2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點精準復(fù)習隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望

2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點精準復(fù)習

隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望微點1

統(tǒng)計與概率的綜合問題

自測題[2022·新高考全國Ⅱ卷]

在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查，隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

微點2

概率分布問題例2

[2024·

浙江Z20名校聯(lián)考]

某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在商場內(nèi)消費每滿100元，可獲得1張抽獎券.②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規(guī)則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規(guī)則不變）.③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎.（1）顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；

（2）顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，求他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中獲得禮品的概率；

【規(guī)律提煉】1.求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：（1）判斷取值；（2）探求概率；（3）寫分布列；（4）求期望值.2.要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，或是與符合特殊分布的另一隨機變量存在線性對應(yīng)關(guān)系，跳過分布中概率的計算，利用公式得到期望或方差.自測題

（i）試判斷得分為88分的同學(xué)能否被評為“反詐標兵”；

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2.[2024·河北邢臺二模]

“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，培養(yǎng)了許多具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生.為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理學(xué)科夏令營活動.

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微點3

風險與決策問題

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

【規(guī)律提煉】決策問題的解題策略:決策的工具是有關(guān)概率或期望,決策方案的最佳選擇是將概率或期望最大（最?。┳鳛樽罴逊桨?可能需要借助函數(shù)的性質(zhì)去實現(xiàn).自測題[2024·江西宜春二模]

為了解并普及人工智能相關(guān)知識、發(fā)展青少年科技創(chuàng)新能力，某中學(xué)開展了“科技改變生活”人工智能知識競賽，競賽試題有甲、乙、丙三類（每類有若干道題），各類試題的分值及小明答對的概率如表所示，每道題回答正確得到相應(yīng)分值，否則得0分.競賽分三輪，依次進行，每輪得分之和即為參賽選手的總得分.甲類題乙類題丙類題每題分值102040每題答對概率小明參加競賽，有兩種方案可以選擇：方案一：每輪回答一道題，共回答三道乙類題.方案二：第一輪在甲類題中選擇一道作答，若正確，則進入第二輪答題；若錯誤，繼續(xù)回答另一道甲類題，該題回答正確，進入第二輪答題，否則退出比賽；第二輪在丙類題中選擇一道作答，若正確，則進入第三輪答題，否則退出比賽；第三輪在乙類題中選擇一道作答.（1）方案一中，在小明至少答對2道乙類題的條件下，求小明恰好答對2道乙類題的概率.

（2）為使總得分的數(shù)學(xué)期望最大，小明應(yīng)選擇哪一種方案？請說明理由.

√

√√

0201000.20.320.48（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

［備選理由］例1考查概率與統(tǒng)計相結(jié)合，考查獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列及期望，考查平均數(shù)與方差的計算；例2考查古典概型，考查離散型隨機變量的期望；例3以常見的拋硬幣情境，考查二項分布、正態(tài)分布結(jié)合新定義的轉(zhuǎn)化；例4是決策問題，考查對立事件和獨立事件的概率公式.

性別身高合計女14519男81018合計221537

0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

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例2

［配例2使用］

[2024·葫蘆島二模]

某商場為調(diào)查手機賣場各品牌手機在晚上19：30到21：00時段的銷售情況，隨機抽取了某一周該時段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個品牌只抽取一個款式的手機，且不考慮價格波動.手機品牌ABCD銷售總額（萬元）1.921.84.84.82.52銷售量431067銷售利潤率0.10.070.060.050.08銷售利潤率是指一部手機的銷售價格減去出廠價格得到的利潤與該手機銷售價格的比值.（1）從該商場本周該時段賣出的手機中隨機選一部，求這部手機利潤率高于0.07的概率；

（2）從該商場本周該時段賣出的銷售單價為4800元的手機中隨機選取2部，求這2部手機的利潤率不同的概率；

√

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對