黑龍江省鶴崗市工農區(qū)鶴崗一中2025屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

黑龍江省鶴崗市工農區(qū)鶴崗一中2025屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于函數(shù),“的圖象關于軸對稱”是“=是奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要2．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．3．是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)4．已知函數(shù)與的圖像有三個不同的公共點，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x6．已知：，且，，則A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為（）A．2B．3C．1D．28．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人9．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．10．設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．11．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．1212．已知函數(shù)，當取得極值時，x的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則__________________.14．已知將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關于對稱，則______.15．直線ax-ay-1=0與圓(x-2)2+y2=1交于A,B兩點，過A,B分別作y軸的垂線與y軸交于C,D兩點，若16．已知函數(shù)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.則的解析式為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左焦點，離心率為，點為橢圓上任一點，且的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且的面積為，求直線的方程.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面面，交于點，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.19．（12分）某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實驗室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數(shù)（顆）該農科所確定的研究方案是：先從這組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是月日與月日的數(shù)據(jù)，請根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)求出關于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆.則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試問（2）中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.20．（12分）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M是的中點，是的中點，點在上，且滿足.（1）證明：.（2）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點的位置.21．（12分）中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調研.人社部從網上年齡在15∽65歲的人群中隨機調查100人，調査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中22．（10分）設a∈R，函數(shù)f（1）當a=1時，求fx在3（2）設函數(shù)gx=fx+ax-1-e1-x，當g

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義,容易得選項B正確.2、C【解析】

運用定積分運算公式，進行求解計算.【詳解】，故本題選C.本題考查了定積分的運算，屬于基礎題.3、D【解析】

整理,即可判斷選項.【詳解】由題,因為,所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應用.4、B【解析】

將函數(shù)有三個公共點，轉化為有三個解，再利用換元法設，整理為，畫出函數(shù)圖形得到答案.【詳解】函數(shù)與的圖像有三個不同的公共點即有三個解整理得：設，當單調遞減，單調遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個不同的公共點，即二次方程有兩個解，一個小于0.一個在上或當時，當時，另一個零點在上，滿足條件.故答案為B本題考查了函數(shù)的零點問題，根據(jù)條件轉化為方程的解，再利用換元法簡化計算，本題綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.5、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a26、C【解析】分析：由題目條件，得隨機變量x的均值和方差的值，利用即可得出結論．．詳解：由題意，

故選：C．點睛：本題主要考查正態(tài)分布的參數(shù)問題，屬于基礎題，正態(tài)分布涉及到連續(xù)型隨機變量的分布密度，是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，也是自然界最常見的一種分布．7、A【解析】如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設AD＝a，則D點坐標為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設平面B1CD的一個法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝128、B【解析】

設男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計算K2【詳解】設男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計男生1656x女生1316x總計xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B本題考查了獨立性檢驗，意在考查學生的計算能力和應用能力.9、C【解析】

先求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域為，，故當時，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故選C.本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間，考查導數(shù)的運算，屬于基礎題.10、D【解析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【詳解】設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關鍵.11、C【解析】

由，得出，轉化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問題轉化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當時，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒有交點，結合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個交點，故選C.本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉化為兩個函數(shù)的公共點個數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質，如周期性、奇偶性、對稱性等性質的體現(xiàn)，屬于中等題．12、B【解析】

先求導，令其等于0，再考慮在兩側有無單調性的改變即可【詳解】解：，，的單調遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為，在兩側符號一致，故沒有單調性的改變，舍去，故選:B.本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的性質：若函數(shù)在取得極值．反之結論不成立，即函數(shù)有，函數(shù)在該點不一定是極值點，（還得加上在兩側有單調性的改變），屬基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數(shù)求導，再令可求出，于是可得出函數(shù)的解析式?！驹斀狻繉瘮?shù)求導得，，解得，因此，，故答案為：.本題考查導數(shù)的計算，在求導數(shù)的過程中，注意、均為常數(shù)，可通過在函數(shù)解析式或導數(shù)解析式賦值解得，考查運算求解能力，屬于中等題。14、【解析】

根據(jù)左右平移可得解析式；利用對稱性可得關于和的方程組；結合和的取值范圍可分別求出和的值，從而得到結果.【詳解】由題意知：和的圖象都關于對稱，解得：，又本題正確結果：本題考查三角函數(shù)的平移變換、根據(jù)三角函數(shù)對稱性求解函數(shù)解析式的問題，關鍵是能夠根據(jù)正弦型函數(shù)對稱軸的求解方法構造出方程組.15、1【解析】

