六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題之第一單元等積變化問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)蘇教版

20222023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第一單元：等積變化問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）1．在一個(gè)長(zhǎng)20厘米，寬8厘米，高10厘米的密封玻璃缸中，測(cè)得水深6厘米。然后將它的左側(cè)面朝上，這時(shí)水深多少厘米？【答案】12厘米【分析】先利用“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出水的體積，翻轉(zhuǎn)后，體積不變，底面積變成長(zhǎng)為10厘米，寬為8厘米，再根據(jù)“高＝長(zhǎng)方體的體積÷底面積”求出水的深度，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×8×6÷（10×8）＝160×6÷80＝960÷80＝12（厘米）答：這時(shí)水深12厘米?！军c(diǎn)睛】理解水的體積不變并熟練掌握長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。2．晶晶家的廚房里有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量，長(zhǎng)20厘米、寬16厘米、高10厘米，平放時(shí)水面高8厘米，如圖（1）。如果把這個(gè)容器封閉并豎起來(lái)放，如圖（2），請(qǐng)你算一算，水面的高度會(huì)是多少厘米？【答案】16厘米【分析】根據(jù)“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出圖（1）長(zhǎng)方體容器中水的體積，再利用“高＝長(zhǎng)方體的體積÷（長(zhǎng)×寬）”求出圖（2）長(zhǎng)方體容器中水面的高度。【詳解】20×16×8÷（16×10）＝20×16×8÷160＝320×8÷160＝2560÷160＝16（厘米）答：水面高度是16厘米。【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。3．有一個(gè)正方體水箱，從里面量得棱長(zhǎng)4分米。如果把一滿箱水倒入一個(gè)長(zhǎng)8分米、寬2.5分米的長(zhǎng)方體水池內(nèi)，水深多少分米？【答案】3.2分米【分析】利用正方體的體積公式：V＝a3，求出一滿箱水的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝Sh可知，用水的體積除以長(zhǎng)方體的底面積，即可求出水的深度?！驹斀狻?×4×4÷（8×2.5）＝16×4÷20＝64÷20＝3.2（分米）答：水深3.2分米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是理解等積變形，通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，利用正方體和長(zhǎng)方體的體積公式求解。4．一個(gè)密封的長(zhǎng)方體容器如圖①，長(zhǎng)8分米、寬2分米、高4分米，里面水深3分米。（1）此時(shí)圖①容器中有水多少立方分米？（2）如果把這個(gè)容器的左面放在桌上如圖②，這時(shí)容器里水深多少分米？【答案】（1）48立方分米（2）6分米【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出水的體積即可；（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷底面積，列式解答即可?！驹斀狻浚?）（立方分米）答：此時(shí)圖①容器中有水48立方分米。（2）48÷（4×2）＝48÷8＝6（分米）答：這時(shí)容器里水深6分米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體體積公式。5．把一塊棱長(zhǎng)是0.7米的正方體鋼坯，鍛成橫截面面積是0.05平方米的長(zhǎng)方體鋼材，鍛成的鋼材有多長(zhǎng)？【答案】6.86米【分析】先求出正方體的體積，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入求出鋼坯的體積，鍛成長(zhǎng)方體鋼材后，體積不變，所以用鋼坯的體積除以長(zhǎng)方體鋼材的橫截面面積，即可求出鍛成的鋼材的長(zhǎng)度?！驹斀狻?.7×0.7×0.7÷0.05＝0.49×0.7÷0.05＝0.343÷0.05＝6.86（米）答：鍛成的鋼材有6.86米?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住體積不變，運(yùn)用正方體和長(zhǎng)方體的體積公式，解決實(shí)際問(wèn)題。