2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積1．【問題提出】（1）如圖①，中，，，，矩形為的內(nèi)接矩形（、、分別在、、上），，求矩形的面積．【問題解決】（2）如圖②，某公園管委會想將一個(gè)五邊形場地建造成兒童樂園，經(jīng)測量知：，，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形場地，擺放游樂設(shè)施，其中、分別在、上，邊在上，求出矩形場地的最大面積．2．由邊長為6和邊長為2的兩個(gè)正方形組成的紙板如圖1所示，點(diǎn)是上的點(diǎn)，將該紙板裁剪后（要求至少有一條裁剪線過點(diǎn)）再拼成一個(gè)與它等面積的大正方形紙板．方案一：如圖2，沿虛線剪開將紙板分成三部分，固定③不動，挪動①和②兩部分，使①、②與③拼接成一個(gè)大正方形．（1）在圖2中直接以，為基礎(chǔ)，畫出這個(gè)大正方形，并標(biāo)注①和②兩部分．（2）直接寫出的長度．方案二：（3）如圖3，點(diǎn)在上，且，連接得到一條裁剪線，在圖中直接畫出點(diǎn)及符合條件的紙板上的裁剪線，并求的長．3．定義：若等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)正方形的邊上，則稱該三角形為這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形．任務(wù)1：如圖1，已知正方形，是的中點(diǎn)，請作出，使得是正方形的內(nèi)接正三角形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）任務(wù)2：如圖2，已知是正方形的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)，，分別在，，上，是的中點(diǎn)，連接．求證：；任務(wù)3：已知正方形的邊長為4，求該正方形的最大內(nèi)接正三角形的面積．4．如圖1，在正方形中，過對角線交點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，交該正方形各邊于點(diǎn)．求證：與把該正方形分成面積相等的四部分．小濱、小江在完成上述解答后，進(jìn)一步思考，若將圖形一般化，是否也會有類似結(jié)論？兩位同學(xué)進(jìn)行了如下探究．(1)如圖2，在矩形中，過對角線交點(diǎn)的兩條直線交該矩形各邊于點(diǎn)，，．小濱：若．則與把該矩形分成面積相等的四部分．小江：若，則與把該矩形分成面積相等的四部分．請判斷小濱、是否正確，并說明理由．(2)請仿照小濱、小江同學(xué)的探究過程，寫出一個(gè)類似的真命題：如圖3，在中，______．5．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)興趣小組對無人機(jī)飛行軌跡進(jìn)行數(shù)學(xué)建模探究．如圖所示，現(xiàn)有一架無人機(jī)在邊長為6米的正方形空域內(nèi)飛行．無人機(jī)從邊上的點(diǎn)起飛（不與，重合）．飛行軌跡形成折線，將正方形沿翻折，使點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，交于，折痕為，連接，．(1)操作判斷

與的關(guān)系是______，飛行路徑與折線的位置關(guān)系是______，飛行路徑與折線的數(shù)量關(guān)系是______．(2)性質(zhì)探究

當(dāng)起飛點(diǎn)在邊上移動時(shí)：求證：的周長恒定為12米．(3)拓展應(yīng)用

設(shè)米，無人機(jī)信號反射區(qū)域的面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式．為保證信號強(qiáng)度，反射區(qū)域面積需最小化，求的最小值及對應(yīng)的起飛位置．6．（1）如圖，在中，，為斜邊上的中線，那么與之間存在什么樣的的數(shù)量關(guān)系呢？為解決這一問題，小明同學(xué)想的辦法是：如圖2，延長到D，使，連接，……請你順著小明的思路完成解答；【深入探究】（2）如圖3，已知，E為的中點(diǎn)．則與之間的數(shù)量關(guān)系為___________；【應(yīng)用提升】（3）如圖4，在正方形中，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以，為邊在的右側(cè)作平行四邊形．①求證：四邊形為菱形；②如圖5，連接，過點(diǎn)E作的垂線，垂足為M，若，求四邊形的面積．7．在矩形中，，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長度；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接，①求證：；②求線段的長度．(3)如圖③設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個(gè)最大值；若不存在請說明理由．8．問題背景：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．實(shí)驗(yàn)探究：(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小明同學(xué)將圖①中的繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，得到結(jié)論：①＝______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為______；(2)小明同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D，E，F(xiàn)在一條直線上，如圖③所示位置時(shí)，求的面積；(3)在繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，記的面積為S，直接寫出S的取值范圍．9．【問題背景】（1）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E為對角線上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，在邊上取一點(diǎn)G，使得，連接，求證：；【思考探究】（2）如圖②，點(diǎn)E為正方形的邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，在邊取一點(diǎn)G，使得，連接、，求證：；【拓展延伸】（3）如圖③，點(diǎn)E為菱形的邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)F在線段上，連接，，在邊上取一點(diǎn)G，使得，連接、，若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，的面積4，求的面積．10．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)F.(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)如圖2所示，得到結(jié)論：①的值為________；②直線與所夾銳角的度數(shù)為________；(2)小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)H.請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由：(3)在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出的面積.11．在矩形中，，點(diǎn)分別是邊和邊上的動點(diǎn)，，，連接，(1)如圖1，當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求的值；(2)在（1）的條件下，求的面積；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(4)如圖2，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求的值.12．