北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題41 三角形的角-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.1三角形的角?重難點題型

【北師大版】

【知識點1三角形的概念】

由不在同一條直線上的三條線段苴星順次相接所組成的圖形叫做三角形.

【知識點2三角形的分類】

三邊都不相等的三角形

按邊分類：三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

.等邊三角形

直角三角形

按角分類：二角形銳角三角形

斜三角形

、鈍角三角形

【題型1三角形的分類】

［例1］（2023秋?無棣縣期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示

C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式1-1］（2023秋?交城縣期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相

等關系分類可分為等腰三角形、等邊一角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三

角形、直角三角形和鈍角三角形.其中，正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.0

【變式1-2］（2023春?淮陽區(qū)期末）下列說法:

（1）一個等邊三角形一定不是鈍角三角形；

（2）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形；

（3）一個等腰三角形一定不是銳角三角形；

（4）一個直角三角形一定不是等腰三角形.

其中正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【變式1-3］（2023春?長春期末）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（）

A.都是銳角三角形

D.都是直角二角形

C.都是鈍角三角形

D.是一個銳角三角形和一個鈍角三角形

【題型2三角形的計數(shù)問題】

【例2】（2023秋?恩施市期中）圖中銳角三角形的個數(shù)有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【變式2-1］（2023秋?齊河縣期末）如圖，共有個三角形.

【變式2-2］（2023春?江都區(qū)期中）如圖，在△A3C中，AOJ_8c于。，那么圖中以AO為高的三角形共有

個.

【變式2-3］（2023秋?潮陽區(qū)期末）如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第

3個圖中共有9個三角形，依此類推，則第6個圖中共有三角形個.

【知識點3三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】

三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角溝大于0°且

小于180°.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

【題型3三角形的內(nèi)角和定理】

【例3】（2023春?玄武區(qū)校級月考）在△4BC中，

（1）若NA：NB：ZC=4：5：6,則NC=度.

（2）若NA=：NB=^NC,則N8=度.

【變式3-1］（2023秋?下城區(qū)期末）在△人￡?「中，NA是鈍角，NN=3O。，設NC的度數(shù)是明則a的取

值范圍是.

【變式3-2］（2023春?靖江市月考）如圖，線段和8c相交于點。，若/A=70°,ZC=85°,則NB

-ZD=.

【變式3-3］（2023秋?洪山區(qū)期中）如圖所示的折線圖形中，a+p=

【題型4直角三角形的性質】

【知識點4直角三角形的性質】

直角三角形的性質：直角三角形兩個內(nèi)角互余.

【例4】（2023春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖,在△4BC中,AB1AC,過點4作AD_L8C交3c于點若

N3=36°,則ND4C的度數(shù)為（）

【變式4-1］（2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，將一副學生用三角板（一個銳角為30°的直角三角形，一個

銳角為45°的直角三角形）的直角頂點重合并如圖疊放，當/DEB=m：則NAOC=（）

A.30°B.(w-15)°C.(〃?+15)°D.m°

【變式4-2](2023秋?德城區(qū)校級月考)如圖，△A4C中，ZB=ZC,FDLBC,DELAB,ZAFD=152°,

求NEDF.

【變式4-3］（2023春?沐陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，NACB=90°,C。是高，4E是△ABC內(nèi)

部的一條線段，AE交6于點尸，交于點X,且

求證：AE平分NC48.

D

B

【題型5三角形的內(nèi)角和定理的應用（含三角板）】

【例5】（2023春?江都區(qū)期末）將一副三角板如圖放置，則圖中的Nl=

【變式5-1］（2023秋?光明區(qū)期末）將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所示疊放，若Nl=

【變式5-2］（2023秋?涪城區(qū)校級期末）一副三角板如圖方式擺放，8M平分NA8。，QM平分N8。。，則

ZBMD的度數(shù)為（）

BD

A.102°B.107.5°C.112.5°D.1150

【變式5-3］（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板。E尸放置在銳角三角形ABC上，使得該三角

板的兩條直角邊DE、。尸恰好分別經(jīng)過點B、C,若/A=45'，則NABD+/ACQ的值為（）

A.40°B.45°C.50°D,55°

【題型6三角形的內(nèi)角和定理的應用（新定義）】

［例6］（2023秋?海淀區(qū)校級月考）定義：當三角形中一個內(nèi)隹a是另一個內(nèi)角P的兩倍時，我們稱此三

角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征角”.如果一個“特征三角形”的一個內(nèi)角為30°,那么這

個“特征角”a的度數(shù)為.

【變式6-1］（2023春?成都期末）三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的3倍，我們把這個三角形叫

做“三倍角三角形”.在一個“三倍角三角形”中有一個內(nèi)角為60°,則另外兩個角分別為.

