華羅庚數(shù)學(xué)課本六年級(jí)

第一章分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算在分?jǐn)?shù)計(jì)算咩，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)類似下面的題目：1×22×33×44×55×699×1002×3+4×6+6×9+...+200×300如果不去觀察、嘗試，找出其中的奧秘，將很難解決這樣的問(wèn)題。同學(xué)們，你們能想出好的辦法嗎？本章將就這樣的問(wèn)題，從約分法和分?jǐn)?shù)的拆分角度加以解決。只要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多研究、多嘗試、多思考，你還會(huì)想出更好、更奇妙的方法，第一節(jié)巧用運(yùn)算定律和性質(zhì)探究目標(biāo)1．能夠根據(jù)四則運(yùn)算的定律及性質(zhì)使一些計(jì)算變得簡(jiǎn)便。2．能利用和、差、積、商的變化規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。3．進(jìn)一步提高分析、抽象、綜合、概括等能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在例用簡(jiǎn)便方法計(jì)算14×+0.65×-×14+×0.65的結(jié)果。建議：1．先觀察題目中數(shù)字的特點(diǎn)，找出能夠簡(jiǎn)便的方法。2．要能夠合理應(yīng)用運(yùn)算定律。討論：1.14×82．0.65×5證明：題中第一組和第三組的兩個(gè)乘式可以利用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算，第二組和第四組的兩個(gè)乘式可以利用乘法分配咎簡(jiǎn)便計(jì)算。所以，=2＋0.65=2.65[完全解題]通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)與1接近，可以把看成1這樣就可以運(yùn)用乘法的分配律達(dá)到簡(jiǎn)算目的。55×1=55×(1－)1=55×1－55×1=54通過(guò)觀察，還可以發(fā)現(xiàn)55加上1正好等于56，所以也可以這樣簡(jiǎn)算：=56×=1×=55-1=54[技法點(diǎn)睛]本題關(guān)鍵是先要觀察題目的特點(diǎn)，可以將第一個(gè)因數(shù)變化，也可以將第二例2計(jì)算：×(4.85÷-3.6＋6.15×3)。[完全解題]題中的4.85÷就是4.85×,即4.85×3?！?4.85÷-3.6＋6.15×3)=×(4.85×3－3＋6.15×3)1=×364=9[技法點(diǎn)睛]本題中關(guān)鍵是將4.85÷15改寫(xiě)成4.85×,再運(yùn)用乘法分配率進(jìn)行簡(jiǎn)[完全解題]根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)可以把(36－7)÷3.6改寫(xiě)成36÷3.6－7÷3.6。15=12.5×(36÷3.6－7.2÷3.6)=12.5×8=100[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是將算式中的某個(gè)整體看作一個(gè)數(shù)，再運(yùn)用有關(guān)定律進(jìn)行簡(jiǎn)便=1480.65)×(0.23＋0.34).[完全解題]仔細(xì)觀察，這組算式中的數(shù)就是1，0.23，0.34，0.65，它們按某種規(guī)律排列，像這樣的題目可以將它的某一部分看作一個(gè)整體，用字母代替，這樣可簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)設(shè)A＝0.23＋0.34,B＝0.23＋0.34＋0.65。=B＋AB－A－AB(AB與BA一樣的結(jié)果，且可相互抵消)=B－A=0.23＋0.34＋0.65－(0.23＋0.34)=0.65[技法點(diǎn)睛]本題從題目本身看是不能簡(jiǎn)便計(jì)算的，所以要善于運(yùn)用拆數(shù)的方法。18-)×++(1－-)×++(1－)×。+(46－)×+(431[完全解題]利用乘法的分配律，可以將每組中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別與相乘，然后再利8用乘法分配律將其重新整理。49、46、43、…、1是一組等差數(shù)列，一共(49－1)÷3＋1=原式＝49×-×+46×-×+43×原式＝49×-×+46×-×+43×-×++1×-×=(49＋46＋43+…+1)×-××17=53-=52[技法點(diǎn)睛]本題在利用乘法分配律之前，要運(yùn)用等差數(shù)列求和的方法求出這些數(shù)的和EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(148),149)可以變式為這樣三組分?jǐn)?shù)乘整數(shù)中的三個(gè)分?jǐn)?shù)就變得相同了，利用乘法分配律將其簡(jiǎn)便計(jì)算。[技法點(diǎn)睛]在整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘中，對(duì)于a×,可以變式為a×b×或者b×等形式，這樣的變式有利于找出相同的因數(shù)，從而可以利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。例7(2002·四川省小學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營(yíng))計(jì)算：29×+39×+456[完全解題]題目中每組兩個(gè)因數(shù)中的第一個(gè)因數(shù)接近一個(gè)整十?dāng)?shù)，并且這個(gè)整十?dāng)?shù)正好是第二個(gè)因數(shù)分母的倍數(shù)。