陜西省西安市藍(lán)田縣2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

陜西省西安市藍(lán)田縣2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，隨機(jī)變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望為（）A．2 B． C． D．2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且,當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪5．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數(shù)大約為（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，則的面積為（）A．3 B． C． D．7．若直線把圓分成面積相等的兩部分，則當(dāng)取得最大值時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（）A．4B．C．2D．8．已知函數(shù)，，若，，則的大小為（）A． B． C． D．9．獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè):運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下，計(jì)算得的觀測值.下列結(jié)論正確的是A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動有關(guān)B．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動無關(guān)C．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動有關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動無關(guān)10．定義語句“”表示把正整數(shù)除以所得的余數(shù)賦值給，如表示7除以3的余數(shù)為1，若輸入，，則執(zhí)行框圖后輸出的結(jié)果為（）A．6 B．4 C．2 D．111．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．12．設(shè).若函數(shù)，的定義域是.則下列說法錯誤的是（）A．若，都是增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)B．若，都是減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)C．若，都是奇函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)D．若，都是偶函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)復(fù)數(shù)，則_________________.14．?dāng)?shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項(xiàng)a1的范圍是_____．15．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品數(shù)量之比為1：2：4：現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取150件進(jìn)行質(zhì)量檢測，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為______．16．總決賽采用7場4勝制，2018年總決賽兩支球隊(duì)分別為勇士和騎士，假設(shè)每場比賽勇士獲勝的概率為0.7，騎士獲勝的概率為0.3，且每場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）進(jìn)入春天，大氣流動性變好，空氣質(zhì)量隨之提高，自然風(fēng)光越來越美，自駕游鄉(xiāng)村游也就越來越熱．某旅游景區(qū)試圖探究車流量與景區(qū)接待能力的相關(guān)性，確保服務(wù)質(zhì)量和游客安全，以便于確定是否對進(jìn)入景區(qū)車輛實(shí)施限行．為此，該景區(qū)采集到過去一周內(nèi)某時(shí)段車流量與接待能力指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數(shù)y78767779807375（I）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認(rèn)為該線性回歸方程是可靠的．請根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中；18．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,,,,,分別是,的中點(diǎn).（1）證明:;（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）已知a，，點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換下得到點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用數(shù)學(xué)期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，EX取得最大值，此時(shí).故選：D本題主要考查數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、C【解析】試題分析：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則必有解得：，所以答案為C．考點(diǎn)：1．純虛數(shù)的定義；2．解方程．3、C【解析】

整理得到，根據(jù)模長的運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：本題考查向量模長的求解，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)椴坏仁降慕饧?，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故?yīng)選．考點(diǎn)：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則可知化為；然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；再由可得函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性，即可得出所求的解集．5、A【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的意義可得即可得出結(jié)論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數(shù)大約為100x0.04=4故選A.點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是要知道.6、C【解析】

通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【詳解】根據(jù)余弦定理，對比，可知，于是，根據(jù)面積公式得，故答案為C.本題主要考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，比較基礎(chǔ).7、D【解析】依題意可知直線過圓心，代入直線方程得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)好成立，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.8、C【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定這三個數(shù)之間的大小關(guān)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的大小關(guān)系.【詳解】，所以是上的增函數(shù).，所以，故本題選C.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)值大小關(guān)系.解決本題的重點(diǎn)是對指數(shù)式、對數(shù)式的比較，關(guān)鍵是對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的理解.9、A【解析】

先找到的臨界值，根據(jù)臨界值表找到犯錯誤的概率，即對“運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動沒有關(guān)系”可下結(jié)論?！驹斀狻?，因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動有關(guān)，故選：A。本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率是解這類問題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可得到輸出的的值.【詳解】第一次進(jìn)入循環(huán)，因?yàn)?6除以18的余數(shù)為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環(huán)；第二次進(jìn)入循環(huán)，因?yàn)?8除以2的余數(shù)為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環(huán)，輸出的值為2.故選C.本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.11、D【解析】由題意得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當(dāng)，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，列出方程組，求的得值是解得關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力.12、C【解析】