【變式6-2】（2023春?祁江區(qū)月考）在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱

之為“靈動三角形”.例如，三個內(nèi)角分別為120°,40°,20°的三角形是“靈動三角形”.如圖，

/MON=60°,在射線OM上找一點A,過點A作交。N于點B,以A為端點作射線AZ）,交

線段08于點C（規(guī)定0。<ZOAC<90°）.當為“靈動三角形”時，則/OAC的度數(shù)為.

【變式6-3］（2023秋?南海區(qū)校級期末）閱讀理解：如果三角形滿足一個角a是另一個角0的3倍時，那么

我們稱這個三角形為“智慧三足形”.其中a稱為“智慧角”.解答問題：

（1）一個角為60°的直角三角形（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是

（2）已知一個“智慈三角形”的“智慧角”為108。，求這個“智慈三角形”各個角的度數(shù).

專題4.1三角形的角?重難點題型

【北師大版】

【知識點1三角形的概念】

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

【知識點2三角形的分類】

三邊都不相等的三角形

按邊分類:三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

直角三角形

按角分類:三角形銳角三角形

斜三角形

、鈍角三角形

【題型1三角形的分類】

【例1】（2023秋?無棣縣期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓

圈里的A表示（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

分析?：根據(jù)三角形的分類可直接得到答案.

不等邊三角形

【解答】解：三角形根據(jù)邊分類兩邊相等的三角形

等腰三角形，

三邊相等的三角形（等邊三角粉

，圖中小橢圓圈里的人表示等邊三角形.

故選：Q.

【變式1?1】（2023秋?交城縣期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）

三角形按邊的相等關系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊一:角形；（3）三角

形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.其中，正確的有（）

個.

A.IB.2C.3D.0

分析：根據(jù)三角形的分類、三角形的三邊關系進行判斷.

【解答】解：（1）等邊三角形是一特殊的等腰三角形，正確；

（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯誤；

（3）三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確.

綜上所述，正確的結論2個.

故選:B.

【變式1-2］（2023春?淮陽區(qū)期末）下列說法:

（1）一個等邊三角形一定不是鈍角三角形；

（2）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形；

（3）一個等腰三角形一定不是銳角三角形；

（4）一個直角三角形一定不是等腰三角形.

其中正確的有（）個.

A.IB.2C.3D.4

分析：根據(jù)三角形的分類判斷即可.

【解答】解：（1）一個等邊三角形一定不是鈍角三角形，原命題是真命題；

（2）一個鈍角三角形不一定不是等腰三角形，原命題是假命題；

（3）一個等腰三角形不一定不是銳角三角形，原命題是假命題；

（4）一個直角三角形不一定不是等腰三角形，原命題是假命題；

故選：A.

【變式1?3】（2023春?長春期末）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不

可能（）

A.都是銳角三角形

B.都是直角三角形

C.都是鈍角三角形

D.是一個銳角三角形和一個鈍角三角形

分析：分三種情況討論，即可得到這兩個三角形不可能都是銳角三角形.

【解答】解：如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形.

tn

如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形.

如圖，銳角三角形沿虛線剪開即可得到一個銳角三角形和一個鈍角三角形.

因為剪開的邊上的兩個角是鄰補角，不可能都是銳角，故這兩個三角形不可能都是銳角

三角形.

綜上所述，將一個三角形剪成兩三角形，這兩個三角形不可能都是銳角三角形.

故選：A.

【題型2三角形的計數(shù)問題】

【例2】（2023秋?恩施市期中）圖中銳角三角形的個數(shù)有（）個.

分析：先找出以A為頂點的銳角三角形的個數(shù)，再找出以石為頂點的銳角三角形的個數(shù),

然后將兩種銳角三角形相加即可.

【解答】解：①以A為頂點的銳角三角形△ABC、△ADC共2個：

②以E為頂點的銳角三角形：△EOC,共1個；

所以圖中銳角三角形的個數(shù)有2+1=3（個）；

故選：B.

【變式2-1］（2023秋?齊河縣期末）如圖，共有個三角形.

分析：根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形

叫做三角形數(shù)出三角形的個數(shù).

【解答】解：圖中有：△Q48,△OAC,△。4￡),△OBC,△OCQ,△08。，共6個.

故答案為：6.

【變式2-2](2023春?江都區(qū)期中)如圖，在△ABC中，于。，那么圖中以為

面的三角形共有個.

分析：由于于力，圖中共有6個三角形，它們都有一邊在直線C8上，由此即

可確定以AD為高的三角形的個數(shù).

【解答】解：???AO_L6C于。，

而圖中有一邊在直線C8上，且以A為頂點的三角形有6個,

???以人。為高的三角形有6個.

故答案為：6

【變式2-3](2023秋?潮陽區(qū)期末)如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有

5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依此類推，則第6個圖中共有三角形個.

