重慶市西南大學附屬中學2025屆高三下學期全真模擬數(shù)學試題 含解析

西南大學附中高屆高三下全真模擬考試數(shù)學試題（滿分：分；考試時間：分鐘）注意事項：答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場座位號、準考證號填寫在答題卡上.答選擇題時，必須使用鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自行保管，以備評講）.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對值不等式以及一元二次不等式的解法，可得集合的元素，利用交集，可得答案.【詳解】由，，則.故選：B.2.已知向量，若，則的值為（）A.4B.5C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算以及垂直向量的坐標表示，求得參數(shù)值，利用向量模長的坐標計算公式，可得答案.【詳解】由，且，則，解得，第1頁/共21頁即，可得，所以.故選：B.3.已知，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設，由賦值法可得.【詳解】設，則，，因此，.故選：C.4.已知，則（）A.B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】利用整體法求得，進而可求得的值.【詳解】因為，所以，第2頁/共21頁所以.故選：A.5.已知為數(shù)列的前項和，若，則等于（）A.0B.1012C.D.2025【答案】B【解析】【分析】根據(jù)計算得，再應用前n項和計算求解.【詳解】因為，當，兩式作差得，所以，所以，又因為，因為，當時，所以，所以，所以.故選：B.6.已知過點的直線與拋物線相切，切點為，拋物線的焦點為，則線段的長為（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】由題意設出直線方程，聯(lián)立求得切點坐標，利用兩點距離公式，可得答案.【詳解】由題意可得過點的直線的斜率存在且不為零，則可設為，聯(lián)立可得，消去可得，，解得，即，第3頁/共21頁將代入，解得，則或，易知，所以，故選：C7.已知，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運算律及余弦函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設，則，因為，所以當時，取最小值，故選：C.8.對于復數(shù)，則稱為的反演.已知復數(shù)的實部等于1，為的反演，則的最小值為（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設，則，利用判別式法可求的最小值.【詳解】設，則，所以，故，故，故，第4頁/共21頁設，則，其中，若，則；若，則即，故，故，故，故，故選：C.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正四棱臺上底面的邊長為確的有（）A.該四棱臺的體積為B.該四棱臺的側(cè)面與底面所成角的正切值為C.若為的中點，則平面D.該四棱臺的外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】利用臺體體積公式可判斷A選項；建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷B選項；利用線面平行的判定定理可判斷C選項；設出球心的坐標，根據(jù)球心到點、的距離相等，可求出球心的坐標，進而可求出球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由臺體體積公式可知，該正四棱臺的體積為，A對；對于B選項，設該正四棱臺的上底面和下底面的中心分別為、，則底面，因為四邊形為正方形，則，第5頁/共21頁以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，設平面的一個法向量為，，，則，取，則，易知平面的一個法向量為，設該正四棱臺的側(cè)面和底面所成角為，則為銳角，且，所以，故，B錯；對于C選項，當點為的中點時，易知為的中點，所以，因為平面，平面，故平面，C對；對于D選項，易知該正四棱臺外接球球心直線上，設球的半徑為，設點，由可得，解得，故，因此，該四棱臺的外接球表面積為，D對.故選：ACD.10.現(xiàn)將、、、為“從左至右第個數(shù)恰好是的有（）第6頁/共21頁A.B.事件與相互獨立C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用排列計數(shù)原理可判斷A選項；利用獨立事件的定義可判斷B選項；利用并事件的概率公式可判斷C選項；利用容斥原理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由題意可得，A對；對于B選項，由題意可得，，所以，事件與不獨立，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，由題意可知，且，如下韋恩圖所示：因為，，因為，第7頁/共21頁故，D對.故選：ACD.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則B.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減C.當時，函數(shù)在有1個極值點D函數(shù)最多有3個零點【答案】ABD【解析】【分析】選項A，利用對稱性定義，通過代數(shù)變形得出；選項，在時，導數(shù)為CD：函數(shù)的零點可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點.【詳解】選項A，若關(guān)于對稱，則對任意，有，代入函數(shù)表達式：，要使，需，即對任意成立，故，故A正確；選項B，當且時，，故，求導得：因為時，，而，故，函數(shù)在單調(diào)遞減，故B正確；選項C，當時，當①當時，，在上恒成立；②當時，，，顯然在單調(diào)遞減，第8頁/共21頁令，得，因，故，但該解不在區(qū)間內(nèi)，所以在恒成立；綜上，在上恒成立，故在上無極值點，故C錯誤；選項D，函數(shù)等價于，即，令，，的圖象如圖所示，的圖象經(jīng)過定點，如圖所示，與最多只有3個不同的交點，即函數(shù)最多有3個零點，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.某工廠生產(chǎn)的一批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，規(guī)定零件的尺寸與的誤差不超過即為合格，現(xiàn)從這批零件中抽取件，估計合格零件的個數(shù)為_______個.