利用約分的方法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。原式＝(30－)×+(40－)×+(50－)×+(60－)×=30×-×+40×-×+50×-×+60×-×=20＋30＋40＋50－()1=140－29=137[技法點(diǎn)睛]當(dāng)一個(gè)數(shù)接近整十、整百……時(shí)，可以先將其看作整十、整百數(shù)……，然后再利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。乘法的分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。5=AB＋A－AB－B1=×1[技法點(diǎn)睛]在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以將若干個(gè)數(shù)的和看作一個(gè)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便，可以將相同的一組數(shù)用字母代替。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！一、選擇題。(每題5分，共20分)A．285B．2850C．285002.(2003·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽)1.1＋1.91＋1.991+…+1.99...991的結(jié)果是()。100個(gè)9100個(gè)0100個(gè)0100個(gè)0A.1235B.12350C.123500—一A.46.4B.464C.4.64二、填空題。(每題5分，共20分)1.(2003·廣東省小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)×10+×9+×8++×2+=。2.(2003·天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽)1.1＋3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17+19.19＝。4.(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)85.42×7903.29－286.5×790.329＋79032.9×4.323=。三、解答題探究目標(biāo)1.能夠利用約分的方法直接將分子、分母中公有因式進(jìn)行月份從而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的目的。2.能夠靈活地根據(jù)四則運(yùn)算的性質(zhì)將分子、分母轉(zhuǎn)化、改寫(xiě)、變形等，找出其公有的因式，達(dá)到用約分法簡(jiǎn)便計(jì)算的目的。3.進(jìn)一步提高分析、抽象、概括的能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！1例有2000個(gè)桃子，猴王分給一批猴子吃，第一天吃了總數(shù)的，第二天吃了余下的2,第三天吃了第二天余下的，以后每天都吃前一天余下的、、…、。建議：1.先找出每天吃的相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾。2．通過(guò)列式探索其中的規(guī)律。討論：1．每天吃的都是前一天余下的幾分之幾，所以，可以依次進(jìn)行乘法計(jì)算剩余的2．前一天分?jǐn)?shù)的分母與后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子正好能約掉。1證明：第一天吃了以后還余下2000×(1－)，第二天吃了以后還余下2000×(1-2,依此類推，一直到吃去前一天的后還余下=1(個(gè))[完全解題]題中的分子部分每一個(gè)加數(shù)都是分母中每一個(gè)相應(yīng)加數(shù)縮小10倍的結(jié)果，可將分母部分處理成(1.2＋2.3＋3.4＋4.5＋5.6＋6.7)×10，而分子部分可寫(xiě)成(1.2＋2.3+3.4＋4.5＋5.6＋6.7)×1這樣就可將公有的(1.2＋2.3＋3.4＋4.5＋5.6＋6.7)約去。12+23+34+45+56+67)×101+=5×(＋)這樣分子分母中就有相同的因式(＋)。=13[技法點(diǎn)睛]本題中的被除數(shù)與除數(shù)中分?jǐn)?shù)部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率將其寫(xiě)成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位和的形式。[完全解題]1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝8×8這樣可與分母部分的888888×888888約分。11-1;二是將分母變化，1993×1994－1＝(1992＋1)×1994－1＝1992×1994＋1993.==1=1[技法點(diǎn)睛]本題中的分子與分母要進(jìn)行變式，可以將分子變的與分母一樣分母變的與分子一樣。1[完全解題]1＋3＋5＋7+…+199＝(1＋199)×100÷22＋4－t6＋8+…+200＝(2＋200)×100÷2這樣分子和分母中都有100÷2。可用約分法進(jìn)行簡(jiǎn)算。1+3+5+7+...+1992+4+6+8+...+200(1+199)×100÷2=(2+200)×100÷2=[技法點(diǎn)睛]本題中的分子與分母都是等差數(shù)列，可以利用數(shù)列求和的方法進(jìn)行約分。AB[完全解題]將5×6×7×8×9看作A，1×2×3×4×5看作B，則原式變?yōu)锳==1-——=-=1－。