2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第12講定積分與微積分基本定理講義理含解析

PAGEPAGE16第12講定積分與微積分基本定理1.定積分的概念假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個eq\o(□,\s\up5(01))常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do15(n→∞))eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)．其中f(x)稱為eq\o(□,\s\up5(02))被積函數(shù)，a稱為積分eq\o(□,\s\up5(03))下限，b稱為積分eq\o(□,\s\up5(04))上限．2.定積分的幾何意義3.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝eq\o(□,\s\up5(01))keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k為常數(shù))．性質(zhì)2：eq\i\in(a,b,)[f(x)±g(x)]dx＝eq\o(□,\s\up5(02))eq\i\in(a,b,)f(x)dx±eq\i\in(a,b,)g(x)dx.性質(zhì)3：eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\o(□,\s\up5(03))eq\i\in(c,b,)f(x)dx.4.微積分基本定理一般地，假如f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\o(□,\s\up5(01))F(b)－F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)記為F(x)|eq\o\al(b,a)，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝eq\o(□,\s\up5(02))F(b)－F(a)．5.定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)陰影部分的面積為S.(1)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx；(2)S＝eq\o(□,\s\up5(01))－eq\i\in(a,b,)f(x)dx；(3)S＝eq\o(□,\s\up5(02))eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dx；(4)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.6.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有：(1)若f(x)為偶函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.(2)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.1.概念辨析(1)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\i\in(a,b,)|f(x)|dx.()(2)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形肯定在x軸下方．()(3)已知質(zhì)點的速度v＝mt(m>0)，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是eq\i\in(0,to,)mtdt＝eq\f(mt\o\al(2,0),2).()答案(1)√(2)×(3)√2.小題熱身(1)如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過點E(2，9)，則圖中陰影部分的面積等于()A.eq\f(8,ln3) B．8C.eq\f(9,ln3) D．9答案A答案B(3)eq\i\in(-1,2,)|x|dx＝________.答案eq\f(5,2)解析eq\i\in(-1,2,)|x|dx的幾何意義是函數(shù)y＝|x|的圖象與x軸圍成的圖形(如圖陰影所示)的面積，所以eq\i\in(-1,2,)|x|dx＝eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(5,2).(4)若eq\i\in(0,t,)x2dx＝9，則常數(shù)t的值為________．答案3解析eq\i\in(0,t,)x2dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(t,0)＝eq\f(t3,3)＝9，解得t＝3.題型eq\a\vs4\al(一)定積分的計算答案C解析2.eq\i\in(-5,5,)(3x3＋4sinx)dx＝________.答案0解析易證函數(shù)f(x)＝3x3＋4sinx為奇函數(shù)，所以eq\i\in(-5,5,)(3x3＋4sinx)dx＝0.3.eq\i\in(0,2,)eq\r(－x2＋2x)dx＝________.答案eq\f(π,2)解析求定積分的常用方法(1)微積分基本定理法其一般步驟為：①把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的和、差、積或商．②把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分．③分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)．④利用微積分基本定理求出各個定積分的值．⑤計算原始定積分的值．(2)幾何意義法將待求定積分轉(zhuǎn)化為一個易求平面圖形的面積，進而求值．如舉例說明3.(3)基本性質(zhì)法對肯定值函數(shù)、分段函數(shù)，可利用定積分的基本性質(zhì)將積分區(qū)間分解為若干部分求解．1.(2024·華南師大附中一模)eq\i\in(0,1,)|x2－4|dx＝()A.7B.eq\f(22,3)C.eq\f(11,3)D．4答案C解析2.eq\i\in(-1,1,)e|x|dx的值為________．答案2(e－1)解析3.若f(x)＝eq\r(3＋2x－x2)，則eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝________.答案π解析令y＝eq\r(3＋2x－x2)，則(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，所以函數(shù)f(x)的圖象是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓在x軸上方(包括x軸)的部分，所以eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\f(1,4)×π×22＝π.題型eq\a\vs4\al(二)利用定積分求平面圖形的面積角度1求平面圖形的面積(多維探究)1.(2024·玉溪模擬)由曲線xy＝1，直線y＝x，x＝3及x軸所圍成的曲邊四邊形的面積為()A.eq\f(11,6) B.eq\f(9,2)C.eq\f(1,2)＋ln3 D．4－ln3答案C解析條件探究1將舉例說明1中的“曲邊四邊形”改為“由曲線xy＝1，直線y＝x，y＝3所圍成的封閉平面圖形”，試求此平面圖形的面積．解條件探究2將舉例說明1中的“曲邊四邊形”改為“由y＝eq\r(x)，y＝－x＋2及x軸圍成的封閉圖形”，試求此平面圖形的面積．解角度2已知平面圖形的面積求參數(shù)答案(1,1)解析角度3與其他學(xué)問的交匯命題答案B解析由題意可得，是與面積有關(guān)的幾何概率問題．構(gòu)成試驗的全部區(qū)域是矩形OABC，面積為a×eq\f(6,a)＝6，記“向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分”為事務(wù)A，則構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域即為陰影部分面積，為利用定積分求平面圖形面積的四個步驟1．如圖所示，陰影部分的面積為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(7,6)答案C解析2．如圖，點M在曲線y＝eq\r(x)，若由曲線y＝eq\r(x)與直線OM所圍成的陰影部分的面積為eq\f(1,6)，則實數(shù)a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C．1 D．2答案C解析3．若函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，則圖中的陰影部分的面積為________．答案eq\f(2－\r(3),2)解析題型eq\a\vs4\al(三)定積分在物理中的應(yīng)用1．一輛汽車在高速馬路上行駛，由于遇到緊急狀況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車接著行駛的距離(單位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案C解析2．一物體做變速直線運動，其v-t曲線如圖所示，則該物體在eq\f(1,2)～6s間的運動路程為________m.答案eq\f(49,4)解析1．物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在始終線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5m處