分析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4,即第〃個圖

形中，三角形的個數(shù)是1+4(〃-1)=4〃-3.

所以當〃=6時，原式=21.注意規(guī)律：后面的圖形比前面的多4個.

【解答】解：第〃個圖形中，三角形的個數(shù)是1+4(z?-I)=4/2-3.所以當〃=6時，

原式=21,

故答案為：21.

【知識點3三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】

三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個

內(nèi)角均大于0°且

小于180°.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

【題型3三角形的內(nèi)角和定理】

【例3】(2023春?玄武區(qū)校級月考)在△A8C中，

(1)若NA：ZB：ZC=4：5：6,則NC=度.

（2）若NA=/N8=￡/C,則NB=度.

分析：（1）設NA=4.d,則N3=5x°,ZC=6x°,利用三角形內(nèi)角和定理，即可得

出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入NC=6x°中即可求出NC

的度數(shù)；

（2）設NA=y°,則/3=2y°,ZC=3y°,利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出美于），

的一元一次方程，解之即可得出y的值，再將其代入NB=2y。中即可求出NB的度數(shù).

【解答】解：（1）設/A=4A°,則/6=54°,ZC=6A°,

依題意得：4.r+5x+6x=180,

解得：x=\2,

AZC=6A0=72°.

故答案為：72.

（2）設NA=y°,則/8=2y°,ZC=3y0,

依題意得：y+2y+3y=180,

解得：），=30,

：.ZB=2y0=60°.

故答案為：60.

【變式3-1］（2023秋?下城區(qū)期末）在△ABC中，NA是鈍角，/B=30°,設NC的度數(shù)

是a,則a的取值范圍是.

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出NA,列出不等式，求解即可.

【解答】解：設NC的度數(shù)是a,

VZA+Zfi+ZC=180c,ZB=30°,

AZA=180°-30°-a=150°-a,

???NA是鈍角，

.*.90°<150°-a<180°,

:.-300<a<60°,

Va>0°,

AO°<a<60°.

【變式3-2］（2023春?靖江市月考）如圖，線段AZ）和3C相交于點。，若NA=70°,ZC

=85°,則NB-NQ=.

CD

分析：利用三角形內(nèi)角和定理可得出NQ=1800-ZC-ZCOD,N8=180°--Z

AOB,結合對頂角相等可得出N8-NO=/C?NA=15°,此題得解.

【解答】解：???NC+NQ+NCOQ=180°,NA+N8+NAO5=180°,

/.ZD=180°-ZC-ZCOD,Z5=180°-/A-/AOB.

???ZAOB=ZCOD,

：.ZB-ZD=（180°-ZA-ZAOB）-（1800-NC-/C。。）=NC-NA=85°

-700=15°.

故答案為：15°.

【變式3-3］（2023秋?洪U區(qū)期中）如圖所示的折線圖形中，a+0=.

分析：如圖，連接8c.利用三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：如圖，連接3C

在中.Zl+Z2=180°-ZE=140°,

在四邊形ABCD中，NA+NA8C+N8CZHNO=360°,

.*.700+a+Nl+N2+0+65°=360°,

.*.a+P=360°-70°-65°-140°=85°,

故答案為85°.

【題型4直角三角形的性質】

【知識點4直角三角形的性質】

直角三角形的性質：直角三角形兩個內(nèi)角互余.

【例4】（2023春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，在△A8。中，ABA.AC,過點4作AQJ_8C交

BC于點D,若N8=36°,則/OAC的度數(shù)為（）

A.36°B.46°C.54°D.64°

分析：根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論.

【解答】解：,??4B_L4C,

.??NBAC=90°,

VADIBC,

AZADB=90a,

/.ZBAD=900-ZB=90°-36°=54°,

r.ZDAC=90°-54°=36°,

故選：A.

【變式4-1］（2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，將一副學生用三角板（一個銳角為30°的直

角三角形，一個銳角為45°的直角三角形）的直角頂點重合并如圖疊放，當,

則NAOC=（）

分析：根據(jù)直角三角形的性質和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論.

【解答】解：,

:.NAEC=NDEB=W,

VZA+ZAEC=ZC+ZAOC,ZC=45°,ZA=30°,

/.30°+in°=45°+ZAOC,

：.ZAOC=（m-15）°,

故選：B.

【變式4-2］（2023秋?德城區(qū)校級月考）如圖，△AbC中，Zfi=ZC,FD±BC,DELAB,

ZAFD=\52°,求/EOF.

分析：根據(jù)平角的定義，求得NO尸C=28。，由于，ZB=ZC,FDLBC,DEA.AB,根

據(jù)直角三角形的性質求得NEQ8=NQFC=28°,即可求得NEQF.