AAAA1[技法點(diǎn)睛]本題中的分子有一部分與分母相同，為了解題方便，可以將每個(gè)乘式看作123456789121234567890×1234567892123456789121234567890×1234567892=1234567891×1234567890＋12345678911234567890×1234567892＝1234567890×(1234567891＋1)=1234567890×1234567891＋1234567890這樣分母部分的差為1。123456789121234567890×1234567892=12345678911234567890==123456789[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是利用乘法分配率將分母進(jìn)行變式。[完全解題]1×2＝1×1×(1×2)2×4＝2×2×(1×2)3×6＝3×3×(1×2)4×8＝4×4×(1×2)即1×2＋2×4＋3×6＋4×8＝1×2×(1×1＋2×2＋3×3＋4×4)2×3＝1×1×(2×3)4×6＝2×2×(2×3)6×9＝3×3×(2×3)8×12－4×4×(2×3)即2×3＋4×6＋6×9＋8×12＝2×3×(1×1＋2×2＋3×3＋4×4)3[技法點(diǎn)睛]本題的關(guān)鍵是將分子與分母進(jìn)行變式，將相同的因數(shù)進(jìn)據(jù)乘法分配率進(jìn)行約分。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！A．1B．2001C2．(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽等于()EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(4),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),4)3．(吉林省第十屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)等于()。A.1B．C．等于().123456789012345678913．(第一屆“陳省身”杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽) 34200220034．(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)=。=。第三節(jié)拆項(xiàng)法探究目標(biāo)1.能靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)拆分的方法使一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)數(shù)列求和的計(jì)算簡(jiǎn)便。2．進(jìn)一步提高分析、綜合、抽象、概括等能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！建議：1.仔細(xì)觀察題目的特點(diǎn)，找出解題的方法。2.想辦法將分?jǐn)?shù)變化形式。討論：1．分?jǐn)?shù)的分母依次是等差數(shù)列的和，可以用求和的公式進(jìn)行整理。2．將分?jǐn)?shù)的分母變成等差數(shù)列求和的形式，然后根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)的特點(diǎn)改寫(xiě)成倒數(shù)的形式，最后將分?jǐn)?shù)的分母變換成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘的形式，這樣就可以利用分?jǐn)?shù)拆分的方法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算了。證明：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來(lái)，再根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。491=1－50[技法點(diǎn)睛]本題是直接利用拆項(xiàng)的方法，將每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成相應(yīng)的減法形式。5×88×1198×101[技法點(diǎn)睛]本題分母中的兩個(gè)因數(shù)相差3，故是分?jǐn)?shù)的拆分和乘法分配率的綜合應(yīng)用。[完全解題=[技法點(diǎn)睛]本題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積[完全解題]這道題中各分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母依次是等差數(shù)列，可將其變形為=2×(+-+-=2×(+-+-++——-)1=2×(1－)=1——[技法點(diǎn)睛]本題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，可以將分母用等差數(shù)列求和的形式表示出來(lái)，再根據(jù)1除以一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。+-+。[完全解題]觀察每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，可以發(fā)現(xiàn)，它們都是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的以利用分?jǐn)?shù)拆分的方法進(jìn)行計(jì)算。+)＋(＋)1=1--++--++--++--++21=1-+——2本題巧用分?jǐn)?shù)拆分的方法，分?jǐn)?shù)的分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，分子正好是這兩個(gè)自然數(shù)的和，所以可拆成這兩個(gè)自然數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)單位的和。