則，利用勾股定理：，即：，,多面體的體積為.故選：D.14．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，為正方形內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先結(jié)合題目條件，找出線(xiàn)面角的平面角為，根據(jù)幾何關(guān)系，求出，進(jìn)而得出的正弦值的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，M，B三點(diǎn)共線(xiàn)，連接，，，因?yàn)槠矫妫灾本€(xiàn)與平面所成角為，其正弦值為，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍是.故答案為：D.15．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎騉與圓臺(tái)的上、下底面及母線(xiàn)均相切，且圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為，記球O與圓臺(tái)的表面積分別為、，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，做出截面圖，再結(jié)合球的表面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】

圓臺(tái)與球O的截面圖如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，2r，則母線(xiàn)長(zhǎng)為3r，由已知得.，，，即，故選：B.16．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體（semiregularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)表面積公式計(jì)算表面積，把多面體積轉(zhuǎn)化為正方體體積去掉8個(gè)三棱錐體積求解，最后求比值即可.【詳解】如圖，該半正多面體的表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，則其表面積，該半正多面體的體積可以由正方體截去8個(gè)三棱錐的體積計(jì)算，.

故選:A.17．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿軸翻折成平面角為的二面角，此時(shí)點(diǎn)翻折至，則兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況討論,當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，綜合兩種情況可得結(jié)果.【詳解】設(shè)所在平面為，圓的另一半所在平面為，若，則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值；當(dāng)在圓與軸交點(diǎn)時(shí)，取到最大值，即；

若在上的投影為，則到面距離為，則三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最大值，，此時(shí)；當(dāng)在圓與軸交點(diǎn)時(shí)，有最小值，，此時(shí)；即；綜上可得，.

故選:B.18．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于兩點(diǎn).現(xiàn)將所在平面沿直線(xiàn)折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角，利用雙曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，即，可得，解?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線(xiàn)離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．19．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出過(guò)點(diǎn)垂直于的正四棱柱的截面即可計(jì)算作答.【詳解】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，因?yàn)槠矫?，則，又平面，，則平面，又平面，則，取中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，顯然，而平面，則平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因?yàn)槠矫妫?，從而平面，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面與四棱柱的交線(xiàn)，即，因?yàn)?，即有，又，于是，有，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線(xiàn)法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線(xiàn)與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線(xiàn)得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.20．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿(mǎn)足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)作阿氏圓.已知棱長(zhǎng)為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面，，交線(xiàn)為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長(zhǎng)度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)可直接求圓周長(zhǎng)，當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長(zhǎng).二、多選題21．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E?F?G?M?N均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，平面PEF⊥平面GMNB．異面直線(xiàn)EF?GN所成角的余弦值為C．點(diǎn)E?F?G?M?N在同一個(gè)球面上D．若，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖形特征證明面面垂直判斷A選項(xiàng)，根據(jù)異面直線(xiàn)所成角判斷B選項(xiàng)，根據(jù)五點(diǎn)共圓判斷C選項(xiàng)，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度判斷D選項(xiàng).【詳解】取中點(diǎn)，連接，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E?F?G?M?N均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，GM在面ABCD內(nèi)，，平面，平面，，平面面，

連接，是正方形,，平面，平面，，平面，平面，，平面平面，綜上，平面，平面，又所以平面，平面故平面平面，故A正確；取中點(diǎn)，連接，是異面直線(xiàn)所成的角，又則，故B錯(cuò)誤；記正方體的中心為點(diǎn)，則，故點(diǎn)在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；是的中點(diǎn)，，故點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線(xiàn)段，且，，故D正確.故選：ACD.22．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線(xiàn)與所成角的正切值為B．直線(xiàn)平面C．平面平面D．到直線(xiàn)的距離為【答案】BCD【分析】把直線(xiàn)與所成的角，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與所成的角，在直角中，求得所成的角的正切值為，可判定A不正確；由，利用線(xiàn)面平行的判定定理，證得平面，可判定B正確；由平面，得到平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，可判定C正確；設(shè)，證得，得到即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，在直角中求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，在正方體中，可得，所以異面直線(xiàn)與所成的角，即為直線(xiàn)與所成的角，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接和，在直角中，，即異面直線(xiàn)與所成的角的正切值為，所以A不正確；對(duì)于B中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線(xiàn)平面，所以B正確；對(duì)于C中，在正方體中，可得平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，因?yàn)槠矫?，且平面，可得，所以即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，在直角中，，所以，即到直線(xiàn)的距離為，所以D正確.故選：BCD.23．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）正四棱錐中，高為3，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．到平面的距離為B．向量在向量上的投影向量為C．棱錐的內(nèi)切球的半徑為D．側(cè)面所在平面與側(cè)面所成銳二面角的余弦值為【答案】BD【分析】補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中作出所求距離，利用等面積求解可判斷A；根據(jù)投影向量的幾何意義可判斷B；利用等體積法可判斷C；利用長(zhǎng)方體作出平面角，由余弦定理可得.【詳解】

