四川省成都市達(dá)標(biāo)名校2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

四川省成都市達(dá)標(biāo)名校2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,(為自然對數(shù)的底數(shù)),且當(dāng)時,,則()A．f(1)<f(0) B．f(2)>ef(0) C．f(3)>e3f(0) D．f(4)<e4f(0)3．為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位4．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)5．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，若有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若y=fx在-∞,+∞可導(dǎo)，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若函數(shù)有6個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．某學(xué)校為了調(diào)查高三年級的200名文科學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對該年級的文科學(xué)生進(jìn)行編號,從001到200,抽取學(xué)號最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,則這兩種抽樣的方法依次為()A．分層抽樣,簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣,分層抽樣C．分層抽樣,系統(tǒng)抽樣 D．簡單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣9．已知6個高爾夫球中有2個不合格，每次任取1個，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．11．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．12．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第個同學(xué)是男生的條件下，抽到第個同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有7張卡片分別寫有數(shù)字從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)的個數(shù)是__________．14．如圖，將標(biāo)號為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域有公共邊的顏色不同，則不同的染色方法有______種15．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn)，平面交于點(diǎn)，則的長為__________．16．設(shè)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，其中，是與無關(guān)的實(shí)數(shù)，且，的最小值為1.則的最小值______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．18．（12分）某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動購水機(jī)處每購買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學(xué)校計劃將捐款以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學(xué)金500元；綜合考核21～50名，獲二等獎學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學(xué)金.（1）若售出水量箱數(shù)與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時，預(yù)計收入為多少元？（2）甲乙兩名學(xué)生獲一等獎學(xué)金的概率均為，獲二等獎學(xué)金的概率均為，不獲得獎學(xué)金的概率均為，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個等級的獎學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎學(xué)金之和的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線方程，其中，.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，的值.21．（12分）質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的12個零件質(zhì)量進(jìn)行檢測．甲、乙兩個車間的零件質(zhì)量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質(zhì)量不超過20克的為合格．（1）質(zhì)檢部門從甲車間8個零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測，若至少2件合格，檢測即可通過，若至少3件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；（2）若從甲、乙兩車間12個零件中隨機(jī)抽取2個零件，用X表示乙車間的零件個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是.求：（1）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【詳解】依題意，，函數(shù)的振幅為，在中令求得初相為.故選C.本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數(shù)周期的計算.屬于基礎(chǔ)題.其中表示的是振幅，是用來求周期的，即，要注意分母是含有絕對值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數(shù).2、C【解析】

構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后結(jié)合題意判斷其單調(diào)性，然后比較大小【詳解】令，，時，，則，在上單調(diào)遞減即，，，，故選本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，構(gòu)造新函數(shù)有一定難度，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，接著進(jìn)行賦值來求函數(shù)值的大小，有一定難度3、D【解析】

先利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選D．本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，故選：D．本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

根據(jù)進(jìn)行參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件得到，并判斷單調(diào)性，因而求出范圍【詳解】若有兩個不同的零點(diǎn)，則，設(shè)，則與有兩個交點(diǎn)，由題，，令，則，故在遞減，在遞增，，故選D本題考查構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性，用參變分離的方法轉(zhuǎn)化零點(diǎn)為交點(diǎn)問題，及利用單調(diào)性求參6、D【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】∵lim△x→0∴23即23則f'故選D．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點(diǎn)等價于當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點(diǎn)，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【詳解】函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點(diǎn)，則當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點(diǎn)，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當(dāng)0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當(dāng)x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域?yàn)椋ī?，]，②當(dāng)x≥2時，f（x）=＜0，且當(dāng)x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當(dāng)2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域?yàn)閇﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當(dāng)﹣＜m＜0時，當(dāng)x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點(diǎn)，故當(dāng)﹣＜m＜0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點(diǎn)，當(dāng)x=0時,函數(shù)有5個零點(diǎn)．故選D.(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數(shù)的零點(diǎn)問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.8、D【解析】第一種抽樣是簡單隨機(jī)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣是指從樣本中隨機(jī)抽取一個，其特點(diǎn)是容量不要太多．第二種是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣就是指像機(jī)器一樣的抽取物品，每隔一段時間或距離抽取一個．而分層抽樣，必需是有明顯的分段性，然后按等比例進(jìn)行抽?。蔬xD9、B【解析】

記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，然后即可求出答案.【詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)所以故選：B本題考查的是條件概率，較簡單.10、C【解析】

依次對選項(xiàng)求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案。【詳解】對于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。11、B【解析】

分析:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點(diǎn)睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.12、C【解析】