例6(2003·浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課冬令營(yíng))計(jì)算：++++++++。、這三個(gè)分?jǐn)?shù)，可以拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，然后再根據(jù)題中的相關(guān)分?jǐn)?shù)合并。14=1＋1++-8[技法點(diǎn)睛]根據(jù)題目的特點(diǎn)巧妙地將一些分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和或者兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，然后再根據(jù)加減法的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。[完全解題]先將題目中分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起相加，再利用乘法的分配律進(jìn)行簡(jiǎn)1=1+×(1＋2＋3＋4+…+59)2=886[技法點(diǎn)睛]題目中所有的分?jǐn)?shù)分母為n(2≤n≤60)，利用求和公式：創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！A.1B.C.A.4B.C.A.1B.C.11A.B.5C.134.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13本章測(cè)試卷1.32×0.125×0.25=2.9.7÷25÷0.4=3.72÷1.2＋7.2÷1.8=4.55×(-)=6.25×(9.1＋9.1＋9.1＋9.1)=7.777×9＋37×111=8.9＋99＋999+9.471471471÷157157157=2.(4.5×11.1×4.8)÷(33.3×0.8×0.9)123+123123+123123123234+234234+2342342343．王師傅5月1日開(kāi)始加工零件，第一天加工10個(gè)，以后每天都比前一天多加工2第二章分?jǐn)?shù)應(yīng)用題永豐小學(xué)開(kāi)展“獻(xiàn)愛(ài)心”活動(dòng)，號(hào)召每位同學(xué)向希望小學(xué)捐出自己的零花錢(qián)。六(1)班小明捐出零用錢(qián)的，小亮也捐出零用錢(qián)的。你能知道，他們倆誰(shuí)捐的錢(qián)多嗎？肯定有同學(xué)認(rèn)為兩人捐的錢(qián)一樣多。實(shí)際上，這一題有三種可能：第一種，如果小明的零用錢(qián)比小亮的多，那么小明的捐款多；第二種，如果小明的零用錢(qián)比小亮的少，那么小明的捐款少；第三種，如果小明的零用錢(qián)和小亮的一樣多，那么兩人的捐款一樣多。上面這個(gè)問(wèn)題之所以21也就是說(shuō)，是“誰(shuí)”的幾分之幾，這里“誰(shuí)”就是單位“1”。那么小明零用錢(qián)的和小亮21零用錢(qián)的是相對(duì)不同的單位“1”而言的，由此造成兩人捐款的多少取決于兩人本身原有2零花錢(qián)的多少。因此在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，明確單位“1”是非常關(guān)鍵的，否則就要出現(xiàn)錯(cuò)誤。在日常生活、生產(chǎn)勞動(dòng)中，我們會(huì)經(jīng)常需要利用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法解決實(shí)際問(wèn)題。這一章，我們一起來(lái)探討一下分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律。第一節(jié)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本類型探究目標(biāo)1.理清分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路，明礴單位“1”，以及具體數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3．滲透靈活應(yīng)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題方法意識(shí)，提高解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般題型可以分為以下兩種類型：2．已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。討論：實(shí)際上，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本解題思路和我們所學(xué)的倍數(shù)應(yīng)用題的解題思路是一致要求桃樹(shù)多少棵，就要求梨樹(shù)棵數(shù)的兩倍是多少，用“20×2”計(jì)算，這就是倍數(shù)應(yīng)用12要求桃樹(shù)多少棵，就是要求梨樹(shù)棵數(shù)的是多少，用“20×”計(jì)算，這就是分?jǐn)?shù)應(yīng)在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，首先要找出題目中的關(guān)鍵句進(jìn)行分析，通過(guò)分析關(guān)鍵句，確定把什么看作單位“1”，找出解題的數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義列式解答。如1上面第(2)題中關(guān)鍵句是“桃樹(shù)棵樹(shù)是梨樹(shù)的”，把梨樹(shù)棵數(shù)看作“1”，關(guān)系式是：“梨2樹(shù)棵數(shù)×=桃樹(shù)棵數(shù)”。