補(bǔ)形為長(zhǎng)方體.如圖，

記，的中點(diǎn)分別為P，Q，作于點(diǎn)W,易知，，，在中，,即,解得.易知,CW為CD到平面距離，A錯(cuò)誤；根據(jù)投影向量概念知：向量在向量上的投影向量為向量.即為，所以B正確；即AB中點(diǎn)為N，連接MN，ON，易得，所以，，由等體積求內(nèi)切球半徑,得，，所以C錯(cuò)誤；連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知是所求二面角的平面角，在中由余弦定理得：正確.故選：BD24．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┤鐖D，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折到在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．與可能垂直C．四面體的體積的最大值是D．直線(xiàn)與平面所成角的最大值是【答案】ABC【分析】由折疊平面的變與不變性，對(duì)于A，取中點(diǎn)，可得⊥面，A選項(xiàng)可判斷；對(duì)于B，假設(shè)與垂直，則⊥面，再根據(jù)題目所給長(zhǎng)度即可判斷；對(duì)于C，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積的最大,計(jì)算最大體積即可;對(duì)于D，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與平面所成角最大，判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，為等邊三角形，，又面，面，又面，，故A正確.對(duì)于B，假設(shè)，又面，面，又面，，又，易知，當(dāng)時(shí)，，故與可能垂直，故B正確.對(duì)于D，當(dāng)面面時(shí)，面面=，平面，此時(shí)面即為直線(xiàn)與平面所成角，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，易知當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積最大，此時(shí)的體積為：，故C正確.故選：ABC.25．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）勒洛三角形也被稱(chēng)為定寬曲線(xiàn)，勒洛三角形的立體版就是如圖所示的立體圖形，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，它是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分組成的，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).這種立體圖形稱(chēng)為勒洛四面體，若圖中勒洛四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為P、A、B、C，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為1，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中所示勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為1B．圖中所示勒洛四面體的內(nèi)切球的表面積為C．平面截此勒洛四面體所得截面的面積為D．圖中所示的勒洛四面體的體積是【答案】AB【分析】根據(jù)表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值即為其內(nèi)接四面體的棱長(zhǎng)1，可判定A正確；根據(jù)點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，由A，O，E三點(diǎn)共線(xiàn)，求得，求得內(nèi)切球的表面積，可判定B正確；由截面形狀為三個(gè)半徑為1，圓心角為60°的扇形面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積可判定C錯(cuò)誤；求得正四面體的體積，其外接球的體積，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，勒洛四面體能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，所以其表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值，即為其內(nèi)接四面體的棱長(zhǎng)1，所以A正確；對(duì)于B中，勒洛四面體的內(nèi)切球與勒洛四面體的弧面相切，如圖所示，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，則該球的球心O為正四面體的中心，半徑為OE，連接AE，由A，O，E三點(diǎn)共線(xiàn)，且，，因此，內(nèi)切球的表面積為，故B正確；對(duì)于C中，如圖所示，截面形狀為三個(gè)半徑為1，圓心角為60°的扇形面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，勒洛四面體的體積介于正四面體的體積和正四面體的外接球的體積之間，正四面體的體積，其外接球的體積，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.26．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)A，C分別位于BD兩側(cè)，則（

）

A． B．C．多面體的外接球的表面積為 D．點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為【答案】AD【分析】由線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)可判斷A，B；由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線(xiàn)面位置關(guān)系和外接球表面積可判斷C；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為可判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，所以平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以，故B不正確；

因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長(zhǎng)為的正方體，

則多面體的外接球即棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C不正確；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為，故D正確.故選：AD.27．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【分析】連接、，證明平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)，與平面相交與點(diǎn)即可判斷B；連接、交于，證明平面，從而可得點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即可判斷C；取中點(diǎn)，連接、，證明平面，從而可得與平面所成角即為，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，在正方體中，平面，平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)椋⑵矫妫云矫妫制矫?，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在正方體中，有，且與平面相交與點(diǎn)，故FG與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、交于，在正方體中，平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即為，又正方體棱長(zhǎng)為，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以與平面所成角即為，則，則與平面所成角的正弦值為，故D正確．