6．把一個(gè)底面積是36平方厘米，高是4厘米的長(zhǎng)方體鋼錠，鑄造成一個(gè)橫截面是邊長(zhǎng)5厘米的正方形的長(zhǎng)方體零件，鑄造的這個(gè)零件長(zhǎng)多少厘米？【答案】5.76厘米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝Sh，求出長(zhǎng)方體鋼錠的體積；把這個(gè)鋼錠鑄造成橫截面是正方形的長(zhǎng)方體零件，那么這個(gè)鋼錠的體積不變；先根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出長(zhǎng)方體零件橫截面的面積，再根據(jù)公式h＝V÷S，求出這個(gè)零件的長(zhǎng)?！驹斀狻?6×4=144（立方厘米）144÷（5×5）＝144÷25＝5.76（厘米）答：鑄造的這個(gè)零件長(zhǎng)5.76厘米?！军c(diǎn)睛】抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵。7．一個(gè)長(zhǎng)方體的容器（如圖），里面的水深6厘米，把這個(gè)容器蓋緊后豎放，使長(zhǎng)10厘米、寬8厘米的面朝下，這時(shí)里面的水深是多少厘米？【答案】15cm【分析】正放時(shí)長(zhǎng)方體容積的長(zhǎng)是20厘米、寬是10厘米，水深6厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出容器內(nèi)水的體積；因?yàn)檫@個(gè)容器是蓋緊的，所以無(wú)論正放還是豎放，容器內(nèi)水的體積不變；豎放時(shí)，容積的長(zhǎng)是10厘米，寬是8厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），求出此時(shí)水的深度?！驹斀狻?0×10×6＝200×6＝1200（立方厘米）1200÷（10×8）＝1200÷80＝15（厘米）答：這時(shí)里面的水深是15厘米?！军c(diǎn)睛】抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”以及靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。8．用棱長(zhǎng)是2米的正方體木箱運(yùn)來(lái)6箱沙子，均勻鋪在長(zhǎng)12米、寬8米的沙坑內(nèi)，鋪好的沙子厚度是多少米？【答案】0.5米【分析】根據(jù)正方體的公式：棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，把數(shù)代入即可求出一個(gè)木箱能裝沙子的體積，再乘6即可求出運(yùn)來(lái)的沙子的體積；由于鋪好的沙子呈長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體積就是沙子的體積，根據(jù)公式：高＝長(zhǎng)方體的體積÷長(zhǎng)÷寬，把數(shù)代入公式即可求解?！驹斀狻?×2×2×6＝4×2×6＝8×6＝48（立方米）48÷12÷8＝4÷8＝0.5（米）答：鋪好的沙子厚度是0.5米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體和正方體的體積公式，熟練掌握它們的體積公式并靈活運(yùn)用。9．將一個(gè)棱長(zhǎng)為8厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是16厘米，寬是4厘米，求它的高是多少？【答案】8厘米【分析】熔鑄前后這個(gè)鐵塊的體積不變，先根據(jù)正方體的體積公式求出鐵塊的體積；然后再用鐵塊的體積除以后來(lái)熔鑄成的長(zhǎng)方體的底面積，就是這個(gè)長(zhǎng)方體的高。【詳解】8×8×8＝512（立方厘米）512÷（16×4）＝512÷64＝8（厘米）答：高是8厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用。10．把一個(gè)棱長(zhǎng)是6分米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面積是24平方分米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的高是多少分米？【答案】9分米【分析】把正方體鐵塊熔鑄成長(zhǎng)方體鐵塊的過(guò)程中，鐵塊的體積沒(méi)有變化，也就是說(shuō)長(zhǎng)方體鐵塊的體積等于正方體鐵塊的體積，利用“長(zhǎng)方體的高＝長(zhǎng)方體的體積÷底面積”，即可求得?！驹斀狻?×6×6÷24＝36×6÷24＝216÷24＝9（分米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的高是9分米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查體積的等積變形，熟記公式是解答題目的關(guān)鍵。