要求桃樹(shù)多少棵，就用“梨樹(shù)的棵數(shù)×”,要求梨樹(shù)棵數(shù)，1就用“桃樹(shù)棵數(shù)÷”。2分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛。這一類應(yīng)用題的變化很多，但只要抓住關(guān)鍵句進(jìn)行分析，弄清其中的單位“1”，明確數(shù)量關(guān)系式，認(rèn)真思考，也不難發(fā)現(xiàn)如果單位“1”已知，用乘法計(jì)算：如果單位“1”未知，要先求出單位“1”，用除法或列方程計(jì)算；其次，在列式時(shí)要考慮具體數(shù)量和分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。[完全解題]由于其中的兩個(gè)分率“”和“”都是把這桶油的總數(shù)作為“1”，我1們要先求出這桶油一共多少升？根據(jù)題意可以知道，一桶油的正好是4升，可以求出這314÷=12(升)3要求還剩多少升，我們可以先求出還剩這桶油的幾分之幾：11--3————=5(升)[技法點(diǎn)睛]該題關(guān)鍵在于找出“第一次用去4升”和幾分之幾對(duì)應(yīng)。求還剩多少升，1例2某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一批零件，第一次完成計(jì)劃的丟，第二次完成計(jì)劃的2143,第7[完全解題]把“計(jì)劃生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)”當(dāng)作“1”，根據(jù)題意，我們首先要求出450個(gè)零件占計(jì)劃任務(wù)的幾分之幾。實(shí)際上“450個(gè)零件”可以分為兩部分：一是完成剩下的任務(wù)(1)；二是超出計(jì)劃的“450÷(1)9=450÷=1400(個(gè))14[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯饡r(shí)關(guān)鍵在于找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率。這道例題我們也可以設(shè)“計(jì)劃生產(chǎn)零件x個(gè)”，用方程的方法解答，你試試看！例3王師傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54個(gè)，第二、第三和第四天共1做了90個(gè)。已知第二天做的個(gè)數(shù)占這批零件的。這5151=144÷15=120(個(gè))[技法點(diǎn)睛]把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，而54＋90＝144(個(gè))對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)為1這批零件的總數(shù)單位“1”和第二天做的“”，因此，可以求出這批零件的總數(shù)。5例4六(1)班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。六“男生的”＋“女生的”＝30(人)3=30÷4=40(人)答：六(1)班共有學(xué)生40人。[技法點(diǎn)睛]本題關(guān)鍵在于我們要理解：“男生的”加上“女生的”也就是男生與創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！21．一個(gè)糧食倉(cāng)庫(kù)，原來(lái)存有一批糧食，運(yùn)走后，又運(yùn)來(lái)5.6噸，這時(shí)現(xiàn)有存糧是原34來(lái)存糧的，糧庫(kù)原有存糧()噸。5A.9.6B．12C．422．一種石英表，先漲價(jià)，然后降價(jià)，這時(shí)售價(jià)49.5元，原價(jià)()元。A.50B．49.5C．40.53．小紅讀一本書(shū)，第一天讀了全書(shū)的，第二天讀了余下的，兩天共讀30頁(yè)，這A.36B．55C．4034．車(chē)間有52名工人，后來(lái)又調(diào)進(jìn)4名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)的，這個(gè)車(chē)4A.32B．24C．201．把甲班人數(shù)的調(diào)入乙班后，兩班人數(shù)相等，原來(lái)乙班人數(shù)是甲班人數(shù)的。2．一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，行了全程的后，超過(guò)中點(diǎn)千米，甲、乙兩地全程——3．兩袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果從甲袋倒入乙袋6千克，這時(shí)甲袋大米重量14．兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的2倍，甲桶油用去6千克，乙桶油用去1.5千2克后，兩桶油剩下的一樣重。甲桶油原來(lái)有千克，乙桶油原來(lái)有千克。11．一輛汽車(chē)，從車(chē)站開(kāi)出時(shí)坐滿了人，途中到達(dá)某站，有的乘客下車(chē)，又有21人32．兩堆煤，從甲堆煤運(yùn)走，乙堆煤運(yùn)走一部分后剩下，這時(shí)甲堆重量是乙堆重量3523．一條水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的，這時(shí)剩下的與挖好的相等。5第二節(jié)單位“1”的轉(zhuǎn)化探究目標(biāo)1．根據(jù)題意，能夠轉(zhuǎn)化題中的單位“1”，統(tǒng)一單位“1”。2．根據(jù)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句，轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之3.