利用圓心到直線的距離可求出d，再利用勾股定理求得答案.【詳解】解：可得直線直線ax﹣ay﹣1＝0的斜率為1．圓心（2，0）到直線距離d=|2a-1|∵|CD|＝1，∴|AB|=2|CD|=∴21-d2=2故答案為：1．本題主要考查直線與圓的位置關系，意在考查學生的轉化能力，分析能力，計算能力，難度不大.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)周期為，求出，再由圖象的最低點，得到振幅，及.【詳解】因為圖象與兩個交點之間的距離為，所以，所以，由于圖象的最低點，則，所以，當時，，因為，所以，故填：.本題考查正弦型函數(shù)的圖象與性質，考查數(shù)形結合思想的應用，注意這一條件限制，從面得到值的唯一性.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】

（1）設橢圓的標準方程為：1（a＞b＞0），由離心率為，點P為橢圓C上任意一點，且|PF|的最小值為1，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出橢圓C的方程；（2）設的方程為：，代入得：，由弦長公式與點到線的距離公式分別求得，由面積公式得的方程即可求解【詳解】（1）設橢圓的標準方程為：1（a＞b＞0），∵離心率為，∴，∴a，∵點P為橢圓C上任意一點，且|PF|的最小值為1，∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為1．（2）因，與軸不重合，故設的方程為：，代入得：，其恒成立，設，則有，又到的距離，解得，的方程為：或.本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，準確計算是關鍵，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)及直三棱柱特點可知；利用面面垂直性質可得平面，從而證得；利用線面垂直性質可知，從而根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，根據(jù)線面垂直性質可證得結論；（Ⅱ）根據(jù)體積橋將問題轉化為三棱錐體積的求解；根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，從而可知到平面的距離，利用三棱錐體積公式求得結果.【詳解】（Ⅰ）在直三棱柱中,四邊形為正方形平面平面，且平面平面，平面平面，又平面平面，平面又平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，，，平面為中點到平面的距離：本題考查立體幾何中線線垂直關系的證明、三棱錐體積的求解，涉及到線面垂直判定定理和性質定理、面面垂直性質定理的應用.求解三棱錐體積的關鍵是能夠通過體積橋的方式將所求三棱錐轉化為高易求的三棱錐的體積的求解.19、（1）；（2）；（3）見解析【解析】分析：（1）根據(jù)題意列舉出從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是可能出現(xiàn)的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種．根據(jù)等可能事件的概率做出結果．

（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先求出，，即求出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．

（3）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結果和所給的數(shù)據(jù)進行比較，得到所求的方程是可靠的．詳解：(1)設“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的數(shù)據(jù)”為事件A.從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)．每種情況都是等可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種．∴.∴選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率是.(2)由數(shù)據(jù)可得，.∴，.∴y關于x的線性回歸方程為.(3)當x＝10時，，|22－23|<2；同理，當x＝8時，，|17－16|<2.∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的．點睛：本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，屬中檔題.．20、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷，即；（2）設出平面ABC的一個法向量，我們易表達出，然后利用正弦函數(shù)的單調性及正切函數(shù)的單調性的關系，求出滿足條件的值，進而求出此時的正線值；（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對值為，代入向量夾角公式，可以構造一個關于的方程，解方程即可求出對應值，進而確定出滿足條件的點P的位置．【詳解】（1）證明：如圖，以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標系．則，，，從而，，，所以．（2）平面ABC的一個法向量為，則（※）．而，當最大時，最大，無意義，除外，由（※）式，當時，，．（3）平面ABC的一個法向量為．設平面PMN的一個法向量為，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為，∴，解得．故點P在的延長線上，且．本題考查的知識點是向量評議表述線線的垂直、平等關系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問題的關鍵．21、（1）能（2）①②見解析【解析】分析：（1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；

（2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率，

②根據(jù)題意知的可能取值，計算對應的概率值，寫出隨機變量的分布列，計算數(shù)學期望值．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100因為的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.（2）①抽到1人是45歲以下的概率為，抽到1人是45歲以下且另一人是45歲以上的概率為，故所