參數(shù)方程試題及答案

參數(shù)方程試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.曲線$x=2t$，$y=t^2$（$t$為參數(shù)）的普通方程是（）A.$y=\frac{1}{4}x^2$B.$y=4x^2$C.$y=\frac{1}{2}x^2$D.$y=2x^2$2.參數(shù)方程$\begin{cases}x=1+\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)）表示的曲線是（）A.直線B.圓C.拋物線D.橢圓3.已知曲線的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=3+2\cos\alpha\\y=1+2\sin\alpha\end{cases}$（$\alpha$為參數(shù)），則該曲線的圓心坐標(biāo)為（）A.$(3,1)$B.$(-3,-1)$C.$(2,2)$D.$(-2,-2)$4.把參數(shù)方程$\begin{cases}x=1+\frac{1}{2}t\\y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）化為普通方程為（）A.$\sqrt{3}x-y-2-\sqrt{3}=0$B.$\sqrt{3}x+y-2-\sqrt{3}=0$C.$x-\sqrt{3}y-2-\sqrt{3}=0$D.$x+\sqrt{3}y-2-\sqrt{3}=0$5.參數(shù)方程$\begin{cases}x=\cos^2\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)）所表示的曲線的值域是（）A.$[-1,1]$B.$[0,1]$C.$[0,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$6.直線$x=2+t$，$y=-1-t$（$t$為參數(shù)）與曲線$x=3\cos\alpha$，$y=3\sin\alpha$（$\alpha$為參數(shù)）的交點(diǎn)個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.37.已知曲線的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2+3\cost\\y=-1+3\sint\end{cases}$（$t$為參數(shù)），則曲線的半徑為（）A.2B.3C.4D.58.參數(shù)方程$\begin{cases}x=1+2\cos\beta\\y=2+2\sin\beta\end{cases}$（$\beta$為參數(shù)）表示的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.$(x-1)^2+(y-2)^2=2$B.$(x-1)^2+(y-2)^2=4$C.$(x+1)^2+(y+2)^2=2$D.$(x+1)^2+(y+2)^2=4$9.曲線$x=t$，$y=\frac{1}{t}$（$t$為參數(shù)）與直線$x+y=1$的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.$(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$B.$(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2})$C.$(\frac{1+\sqrt{2}}{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{2}}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})$D.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$10.若直線$x=1-2t$，$y=2+3t$（$t$為參數(shù)）與直線$2x+ky=1$垂直，則$k$的值為（）A.$\frac{4}{3}$B.$-\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是參數(shù)方程的優(yōu)點(diǎn)（）A.方便研究曲線的性質(zhì)B.表示一些復(fù)雜曲線更簡潔C.可通過參數(shù)控制曲線形狀D.與普通方程完全一樣2.曲線的參數(shù)方程$\begin{cases}x=2\cost\\y=2\sint\end{cases}$（$t$為參數(shù)），以下說法正確的是（）A.曲線是圓B.圓心在原點(diǎn)C.半徑為2D.周長為$4\pi$3.下列參數(shù)方程能表示直線的有（）A.$\begin{cases}x=t\\y=2t+1\end{cases}$（$t$為參數(shù)）B.$\begin{cases}x=\cost\\y=\sint\end{cases}$（$t$為參數(shù)）C.$\begin{cases}x=1+t\\y=3-t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）D.$\begin{cases}x=t^2\\y=t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）4.參數(shù)方程與普通方程互化過程中需要注意（）A.等價性B.參數(shù)的取值范圍C.化簡過程正確D.隨意改變方程形式5.已知曲線參數(shù)方程$\begin{cases}x=3+2\cos\varphi\\y=-1+2\sin\varphi\end{cases}$（$\varphi$為參數(shù)），則（）A.曲線是圓B.圓心坐標(biāo)為$(3,-1)$C.半徑為2D.面積為$4\pi$6.對于參數(shù)方程$\begin{cases}x=1+\sqrt{2}\cos\theta\\y=-2+\sqrt{2}\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)），下列說法正確的是（）A.曲線是圓B.圓心為$(1,-2)$C.半徑為$\sqrt{2}$D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-1)^2+(y+2)^2=2$7.直線的參數(shù)方程$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases}$（$t$為參數(shù)），直線斜率為（）A.