善于發(fā)現(xiàn)題中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。利用“不變量”作為中間條件進(jìn)行解答；探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！為解題增加了難度；我們?cè)诮獯鸱謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句。諸如此類，我們?cè)诮忸}的時(shí)候，必須通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化確定題當(dāng)題目中出現(xiàn)變化量，造成題目中單位“1”的量無(wú)法確定的時(shí)候，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。有的時(shí)候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進(jìn)行解答；有的時(shí)候，則應(yīng)以不變量作為單位“1”，轉(zhuǎn)換題中的關(guān)鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進(jìn)行解答。當(dāng)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句而無(wú)法確定單位“1”時(shí)，我們可以先根據(jù)關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之比來(lái)計(jì)算。1例1甲、乙、丙、丁四人共植樹(shù)60棵，甲植樹(shù)的棵數(shù)是其余三人的，乙植樹(shù)的棵2三個(gè)單位“1”是不同的，這就是我們所說(shuō)的單位“1”不統(tǒng)一。我可以把四人的總植樹(shù)棵數(shù)作為單位“1”，“甲植樹(shù)棵數(shù)是其余三人的”，可以理解為甲植樹(shù)棵數(shù)占1份，其丙植樹(shù)棵數(shù)占總棵數(shù)的。這些過(guò)程就是所謂的轉(zhuǎn)換單位“1”，使單位“1”統(tǒng)一那么，求丁植樹(shù)多少棵，就是求60棵數(shù)的（1是多少。=60×=13(棵)1例2五(1)班原計(jì)劃抽調(diào)的人參加“義務(wù)勞動(dòng)”，臨時(shí)又有兩人主動(dòng)參加，使實(shí)際51參加“義務(wù)勞動(dòng)”的人數(shù)是余下人數(shù)的，原計(jì)劃抽調(diào)多少人參加“義務(wù)勞動(dòng)”？3=2÷×1=40×5=8(人)答：原計(jì)劃抽調(diào)8人參加“義務(wù)勞動(dòng)”。1[技法點(diǎn)睛]題目中的“”是以全班人數(shù)為單位“1”，而“實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)的人51數(shù)是余下人數(shù)的”是以余下人數(shù)為單位“1”。根據(jù)這句話，你能知道實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)3的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾嗎？如果能夠理解得出實(shí)際參加義務(wù)勞動(dòng)的人數(shù)占全班人數(shù)的幾分之幾，這題就能夠獨(dú)立解決了。2例3玩具廠三個(gè)車(chē)間共同做一批玩具。第一車(chē)間做了總數(shù)的，第二車(chē)間做了16007個(gè)，第三車(chē)間做的個(gè)數(shù)是一、二車(chē)間總和的一半，這批玩具一共有多少個(gè)？[完全解題]解法一：第三車(chē)間是一、二車(chē)間總和的一半，那么第三車(chē)間的個(gè)數(shù)是三個(gè)車(chē)間總數(shù)的。8=1600÷=4200(個(gè))答：這批玩具一共有4200個(gè)。加上第二車(chē)間的（1600×=800)，那么，我們可以理解為“第三車(chē)間做了，又做了800個(gè)?！?2400÷7)÷(1--×)=4200(個(gè))答：這批玩具一共有4200個(gè)。[技法點(diǎn)睛]“第三車(chē)間做的個(gè)數(shù)是一、二車(chē)間總和的一半”，這一句話可以用上面兩種方法來(lái)轉(zhuǎn)換單位“1”，從而明確統(tǒng)一的“1”后進(jìn)行解答。1例4五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和的多18，這五個(gè)偶4[完全解題]五個(gè)連續(xù)偶數(shù)：A、B、C、D、E，中間一個(gè)數(shù)C是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，也就是說(shuō)“C是五個(gè)數(shù)之和的”，還可以說(shuō)“C是A與E之和的”。那么，“第三個(gè)數(shù)比=35(厘米)第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和的141=18÷×5=36×5=1801多418”，可轉(zhuǎn)換為“第三個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)的兩倍的1多4答：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是180。[技法點(diǎn)睛]如果我們以五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和作為單位“1”，那么第三個(gè)數(shù)占總和的幾分之幾，第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的和占總和的幾分之幾？你能做出這道題嗎？例5甲、乙兩組共有54人，甲組人數(shù)的與乙組人？和乙組人數(shù)的相等?！