設(shè)事件A表示“抽到個同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個同學(xué)也是男生”，則，，由此利用條件概率計算公式能求出在抽到第個同學(xué)是男生的條件下，抽到第個同學(xué)也是男生的概率.【詳解】設(shè)事件A表示“抽到個同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個同學(xué)也是男生”，則，，則在抽到第個同學(xué)是男生的條件下，抽到第個同學(xué)也是男生的概率.故選：C本題考查了條件概率的求法、解題的關(guān)鍵是理解題干，并能分析出問題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、114【解析】

根據(jù)題意,按取出數(shù)字是否重復(fù)分4種情況討論:①、取出的4張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4;②、取出的4張卡片中4有2個重復(fù)數(shù)字，則2個重復(fù)的數(shù)字為1或2;③若取出的4張卡片為2張1和2張2;④、取出的4張卡片種有3個重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)的數(shù)字為1.分別求出每種情況下可以排出四位數(shù)的個數(shù),由分類計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：(1)取出的4張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4，此時=24種順序,可以排出24個四位數(shù);(2)取出的4張卡片中有2個重復(fù)數(shù)字,則2個重復(fù)的數(shù)字為1或2，若重復(fù)的數(shù)字為1,在2、3、4中取出2個,有種取法,安排在四個位置中,有種情況,剩余位置安排數(shù)字1,可以排出3×12=36個四位數(shù),同理,若重復(fù)的數(shù)字為2,也可以排出36個重復(fù)數(shù)字;(3)若取出的4張卡片為2張1和2張2,在4個位置安排兩個1,有種情況,剩余位置安排兩個2,則可以排出6×1=6個四位數(shù);(4)取出的4張卡片中有3個重復(fù)數(shù)字,則重復(fù)的數(shù)字為1,在2、3、4中取出1個卡片,有種取法,安排在四個位置中,有種情況,剩余位置安排1,可以排出3×4=12個四位數(shù);所以一共有24+36+36+6+12=114個四位數(shù).故答案為:114.本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,屬于難題,有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時,既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率,難度較難.14、30【解析】

由題意按照分類分步計數(shù)原理，可逐個安排，注意相鄰不同即可.【詳解】對于1，有三種顏色可以安排；若2和3顏色相同，有兩種安排方法，4有兩種安排，5有一種安排，此時共有；若2和3顏色不同，則2有兩種，3有一種.當(dāng)5和2相同時，4有兩種；當(dāng)5和2不同，則4有一種，此時共有，綜上可知，共有種染色方法.故答案為：.本題考查了排列組合問題的綜合應(yīng)用，分類分步計數(shù)原理的應(yīng)用，染色問題的應(yīng)用，屬于中檔題.15、1【解析】

作的中點(diǎn)，連接，，得四邊形為平行四邊形即可求解【詳解】作的中點(diǎn)，連接，，易知.又面面故，所以，由于，所以四邊形為平行四邊形，所以.故答案為1本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系及線段的計算，考查面面平行的基本性質(zhì)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.16、【解析】

化簡，結(jié)合單調(diào)性及題意計算出，的表達(dá)式，由的最小值為1計算出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又關(guān)于的不等式在上恒成立，所以，，因?yàn)榈淖钚?，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，即的最小值為.本題考查了計算最值問題，題目較為復(fù)雜，理清題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值，運(yùn)用基本不等式計算出結(jié)果，緊扣題意是解題關(guān)鍵，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2)見解析.【解析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當(dāng)時，，∴或(舍,).當(dāng)時，，∴．當(dāng)時，，∴．猜想：.(2)證明：①當(dāng)時，顯然成立．②假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，,即∴.由①、②可知，，.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對所有的自然數(shù)n都成立．18、（1）206；（2）見解析【解析】試題分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求線性回歸方程自變量為9的函數(shù)值，(2)先確定隨機(jī)變量取法，在利用概率乘法求對應(yīng)概率，列表可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1），經(jīng)計算，所以線性回歸方程為，當(dāng)時，的估計值為206元；（2）的可能取值為0，300，500，600，800，1000；；；；；；；03005006008001000所以的數(shù)學(xué)期望．19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由得平面PAE，進(jìn)而可得證；（2）先證得平面，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面的法向量為和，設(shè)與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以.又，，所以為等邊三角形，.因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平?（2）解：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，同理可證，所以平面.如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設(shè)平面的法向量為，由，，得，不妨設(shè)，得.又，，所以.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.用向量法求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20、(1)，.(2).【解析】分析：(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先求P直角坐標(biāo)，再設(shè)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達(dá)定理得結(jié)果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)