$\frac{a}$（$a\neq0$）B.$\frac{a}$（$b\neq0$）C.可通過消參得到D.由參數(shù)直接確定8.以下哪些參數(shù)方程可以表示橢圓（）A.$\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}$（$a\neqb$，$t$為參數(shù)）B.$\begin{cases}x=\cos^2t\\y=\sin^2t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）C.$\begin{cases}x=2\cost+1\\y=3\sint-2\end{cases}$（$t$為參數(shù)）D.$\begin{cases}x=\cost\\y=\cos2t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）9.參數(shù)方程$\begin{cases}x=2+t\cos\alpha\\y=1+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)），當(dāng)$\alpha$變化時（）A.表示直線系B.直線過定點(diǎn)$(2,1)$C.直線斜率為$\tan\alpha$D.直線形狀不變10.把參數(shù)方程化為普通方程時，常用的消參方法有（）A.代入消參B.加減消參C.利用三角恒等式消參D.隨意消參三、判斷題（每題2分，共10題）1.參數(shù)方程中參數(shù)的取值范圍對曲線形狀無影響。（）2.任何曲線都可以用參數(shù)方程表示。（）3.曲線$x=\cost$，$y=\sint$（$t$為參數(shù)）與$x^2+y^2=1$表示同一曲線。（）4.參數(shù)方程化為普通方程時，一定不需要考慮取值范圍。（）5.直線的參數(shù)方程只有一種形式。（）6.圓的參數(shù)方程圓心坐標(biāo)與普通方程圓心坐標(biāo)求法不同。（）7.參數(shù)方程$\begin{cases}x=t^2\\y=t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）表示的曲線是拋物線。（）8.若兩參數(shù)方程表示的曲線相同，則參數(shù)一定相同。（）9.消去參數(shù)方程$\begin{cases}x=\sint+\cost\\y=\sint\cost\end{cases}$（$t$為參數(shù)）中的參數(shù)可得到$x^2=1+2y$。（）10.參數(shù)方程可以更直觀地反映變量之間的依賴關(guān)系。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述將參數(shù)方程化為普通方程的一般步驟。答案：首先明確參數(shù)方程中參數(shù)的取值范圍，然后通過代入消參、加減消參或利用三角恒等式等方法消去參數(shù)，最后根據(jù)參數(shù)取值范圍確定普通方程中變量的取值范圍。2.已知圓的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2+2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)），求該圓的普通方程及圓心坐標(biāo)、半徑。答案：普通方程為$(x-1)^2+(y-2)^2=4$。圓心坐標(biāo)為$(1,2)$，半徑為$2$。過程：由$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，可得$(x-1)^2+(y-2)^2=4\cos^2\theta+4\sin^2\theta=4$。3.直線的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\end{cases}$（$t$為參數(shù)），求直線的普通方程及斜率。答案：將$t=x-3$代入$y=1-t$，得$y=1-(x-3)$，即$x+y-4=0$，斜率為$-1$。4.說明參數(shù)方程$\begin{cases}x=\cos^2\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)）所表示曲線的特征。答案：由$x=\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$，把$y=\sin\theta$代入得$x=1-y^2$，$x\in[0,1]$，$y\in[-1,1]$，表示拋物線一部分，開口向左，頂點(diǎn)在$(1,0)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論參數(shù)方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用場景及優(yōu)勢。答案：在機(jī)械運(yùn)動軌跡分析、建筑設(shè)計中曲線造型、動畫制作等場景有應(yīng)用。優(yōu)勢在于能方便描述復(fù)雜運(yùn)動軌跡，通過參數(shù)可靈活控制曲線形狀，還能直觀反映變量間依賴關(guān)系，簡化問題分析。2.對比參數(shù)方程和普通方程，分析它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。答案：普通方程優(yōu)點(diǎn)是形式簡潔，直接體現(xiàn)變量關(guān)系，便于研究性質(zhì)；缺點(diǎn)是對復(fù)雜曲線表示困難。參數(shù)方程優(yōu)點(diǎn)能靈活描述曲線，反映運(yùn)動過程；缺點(diǎn)是參數(shù)含義需理解，參數(shù)取值范圍易忽視，互化有一定難度。3.如何根據(jù)曲線特征選擇合適的參數(shù)方程來表示？答案：若曲線有明顯的運(yùn)動特征，如圓周運(yùn)動可選三角函數(shù)相關(guān)參數(shù)方程；直線運(yùn)動可選含一個參數(shù)的線性參數(shù)方程。有對稱、周期等特性的曲線，結(jié)合特性找參數(shù)關(guān)系，如橢圓利用三角函數(shù)參數(shù)方程體現(xiàn)對稱性。4.探討參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及在解題中的作用。答案：參數(shù)幾何意義多樣，如直線參數(shù)方程中參數(shù)$t$有距離等意義。在解題中，可利用其幾何意義求距離、交點(diǎn)