【解答】解：???/4萬=152°,

/.ZDFC=28°,

：.ZB=ZC,FDLBC,DEA.AB,

；?NEDB=NDFC=28°,

/.ZEDF=1800-ZEDB-ZFDC=180°-90°-28°=62°.

【變式4-3］（2023春?沐陽縣期末）已知：如圖，在中，ZACB=90a,CO是高,

A石是△入〃。內(nèi)部的一條線段，AE交CD千點F,交?！ㄓ邳c￡,口NCFE=NCEF.

求證：AE平分NCAB.

分析：在aADr中，利用三角形內(nèi)角和定理結合對頂角相等可得出ND4"=90°-NAFD

=90°-NCFE,在△AEC中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出NC4E=90°-/CEF,

再結合/CFE=NCEF可得出N。4/=NCAE,即4E平分NC4B.

【解答】證明：???CO_LA8,

???在△人。尸中，NZM尸=90°-ZAFD=9（）°-ZCFE.

VZACE=90°,

???在中，ZCAE=90°-ZCEF.

???ZCFE=ZCEF,

：.ZDAF=ZCAE,

即AE平分NC48.

【題型5三角形的內(nèi)角和定理的應用（含三角板）】

【例5】（2023春?江都區(qū)期末）將一副三角板如圖放置，則圖中的Nl=

分析：先用三角形內(nèi)角和定理求出角4的度數(shù)，即可得出結論.

【解答】解：由題意得：N2=60°,Z3=45°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，

Z4=180°-Z2-Z3=75°,

.-.Z1=Z4=75°,

故答案為：75.

【變式5-1]（2023秋?光明區(qū)期末）將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所

示疊放，若N1=N2,貝叱3=°.

分析?：根據(jù)等角的余角相等得到N3=N4,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和N5的度數(shù)即可得

到結論.

【解答】解：如圖，??21+/3=/2+/4=90。，N1=N2,

???N3=N4,

VZ5=45°,

AZ3=Z4=1（180°-45。）=67.5°,

故答案為：67.5.

【變式5-2]（2023秋?涪城區(qū)校級期末）一副三角板如組方式擺放，平分NA4。，DM

平分NBOC,則NBM/）的度數(shù)為（）

BD

A.102°B.107.5°C.112.5°D.115°

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可.

【解答】解：:BM平分NAB。，DM平分NBDC,

???NMBD=^^ABD=1X（450+30°）=37.5°,NBDM=乙BDC=1x60°=30°,

：.ZBMD=1800-ZMBD-ZBDM=1800?300?37.5°=112.5°,

故選：C.

【變式5-3]（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板。E尸放置在銳角三角形48c

上，使得該三角板的兩條直角邊DE、。尸恰好分別經(jīng)過點B、C,若乙4=45°,則N4BO+

NACQ的值為（）

A

D

A.40°B.45°C.50°D.55°

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N/WC+NAC8=】8（）°-N八=135°,NDBC+/DCB

=180°-ZBDC=90c,進而可求出NABD+NAC。的度數(shù).

【解答】解：在△ABC中，??.NA=45°,

AZABC+ZACB=\S（）0-45°=135°,

在△OBC中，VZfiDC=90°,

???NO8C+NOC8=180°-90°=90°,

ZAfi￡H-ZACD=135°-90°=45°,

故選：B.

【題型6三角形的內(nèi)角和定理的應用（新定義）】

[例6]（2023秋?海淀區(qū)校級月考）定義：當三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角p的兩倍

時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中a稱為“特征角”.如果一個“特征三角

形”的一個內(nèi)角為30°,那么這個“特征角”a的度數(shù)為.

分析?：可分三種情況：當“特征角”為30°時；當0=30。時；當?shù)谌齻€角為30°時，

根據(jù)“特征角”的定義，結合三角形的內(nèi)角和定理分別計算即可求解.

【解答】解：當"特征角”為30°時，即特征角"a=30°；

當0=30°時，“特征角”a=2X30°=60°；

當?shù)谌齻€角為30°時，"特征角”[a+a+30°=180°,解得a=100,

綜上，這個“特征角”a的度數(shù)為30°或60°或100°.

故答案為30°或60°或100°.

【變式6-1]（2023春?成都期末）三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的3倍，我們

把這個三角形叫做“三倍角三角形”.在一個“三倍角三角形”中有一個內(nèi)角為60°,

則另外兩個角分別為.

分析：分三種情形討論求解即可解決問題.

【解答】解：在△ABC中，不妨設NA=60°.

①若NA=3NC,貝i]NC=20°,ZB=100°.

②若NC=3NA,則NA=180°（不合題意）.

③若N8=3NG則NB=90°,ZC=30°,

綜上所述，另外兩個角的度數(shù)為100°,20°或90°,30°.

故答案為：100°,20c或90°,30°.

【變式6-2］（2023春?祁江區(qū)月考）在一個三角