四邊形是矩形，點(diǎn)E是射線上一動點(diǎn)，連接，以為對稱軸，把沿折疊后點(diǎn)D落在點(diǎn)處，的延長線交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，點(diǎn)E在線段上，請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．(2)如圖2，若，點(diǎn)E在線段上，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請給予證明；若不成立，請寫出新的結(jié)論，說明理由．(3)若，請直接寫出的面積．13．如圖1，四邊形是菱形（），過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)將圖1中的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)E，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，；所在直線分別與直線交于點(diǎn)H，G；直線與直線交于點(diǎn)P，如圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，．①如圖3，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求的長度；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求四邊形的面積．14．已知四邊形是矩形，．(1)如圖①，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，連接、、，判定的形狀，并說明理由；(2)如圖②，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）得到矩形，點(diǎn)恰好落在的延長線上，與相交于點(diǎn)，求的面積；(3)如圖③，在（2）條件下，連接，取的中點(diǎn)，連接，求線段長度的最大值和最小值．15．問題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．實(shí)驗(yàn)探究：(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小明同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①__________；②直線與所夾銳角的度數(shù)為__________．；(2)小明同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D，E，F(xiàn)在一條直線上如圖3所示位置時(shí)，求的面積；(3)在繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周過程中，記的面積為S，直接寫出S的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)求面積》參考答案1．（1）；（2）【分析】（1）由題意可得，從而得出，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，即可得解；（2）連接交于，交于，證明四邊形為矩形，得出，，，證明為直角三角形，且，求出，，由矩形的性質(zhì)可得，，證明四邊形為矩形，得出，，設(shè)，則，，求出，從而可得，表示出矩形場地的面積為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：（1）∵矩形為的內(nèi)接矩形（、、分別在、、上），∴，∴，∴，即，∴，∴，∴矩形的面積為；（2）如圖，連接交于，交于，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，，∵，，∴，∴為直角三角形，且，∴，，∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴四邊形為矩形，，∴，，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，∴矩形場地的面積為，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形場地的面積最大，為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理逆定理等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．2．方案一（1）見解析（2）方案二：（3）見解析，【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形全等的判定和性質(zhì)，拼圖即可．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)解答即可．（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明．【詳解】解：（1）畫圖如圖所示，∵由邊長為6和邊長為2的兩個(gè)正方形組成的紙板如圖1所示，點(diǎn)是上的點(diǎn)，將該紙板裁剪后（要求至少有一條裁剪線過點(diǎn)）再拼成一個(gè)與它等面積的大正方形紙板．∴，，，∴，，∴，∵，∴，故拼圖如下：故①和②兩部分的位置可以調(diào)換.（2）解：∵，∴，∴，∵∴．（3）解：點(diǎn)的位置如圖2.根據(jù)題意可知，，...，..【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和相似是解題的關(guān)鍵.3．任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：見解析；任務(wù)3：【分析】（1）以為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，即為所求；（2）連接，，三線和一結(jié)合正方形的性質(zhì)，推出，，，四點(diǎn)都在以為直徑的圓上，圓周角定理得到，同理可得，進(jìn)而得到是等邊三角形，即可得證；（3）根據(jù)內(nèi)接正三角形的定義得到有兩點(diǎn)在正方形的相對的兩條邊上，不妨設(shè)點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在上，由（2）可知一定經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，正方形的內(nèi)接正三角形的面積最大，連接并延交于，點(diǎn)只能在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值．當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，過作，分別交，于，兩點(diǎn)，解直角三角形求出的長，進(jìn)而推出的長，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，就是所求作的圖形．由作圖可知：，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，同理，∴，∴為等邊三角形；（2）連接，，∵是正方形的內(nèi)接正三角形，是的中點(diǎn)，，，．，，，四點(diǎn)都在以為直徑的圓上．．同理可得．∴，是等邊三角形．．（3）是正方形的內(nèi)接正三角形，∴有兩點(diǎn)在正方形的相對的兩條邊上，不妨設(shè)點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在上．