【答案】【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性求出，乘以即可得出答案.【詳解】因為服從正態(tài)分布，且，則，因此，從這批零件中抽取件，估計合格零件的個數(shù)為.故答案為：.13.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則_______.【答案】2026【解析】第9頁/共21頁【分析】法一：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，整理等式可得遞推公式，根據(jù)累加法，可得答案；法二：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，設出函數(shù)解析式，利用等式檢驗，可得答案.【詳解】法一：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；則，由.法二：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；由，令，則；設，則，，即，符合題意，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得函數(shù)圖象上的最低點或最高點恰有2個在橢圓的取值范圍是_______.【答案】【解析】代入中，得出關(guān)于的不等式，因存在兩個最值點，故不等式第10頁/共21頁存在兩個相鄰的，最后利用兩端點距離范圍為可求解.【詳解】令，則，因存在實數(shù)使得函數(shù)圖象上最低點或最高點恰有2個在橢圓則存在兩個相鄰的，使得成立，即，則，則，則，得，故的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若為邊上一點，且，求.【答案】（1）（2）【解析】第11頁/共21頁1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）依題意可得，再由計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，即，解得.16.如圖，在四棱錐中，，，，，且分別是的中點.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析第12頁/共21頁（2）【解析】1）設為的中點，連接，利用，，可證平面，進而可證結(jié)論；（2所在的直線分別為的一個法向量和平面的一個法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【小問1詳解】設為的中點，如圖，連接，因為，所以，因為是的中點，所以，又因為，所以，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以.小問2詳解】因為平面平面，且平面平面所以平面，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，第13頁/共21頁因為，所以，又因為分別為的中點，所以，則所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，平面的一個法向量為，，所以二面角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）當時，直線與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求切點的橫坐標，從而可求切點，代入切線方程后可得參數(shù)的值；第14頁/共21頁（2求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，函數(shù)，設函數(shù)與直線相切切點為，因為直線的斜率為1，所以，解得或（舍）,故切點為，代入切線方程，得，所以.【小問2詳解】由，得，令，因為對任意的恒成立，所以.則.令，則，因為，所以，即在為減函數(shù)，而，所以當時，在上為增函數(shù)，當時，在上為減函數(shù)，所以，所以，所以的取值范圍為.18.已知橢圓的焦距為4，上頂點為，右焦點為，坐標原點為，且第15頁/共21頁為橢圓上兩個不同的動點（均不與重合）.（1）求橢圓的方程；（2）若為的垂心，求直線的方程；（3）若是的角平分線，問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標，若不是，說明理由；【答案】（1）（2）（3）過定點，【解析】1）由已知可得，進而可求得，可求橢圓方程；（2）由，可求得，設直線方程為：，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得的值；（3）設，直線，利用點到直線的距離公式可求得點在直線也在直線的直線方程，進而可求定點.【小問1詳解】由題：，故又，故，從而因此橢圓方程為：【小問2詳解】由（1）知：由題：為的垂心，所以且，則必有，設直線方程為：第16頁/共21頁聯(lián)立直線與橢圓：得：令，解得：，由韋達定理：則，故，即：整理得：，將代入化簡得：，解得或當時，直線過點，不符合題意，舍去當時，滿足，符合題意.故直線方程為：【小問3詳解】設則因為直線的斜率必存在，所以直線，即：設到直線與的距離均是，從而平方得：，又由于，故，整理得：即點在直線第17頁/共21頁同理：點也在直線上故直線的方程為將其按照參數(shù)進行整理：令，解得，從而定點坐標為.19.已知有窮數(shù)列共有2025.記為數(shù)列的前項和.（1）求的最小值；（2）對，證明：；（3）設滿足的所有構(gòu)成集合為，現(xiàn)從中隨機取一個數(shù)列，若該數(shù)列滿足，則試驗成功，否則試驗失敗.記為該試驗成功的概率，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】1）列舉法計算得出最小值；（2）根據(jù)已知條件累加計算求出即可證明；（3）結(jié)合（2）分類結(jié)合組合數(shù)公式計算證明.【小問1詳解】直接枚舉得：012360120第18頁/共21頁011001001000故的最小值為.【小問2詳解】由題：，平方得：，故,則對有，以上個式子累加得：，故，故.經(jīng)檢驗時命題也成立，從而對于,【小問3詳解】由（2）得：，解得或，顯然不為空集，以下便是一個滿足要求的：只需證明：滿足的的個數(shù)多于滿足的的個數(shù)，引理：若共有項，且，且）則這樣的數(shù)列有個.引理證明：令，則滿足，且或，我們先證明與一一對應：第19頁/共21頁一方面，對于每個，顯然有唯一的一個絕對值數(shù)列與之對應；另一方面，對于每個，則有確定，只需證明每個的符號此時也唯一確定，若，則必有，若，則必有，這樣可確定到的符號，又因為給定，從而此時有唯一的與之對應.從而與一一對應.從而只需計算的個數(shù).注意到，且或先忽略限制條件.設此時的有個.則由：此時相當于在個位置中放入，設有個1，則有個，從而有，故