11．一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)、寬、高分別是ldm、8cm、1.5dm，里面裝著水，水的高度是6cm，張明不小心把容器碰倒了（如圖）?，F(xiàn)在水的高度是多少？【答案】4cm【分析】先根據(jù)進(jìn)率1dm＝10cm，將長(zhǎng)1dm和高1.5dm換算成10cm和15cm；左圖封閉的長(zhǎng)方體容器內(nèi)裝有水，底面積是（10×8）cm2，水的高度是6cm，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，求出水的體積；右圖長(zhǎng)方體容器倒下來(lái)后，水的體積不變，底面積變成（8×15）cm2，根據(jù)長(zhǎng)方體的高＝體積÷底面積，求出現(xiàn)在水的高度。【詳解】1dm＝10cm1.5dm＝15cm10×8×6＝80×6＝480（cm3）480÷（8×15）＝480÷120＝4（cm）答：現(xiàn)在水的高度是4cm?！军c(diǎn)睛】明確立體圖形“等積變形”中體積不變，以及靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。12．把一個(gè)長(zhǎng)9厘米、寬7厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面積是20平方厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，求這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的高？【答案】15.7厘米【分析】根據(jù)題意可知，把一塊長(zhǎng)方體鐵塊和一塊正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊，只是形狀改變了，但是它們的體積不變。所以用長(zhǎng)方體和正方體的體積之和除以長(zhǎng)方體的底面積，即可求出長(zhǎng)方體鐵塊的高，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh和V＝Sh以及正方體的體積公式：V＝a3來(lái)解答?！驹斀狻浚?×7×3＋5×5×5）÷20＝（189＋125）÷20＝314÷20＝15.7（厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的高是15.7厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體、正方體的體積公式的靈活運(yùn)用。13．一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的正方體魚缸里裝滿水，把水倒入一個(gè)長(zhǎng)8分米，寬4分米的長(zhǎng)方體空魚缸里，水深多少分米？【答案】2分米【分析】正方體魚缸的水不論是在這個(gè)正方體魚缸內(nèi)，還是倒入長(zhǎng)方體魚缸中，體積是不會(huì)變的。所以，先根據(jù)正方體的體積公式列式求出水的體積，再將水的體積除以長(zhǎng)方體魚缸的底面積，求出水深多少分米?！驹斀狻?×4×4÷（8×4）＝64÷32＝2（分米）答：水深2分米?！军c(diǎn)睛】本題考查了正方體和長(zhǎng)方體的體積，正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高＝底面積×高。14．一個(gè)里面棱長(zhǎng)20cm的正方體魚缸裝滿水，把水倒入另一個(gè)長(zhǎng)25cm，寬16cm的長(zhǎng)方體魚缸里，這個(gè)長(zhǎng)方體魚缸的水有多深？【答案】20cm【分析】把正方體魚缸里的水倒入長(zhǎng)方體魚缸里，那么水的體積不變；根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出水的體積；再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高可知，長(zhǎng)方體的高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出長(zhǎng)方體魚缸里水的深度?！驹斀狻?0×20×20＝400×20＝8000（cm3）8000÷（25×16）＝8000÷400＝20（cm）答：這個(gè)長(zhǎng)方體魚缸的水有20cm深?！军c(diǎn)睛】明確水的體積不變，靈活運(yùn)用正方體、長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵。15．把一塊棱長(zhǎng)是0.6米的正方體鋼坯，熔鑄成長(zhǎng)5分米，寬3分米的長(zhǎng)方體鋼材（不計(jì)損耗），做成鋼材的高是多少米？