根據(jù)（2）知一定經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，正方形的內(nèi)接正三角形的面積最大，連接并延交于，顯然點(diǎn)只能在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值．當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，過作，分別交，于，兩點(diǎn)．由（2）可得在中，，在中，．，．．在中：，．的面積的最大值為．4．(1)小濱的猜想正確，小江的猜想錯(cuò)誤，見解析(2)見解析【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，可得，那么，同理，則，，由，deed，故，則，即可判斷小濱說法；可證明，由于，，但不一定全等，故不一定等于，即可判斷小江；（2）仿照題干即可求解．【詳解】（1）解：小濱的猜想正確，小江的猜想錯(cuò)誤，理由如下：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，同理，∴，，∵，∴，∴，∴，∵矩形是中心對稱圖形，∴，∴，∴與把該矩形分成面積相等的四部分，故小濱的猜想正確；如圖：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∵，但不一定全等，∴不一定等于，故不一定等于，∴不一定等于，∴與不一定把該矩形分成面積相等的四部分，∴小江的猜想錯(cuò)誤；（2）解：寫出的真命題為：在中，過對角線交點(diǎn)的兩條直線交該平行四邊形各邊于點(diǎn)，，，若，則與把該平行四邊形分成面積相等的四部分．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∴與把該矩形分成面積相等的四部分．5．(1)相等；垂直；相等(2)見解析(3)（），當(dāng)時(shí)，存在最小值．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出即可得出；如圖所示，過點(diǎn)F作于點(diǎn)I，然后由折疊得到垂直，證明出，得到；（2）過點(diǎn)B作，首先證明，得到，，進(jìn)而得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)F作，設(shè)，表示出，然后利用勾股定理表示出，然后證明出，得到，，然后得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）由折疊得，∴又∵∴，即又∵∴∴；由折疊得，垂直如圖所示，過點(diǎn)F作于點(diǎn)I∵四邊形是正方形∴，∴四邊形是矩形∴∴∵，∴又∵∴∴∴與的關(guān)系是相等，飛行路徑與折線的位置關(guān)系是垂直，飛行路徑與折線的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）過點(diǎn)B作由（1）知，，，，∴的周長；（3）過點(diǎn)F作設(shè)在中∴當(dāng)時(shí)，S存在最小值．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（1）；（2）；（3）①證明見解答；②．【分析】（1）如圖2，作輔助線構(gòu)建平行四邊形，根據(jù)，可得矩形，所以，即可解答；（2）如圖3，由（1）同理得，根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)可得，同理得：，即可解答；（3）①如圖4，連接，根據(jù)證明，可得，根據(jù)菱形的判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得結(jié)論；②如圖5，連接并延長交于，作直線，交于，交于，由（2）可得：，根據(jù)，得，證明，列比例式可得和的長，設(shè)，則，由勾股定理列方程可得的長，計(jì)算的長，根據(jù)菱形的面積公式即可解答．【詳解】（1）解：如圖2，延長到，使，連接，∵為斜邊上的中線，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖3，∵，，∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，，∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，，∴；故答案為：；（3）①證明：如圖4，連接，∵四邊形是正方形，，∵是的中點(diǎn)，，∴，，，∵，，，∴為菱形；②解：如圖5，連接并延長交于，作直線，交于，交于，∵四邊形是正方形，，，，∵是的中點(diǎn)，∴（2）可得：，，，由（1）知：，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，解得：（舍），，，，∵四邊形為菱形，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)①證明見詳解；②(3)存在；【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解決問題．（2）①根據(jù)題意可得，由即可證明，從而得出，根據(jù)等角對等邊可得．②設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（3）存在．連接，作于，當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，利用，求出，再根據(jù)計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，∴，故在中，，∴．（2）①證明：∵當(dāng)點(diǎn)落在線段上，∴，又∵，，在和中，∴，∴，∴．②解：設(shè)，在中，∵，∴，∴，∴．（3）解：存在．理由如下：連接，作于，如圖，當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，則，∴的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，三角形的面積，三角形的三邊關(guān)系等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．(1)

，(2)(3)【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，證明，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解即可；②延長與交于點(diǎn)M，記交于點(diǎn)N，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）過點(diǎn)A作于H，證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）在繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，的底邊長度不變，找出高最大，以及最小的情況求解即可．【詳解】（1）解：①在矩形中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，故答案為：；②延長與交于點(diǎn)M，記交于點(diǎn)N，，，，，即直線與所夾銳角的度數(shù)為，故答案為：；（2）過點(diǎn)A作于H∵D，E，F(xiàn)共線∴，又，，∴，

∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴∴；（3）在繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，的底邊長度不變，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線，面積最小，即，記邊上的高為h，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)，重合時(shí)，的高最大為，此時(shí)面積最大，，，，，即，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂線段最短，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．9．（1）見解析；（2）見解析；（3）16【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似”是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明，即可得到；（2）先證明，得到，．再利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似”證明，即可得到；（3）先證明，得到，．再利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似”證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴．又∵，，∴，∴；（2）證明：∵，∴．∵四邊形是正方形，∴．又∵，∴，∴，．∵在正方形中，，∴，∴．∵，，∴，即，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴，．∵四邊形是菱形，∴，∴，∴．∵，，∴，即，∴．∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴．∵的面積4，∴的面積16．10．(1)①；②(2)結(jié)論成立，理由見解析(3)或．【分析】（1）①求出，即可求出答案；②通過證明，可得，，即可求解；（2）通過證明，可得，，即可求解；（3）分兩種情況討論，先求出的長，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖1，∵四邊形是矩形，∴，即，∵，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，∴∵，∴，∴，∴∴故答案為：如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)H，∵繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∴，∴，∴，，又∵，∴，∴直線與所夾銳角的度數(shù)為，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)H，∵將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴，∴直線與所夾銳角的度數(shù)為．（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在的上方時(shí)，過點(diǎn)D作于G，∵，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，∴，，∵，∴，∵D、E、F三點(diǎn)共線，∴，∴，∵，∴，由（2）可得：，∴，∴，∴的面積＝；如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在的下方時(shí)，過點(diǎn)D作，交的延長線于G，同理可求：的面積故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分情況討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.11．(1)(2)8(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式代入即可求得答案；（2）由（1）可得：，再根據(jù)，分別代入即可得到答案；（3）當(dāng)時(shí)，分別求出，，的長，再分別利用勾股定理分別求出，，的長，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；（4）過點(diǎn)作，易證得，從而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，（2）解：由（1）可得：，∴，，∵，∴，，∴，．（3）解：由題可得，當(dāng)時(shí)，∴，，∵，∴，，在中，由勾股定理可得：，在中，由勾股定理可得：，在中，由勾股定理可得：，∴，∴．（4）解：過點(diǎn)作，交于，∵，，，由折疊的性質(zhì)可得：∴，，，∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得：，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)（1）中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是(3)的面積或【分析】（1）過點(diǎn)作，交的延長線與點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明得出，，由折疊的性質(zhì)得以及平行線的性質(zhì)得出，可得，即可求解；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明得出，則，進(jìn)而同（1）的方法證明，即可求解；（3）兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，分別求得，進(jìn)而同（2）可得，勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1所示，過點(diǎn)作，交的延長線與點(diǎn)，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，即，，，，；（2）（1）中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是，理由如下：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2所示，，四邊形是矩形，，，，，又，，，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，即，，，，；（3）點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是矩形，，，，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：設(shè)同（2）可得在中，解得：∴②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖4所示：，，，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得：同（2）可得，在中，解得：．．綜上所述，的面積或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．13．(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)①；②．【分析】（1）由垂線的定義得到，再由菱形對邊平行結(jié)合平行線的性質(zhì)證明，即可證明結(jié)論；（2）如圖所示，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，通過證明，即可證明；（3）①由（2）可知，求出，，進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案；②作于M，可證明四邊形是正方形，可得，證明，得到則，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，在菱形中，，，四邊形是矩形；（2）解：，理由如下：如圖所示，連接，在菱形中，，，旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，由（2）可知在菱形中，，，，，，在中，，，，；②作于M，，在BA的延長線上，，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是正方形，，，，，，由（2）可知，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等等，熟知特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．14．(1)等腰直角三角