天津市靜海區(qū)獨(dú)流中學(xué)四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

天津市靜海區(qū)獨(dú)流中學(xué)四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種 C．96種 D．192種2．定義在上的函數(shù)滿足為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（）A． B． C． D．3．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的敘述：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，與有關(guān)系的把握程度就越大.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有（）A．72種 B．48種 C．24種 D．12種5．已知,是離心率為的雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率分別為，，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．)6．設(shè)，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．7．若，則（）A． B．1 C．0 D．8．已知10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，現(xiàn)從其中抽出若干個(gè)產(chǎn)品，要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．109．在數(shù)列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．1810．對(duì)于實(shí)數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于()A．4 B．8 C．16 D．3212．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)的虛部是______.14．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸建立極坐標(biāo)系，若曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為___.15．的展開式中，的系數(shù)是___．（用數(shù)字填寫答案）16．已知函數(shù)fx=x?lnx，且0<x1<x2，給出下列命題：①fx1-f三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）近年來，空氣質(zhì)量成為人們?cè)絹碓疥P(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（，簡稱）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行某項(xiàng)研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績?cè)?，與，兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的槪率．20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn).（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.21．（12分）某種兒童型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)的長為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)與的長度，使得最大？22．（10分）已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：設(shè)4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理點(diǎn)評(píng)：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應(yīng)的組合即可．2、C【解析】

由，以及，聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，所以等價(jià)為，通過導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性，由單調(diào)性定義即可得出結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)，等價(jià)為，，故在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選C。本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問題，利用單調(diào)性定義解不等式，如何構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。3、C【解析】分析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義及思想，可得結(jié)論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；正確；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；正確；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；正確；④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越大，與有關(guān)系的把握程度就越大.故④錯(cuò)誤.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】試題分析：先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種，而為了讓C與AB都不一樣，則C有2種，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種，所以一共有4x3x2x3=72種，故選A．考點(diǎn)：本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．點(diǎn)評(píng)：從某一區(qū)域涂起，按要求“要求相鄰的矩形涂色不同”，分步完成．5、B【解析】

因?yàn)镸,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以設(shè)其坐標(biāo)，然后再設(shè)P坐標(biāo)，將表示出來.做差得，即有，最后得到關(guān)于的函數(shù)，求得值域.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率，所以有，故雙曲線方程即為.設(shè)M,N,P的坐標(biāo)分別是,則，并且做差得，即有，于是有因?yàn)榈娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)集，所以或，即的取值范圍是，故選B.本題考查雙曲線的性質(zhì)，有一定的綜合性和難度.6、A【解析】試題分析：，，即，，．考點(diǎn)：函數(shù)的比較大?。?、D【解析】分析：根據(jù)題意求各項(xiàng)系數(shù)和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)得到第r+1項(xiàng)是，故當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了二項(xiàng)式中系數(shù)和的問題，二項(xiàng)式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問題；二是考查特定項(xiàng)系數(shù)問題；在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.8、C【解析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個(gè)產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：要使這3個(gè)次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個(gè)產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個(gè)次品全部被抽出的基本事件個(gè)數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因?yàn)榍蟮淖钚≈?，所?故選：C.本題考查概率的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理的進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.9、B【解析】

通過，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項(xiàng)的問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、A【解析】

先判斷和成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時(shí)，需要；成立時(shí)，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿足模3余2.i=4,n=17,滿足模3余2,不滿足模5余1.i=8,n=25,不滿足模3余2,i=16,n=41,滿足模3余2,滿足模5余1.輸出i=16.選C．12、A【解析】，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).，，又，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.綜合有實(shí)數(shù)的取值范圍為.選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用錯(cuò)位相消法可以化簡式子,最后求出它的虛部.【詳解】令,,得,,.故答案為：本題考查了錯(cuò)位相消法,考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,考查了乘方運(yùn)算的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】

轉(zhuǎn)化為，由于，即可得解.【詳解】又由于即故答案為：本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、28【解析】分析：由題意知本題要求二項(xiàng)式定理展開式的一個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，先寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，使得變量x的指數(shù)等于5，解出r的值，把r的值代入通項(xiàng)得到這一項(xiàng)的系數(shù)．詳解：要求x5的系數(shù)，

∴8-=5，

∴r=2，

∴x5的系數(shù)是（-1）2C82=28，

故答案為28點(diǎn)睛：本題是一個(gè)典型的二項(xiàng)式問題，主要考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)，注意二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)之間的關(guān)系，這是容易出錯(cuò)的地方，本題考查展開式的通項(xiàng)式，這是解題的關(guān)鍵．16、②③【解析】

根據(jù)每一個(gè)問題構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷命題正誤.【詳解】∵f當(dāng)0<x<1e時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>1e時(shí)，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當(dāng)lnx>-1時(shí)，則x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，則∴x∈(0,1e2)時(shí)，h'設(shè)x1,x2∈(0,∴x證明函數(shù)不等式問題，經(jīng)常與函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性有關(guān).解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造什么樣函數(shù)？三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）將代入可求得.根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系,可得數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入中,結(jié)合裂項(xiàng)法求和即可得前n項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),由得；當(dāng)時(shí),由得是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列當(dāng),滿足此式所以（2）由（1）可知,本題考查了通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系,裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可先計(jì)算對(duì)立事件“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”的概率，再利用相關(guān)公式即得答案；（Ⅱ）找出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別計(jì)算相關(guān)概率，從而列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（Ⅰ）解：設(shè)事件為“抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，事件的對(duì)立事件為“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”，從7天中隨機(jī)抽取3天共有種不同的選法，抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良共有種不同的選法，則,所以，事件發(fā)生的概率為.（Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.本題主要考查對(duì)立事件的相關(guān)概念與計(jì)算，超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力.19、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成績不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成績?cè)诘膶W(xué)生為分，數(shù)學(xué)成績?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學(xué)成績?cè)赱40，50）的學(xué)生為40×0.05=2（人），數(shù)學(xué)成績?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績?cè)赱40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績?cè)赱90，100]的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的槪率為．考點(diǎn)：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．20、(1)證明見解析.（2）63【解析】試題分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理證明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中點(diǎn)F，以C為原點(diǎn)，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值為63試題解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中點(diǎn)