【答案】1.44米【分析】根據(jù)題意，將正方體鋼坯熔鑄成長(zhǎng)方體鋼材，形狀變了，但體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出鋼坯的體積；再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高可知，長(zhǎng)方體的高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。注意單位的換算：1米＝10分米。【詳解】5分米＝0.5米，3分米＝0.3米0.6×0.6×0.6＝0.36×0.6＝0.216（立方米）0.216÷（0.5×0.3）＝0.216÷0.15＝1.44（米）答：做成鋼材的高是1.44米?！军c(diǎn)睛】靈活運(yùn)用正方體、長(zhǎng)方體的體積公式是解題的關(guān)鍵，明確無(wú)論形狀如何變化，鋼坯的體積是不變的。16．在一個(gè)長(zhǎng)10dm，寬8dm，高6dm的封閉長(zhǎng)方體玻璃缸里裝了一些水，平放時(shí)水深3.5dm。如果把玻璃缸掀立起來(lái)，讓原來(lái)的右面做底面，這時(shí)水深多少分米？（結(jié)果精確到0.01）【答案】5.83分米【分析】由于體積不變，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出水深3.5dm水的體積，再根據(jù)高＝體積÷底面積，用求出的體積除以長(zhǎng)是6dm，寬是8dm的底面面積，即可解答?！驹斀狻浚?0×8×3.5）÷（6×8）＝（80×3.5）÷48＝280÷48≈5.83（dm）答：這時(shí)水深5.83分米。【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用。17．把一塊棱長(zhǎng)是12cm的正方體鋼坯，熔鑄成橫截面面積是72cm2的長(zhǎng)方體鋼材，熔鑄成的鋼材長(zhǎng)是多少cm？【答案】24cm【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，求出正方體的體積，熔鑄后，體積不變，長(zhǎng)方體的體積就是正方體的體積，所以用正方體的體積除以橫截面面積，即是熔鑄后的鋼材長(zhǎng)度?！驹斀狻?2×12×12÷72＝1728÷72＝24（cm）答：熔鑄成的鋼材長(zhǎng)是24cm。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住立體圖形的體積不變，利用等積變換的思想，根據(jù)長(zhǎng)方體和正方體的體積公式，求出結(jié)果。18．一個(gè)長(zhǎng)方體水箱從里面量，長(zhǎng)12dm，寬10dm，高8dm，把水箱裝滿水，如果把這個(gè)水箱的水倒入一個(gè)棱長(zhǎng)為10dm的正方體中，這時(shí)水的深度是多少？【答案】9.6dm【分析】首先根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：，求出水箱內(nèi)水的體積，然后用水的體積除以正方體的底面積就是此時(shí)的水深?！驹斀狻?2×10×8÷（10×10）＝120×8÷100＝960÷100＝9.6（dm）答：這時(shí)水的深度是9.6dm?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積（容積）公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。19．給一個(gè)密封的玻璃容器裝入一定量的水，水的高度如圖所示，如果把玻璃容器以長(zhǎng)45cm，寬30cm的面為底放置，水的高度變?yōu)槎嗌?？【答案?2cm【分析】根據(jù)題意可知：容器里的水的量是固定的，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：長(zhǎng)×寬×高，把數(shù)代入即可求出水的體積；由于把玻璃容器以長(zhǎng)45cm，寬30cm的面為底面，即用水的體積÷底面積＝水的高度，把數(shù)代入公式即可求解?！驹斀狻?5×20×18÷（45×30）＝16200÷1350＝12（cm）答：水的高度變?yōu)?2cm?！军c(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式，熟練掌握長(zhǎng)方體的體積公式并靈活運(yùn)用。20．將棱長(zhǎng)為80厘米的正方體玻璃缸中的水全倒入128厘米，寬40厘米的長(zhǎng)方體玻璃缸中，這時(shí)水深是多少厘米？【答案】100厘米【分析】由題意可知，把正方體玻璃缸中盛滿水倒入長(zhǎng)方體的玻璃缸中，只是形狀改變了，水的體積不變，因此，先根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，求出正方體玻璃缸中水的體積，再用體積除以長(zhǎng)方體玻璃缸的底面積就等于水深，由此列式解答?！驹斀狻?03÷（128×40）＝512000÷5120＝100（厘米）答：這時(shí)水深是100厘米。【點(diǎn)睛】此題屬于正方體