故選：ACD．28．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為R的球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺(tái)上下底面半徑分別為r1和r2，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺(tái)的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺(tái)與球的表面積、體積公式逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由切線(xiàn)長(zhǎng)定理易得，A正確；由勾股定理知，解得，B正確；因?yàn)?，，所以正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這與圓臺(tái)的定義矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正四面體底面的中心，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交于點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，平面與棱的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與棱的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)與直線(xiàn)，使B．存在點(diǎn)與直線(xiàn)，使平面C．若，其中，，則的最小值是D．【答案】BCD【分析】對(duì)A，利用向量數(shù)量積公式計(jì)算即可判斷；對(duì)B，找到為線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，并利用線(xiàn)面垂直的判定即可證明；對(duì)C，利用向量基本定理結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)有，再利用基本不等式的乘“1”法即可計(jì)算最值；對(duì)D，利用空間向量中四點(diǎn)共面的結(jié)論得，結(jié)合即可證明.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)直線(xiàn)平行于直線(xiàn)為線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，即，此時(shí)平面，以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長(zhǎng)為，均為正三角形，點(diǎn)為的中心，，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，，由余弦定理得，，，則，同理，，又平面平面，平面存在點(diǎn)與直線(xiàn)，使平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)為的中點(diǎn)，則，又三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，，設(shè)，則，四點(diǎn)共面，，又，，即，故D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是先找到點(diǎn)的位置，再利用余弦定理、勾股定理以及線(xiàn)面垂直的判定即可證明；C選項(xiàng)主要是利用基底法得，再利用三點(diǎn)共線(xiàn)的結(jié)論得到，再利用乘“1”法即可，對(duì)于D選項(xiàng)則需利用空間四點(diǎn)共面的推論證明.30．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）正方體棱長(zhǎng)為是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．若為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的最小值為D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作三棱錐的外接球的截面，則所得截面面積的最小值為【答案】AC【分析】的最小值為等邊三角形的高，可求解A；將與矩形沿著翻折到一個(gè)平面內(nèi)，可知的最小值為，進(jìn)而利用余弦定理求解B；轉(zhuǎn)化問(wèn)題為求異面直線(xiàn)和之間的距離，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系利用向量求解C；結(jié)合可得的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，根據(jù)過(guò)點(diǎn)的外接球的截面時(shí)，所得截面面積最小，進(jìn)而求解D.【詳解】對(duì)于A，在中，，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以的最小值為的高，此時(shí)為中點(diǎn)，即，故A正確；對(duì)于B，將與矩形沿著翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，所以的最小值為，此時(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)，又，，，即，由余弦定理得，，即，即，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，根據(jù)題意，即求異面直線(xiàn)和之間的距離，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)直線(xiàn)與的共垂線(xiàn)向量為，則，即，即，可取，

所以異面直線(xiàn)和之間的距離為，所以線(xiàn)段的最小值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)三棱錐的外接球心為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的外接球的截面時(shí)，所得截面面積最小，因?yàn)?，由選項(xiàng)C知，，則，而三棱錐的外接球即為正方體的外接球，所以三棱錐的外接球直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，即，即三棱錐的外接球半徑為，所以所在圓的直徑，所以所得截面面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

三、填空題31．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）半正多面體亦稱(chēng)“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱(chēng)這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用棱柱及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故答案為：.32．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）在正三棱柱中，D為棱AB的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，若，則CD與所成角的余弦值為_(kāi)__．【答案】【分析】作出輔助線(xiàn)，找到CD與所成的角，證出線(xiàn)面垂直，得到，設(shè)出，利用余弦定理求出，，求出余弦值.【詳解】連接，取中點(diǎn)F，連接，EF，則，所以為CD與所成的角（或其補(bǔ)角）．因?yàn)樵谡庵?，D為棱AB的中點(diǎn)，所以⊥，⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以CD⊥平面，可得EF⊥平面，又平面，所以．不妨設(shè)，則，，所以，又，所以，所以，所以＝．故答案為：33．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進(jìn)而求得三棱錐外接球半徑，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，根?jù)余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是頂角為120°的等腰三角形．由題意將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)上．設(shè)外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱錐外接球的體積為，故答案為：34．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先求出半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線(xiàn)的關(guān)系，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用基本不等式即可求解最大值.【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)為l，由題意可知，，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在球面上，則滿(mǎn)足，而圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，，故答案為：35．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且.過(guò)三點(diǎn)、、的平面截該正方體的內(nèi)切球，所得截面圓面積的大小為_(kāi)_____.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出球心到平面的距離，由可求出截面圓的半徑，即可求出截面圓面積.【詳解】由條件知正方體的內(nèi)切球半徑大小為2，設(shè)球心到平面的距離為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，，則，設(shè)平面的法向量為，，令，所以，所以于是截面圓的半徑大小為，

故截面圓的面積大小為.故答案為:.36．（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)內(nèi)接于半徑為1的球，且球心是四邊形的中心，若該棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成的角是60°，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)__________.【答案】/【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的幾何特征應(yīng)用線(xiàn)面角分別求出上下底面邊長(zhǎng)及高，再應(yīng)用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.