根據(jù)題意得出，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意可知，，則，據(jù)此依次分析選項(xiàng)：對于A選項(xiàng)，若函數(shù)、都是增函數(shù)，可得圖象均為上升，則函數(shù)為增函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若函數(shù)、都是減函數(shù)，可得它們的圖象都是下降的，則函數(shù)為減函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若函數(shù)、都是奇函數(shù)，則函數(shù)不一定是奇函數(shù)，如，，可得函數(shù)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，若函數(shù)、都是偶函數(shù)，可得它們的圖象都關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確．故選C．本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，解題時(shí)要理解題中函數(shù)的定義，考查判斷這些基本性質(zhì)時(shí)，可以從定義出發(fā)來理解，也可以借助圖象來理解，考查分析問題的能力，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】解法一：由題意可得：.解法二：14、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解析】

先表示出，結(jié)合{an}單調(diào)遞增可求首項(xiàng)a1的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項(xiàng)差的符號來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、【解析】

根據(jù)甲乙丙丁的數(shù)量之比，利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)3000件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1：2：4：8，用分層抽樣的方法從中抽取150件，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為，故答案為：1．本題主要考查分層抽樣的定義和應(yīng)用，熟練掌握分層抽樣的定義是解決問題的關(guān)鍵．16、0.3108【解析】分析：設(shè)“勇士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出勇士隊(duì)以比分4：1獲勝的概率．設(shè)“騎士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出騎士隊(duì)以比分4：1獲勝的概率．則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為.詳解：設(shè)“勇士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出勇士隊(duì)以比分4：1獲勝的概率．則設(shè)“騎士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出騎士隊(duì)以比分4：1獲勝的概率．則則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為即答案為0.3108.點(diǎn)睛：本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率，同時(shí)考查了分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見解析【解析】

（I）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.【詳解】（I）由表中的數(shù)據(jù)，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當(dāng)時(shí)，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用公式準(zhǔn)確求解回歸直線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),從而確定與的坐標(biāo),通過求二者的數(shù)量積證明.(2)結(jié)合第一問,計(jì)算出直線的方向向量和平面的法向量,結(jié)合線面角余弦值和誘導(dǎo)公式即可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:在底面內(nèi)作,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)則,,,由可求得的坐標(biāo)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出,即(2)解:由第一問可知:.設(shè)平面的法向量為則,不妨設(shè)則,此時(shí)設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.本題考查了空間幾何中的線線垂直的判定,考查了線面角的求解問題.解答此類問題時(shí),一般情況下根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,根據(jù)已知的垂直、平行、數(shù)量關(guān)系等條件,求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出方向向量、法向量的坐標(biāo).易錯點(diǎn)在于對于直線和平面所成角的問題中,不少同學(xué)錯把求得的直線方向向量和平面法向量的夾角認(rèn)為是所求角.19、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，從而，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得在上的解析式，進(jìn)而可得在上的解析式．（2）將問題轉(zhuǎn)化為處理．由于為偶函數(shù)，故只可求出當(dāng)時(shí)的最小值即可，可得．又，由，得，即為所求．試題解析：（1）設(shè)，則，∴，∵定義在偶函數(shù)，∴∴．（2）由題意得“對任意，都有成立”等價(jià)于“”．又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù).所以在區(qū)間和區(qū)間上的值域相同.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則令，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以．又由，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的解析式，對于偶函數(shù)的值域根據(jù)其對稱性只需求在y軸一側(cè)的值域即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．（2）本題中，將“對任意，都有成立”轉(zhuǎn)化為“”來處理，是數(shù)學(xué)中常用的解題方法，這一點(diǎn)要好好體會和運(yùn)用．（3）形如的函數(shù)的值域問題，可根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解．20、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見解析．【解析】【試題分析】（1）直接對函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來可得：，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；（3）先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此時(shí)，有：解：（1））當(dāng)時(shí)，則，令得，所以有即時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，分離參數(shù)可得：，設(shè)，，∴，又∵，∴，則在上單調(diào)遞減，∴，∴即的取值范圍為.（3）證明：等價(jià)于設(shè)，∴，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，∴恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴，因此時(shí)，有.點(diǎn)睛：解答本題的第一問時(shí)，先對函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；求解第二問時(shí)，先將不等式中參數(shù)分離出來可得，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；第三問的證明過程中，先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此證得當(dāng)時(shí)，不等式成立。21、（1）；（2）矩陣A的特征值為，3，分別對應(yīng)的一個特征值為，；（3）【解析】

（1）直接利用矩陣的乘法運(yùn)算即可；（2）利用特征多項(xiàng)式計(jì)算即可；（3）先計(jì)算出，再利用計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，，則，解得.（2）由（1）知，矩陣A的特征多項(xiàng)式，令，得到A的特征值為，.將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值的一個特征向量為.再將