边@句話，我們可以改寫(xiě)成下面的等式：甲組人數(shù)×=乙組人數(shù)×根據(jù)乘法交換率，我們可以認(rèn)為甲組人數(shù)是，乙組人數(shù)是(×=答：甲組比乙組少6人。[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯鸱謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這種類型的關(guān)鍵句。一般情況下，我們可以先根據(jù)關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化出甲、乙兩數(shù)之比來(lái)例6一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是130厘米。如果長(zhǎng)增加號(hào)，寬減少，得到新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：寬=:=×=7：67=65×=30(厘米)答：原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是35厘米，寬是30厘米。1例7學(xué)校圖書(shū)館原有文藝書(shū)和科技書(shū)共5400本，其中科技書(shū)比文藝書(shū)少，最近又5買(mǎi)來(lái)一批科技書(shū)，這時(shí)科技書(shū)和文藝書(shū)本數(shù)的比是9：10。圖書(shū)館買(mǎi)來(lái)科技書(shū)多少本？[完全解題]根據(jù)題意，題目中的科技書(shū)的本數(shù)在變化，而文藝書(shū)的15400÷(11)59=5400÷5=3000(本)根據(jù)“這時(shí)科技書(shū)和文藝書(shū)本數(shù)的比是9：10”，我們以“文藝書(shū)3000本”為條件求3000÷10×9＝2700(本)最后用現(xiàn)在科技書(shū)2700本減去原來(lái)科技書(shū)本數(shù)，求出原來(lái)科技書(shū)多少本？15答：圖書(shū)館買(mǎi)來(lái)科技書(shū)300本。[技法點(diǎn)睛]在一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無(wú)法確定，為解題增加了難度。這種情況，我們要善于發(fā)現(xiàn)其中的不變量，抓住不變量進(jìn)行分析。有的時(shí)候，可以先求出不變量，然后利用其作為中間條件進(jìn)行解答。1223242乙錢(qián)數(shù)和”這個(gè)不變量，把它作為單位“1”，那么“甲、乙原來(lái)錢(qián)數(shù)的比是3：4”，轉(zhuǎn)化為“甲原來(lái)的錢(qián)數(shù)占兩人總錢(qián)數(shù)的”。“這時(shí)甲的錢(qián)數(shù)是乙的”，可轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)在1甲的錢(qián)數(shù)占兩人錢(qián)數(shù)總和的”。根據(jù)題目所說(shuō)“甲給乙50元”，可知甲原來(lái)的錢(qián)比現(xiàn)答：甲原來(lái)有225元，乙原來(lái)有300元。[技法點(diǎn)睛]在一些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題當(dāng)中，會(huì)出現(xiàn)一些變化量，造成題目中單位“1”的量無(wú)法確定，這種情況下，我們可以以不變量作為單位“1”，轉(zhuǎn)換題中的關(guān)鍵句，統(tǒng)一單位“1”然后再進(jìn)行解答。想一想：如果以乙現(xiàn)在的錢(qián)比原來(lái)多50元，找出對(duì)應(yīng)分率來(lái)解答，例9兩種商品的價(jià)格比是7：3，如果它們的價(jià)格都上漲70元，那么他們的價(jià)格比是但是我們可以發(fā)現(xiàn)，由于兩種商品漲價(jià)幅度相同，所以漲價(jià)后兩種商品的價(jià)格差不變。我們可以把價(jià)格差這個(gè)不變量作為單位“1”。那么，“甲、乙兩種商品的價(jià)格比是7：3”，轉(zhuǎn)化為“原來(lái)甲的價(jià)格相當(dāng)于價(jià)格差的“它們的價(jià)格之比是7：4”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)在甲的價(jià)格相當(dāng)于價(jià)格差的7=70÷=120(元)7120×=210(元)4答：甲商品原來(lái)的價(jià)格是210元。[技法點(diǎn)睛]抓住不變的量作為單位“1”，這樣題目中就有了統(tǒng)一的單位“1”，就能夠順利地分析解答問(wèn)題啦！例10一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子、分母之和為49，分子加上4，分母減去4后，得到新的3分?jǐn)?shù)可以約簡(jiǎn)為，求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。43且根據(jù)“新分?jǐn)?shù)約簡(jiǎn)為”可知新分?jǐn)?shù)分子、分母之比為3:4，我們可以先求出現(xiàn)在分子、4那么，原來(lái)分子、分母可以逆推出來(lái)。21－4＝17答：原來(lái)的分?jǐn)?shù)是。[技法點(diǎn)睛]實(shí)際上本題的關(guān)鍵在于分子和分母的和沒(méi)有變化，我們就可以以分子和分母的和49作為單位“1”，根據(jù)現(xiàn)在分子和分母分別所占的分率求出現(xiàn)在的分子和分母即可。創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！57求原來(lái)這個(gè)分?jǐn)?shù)是()。2．某工廠男職工比全廠職工總數(shù)的多60人，女職工是男職工人數(shù)的，這個(gè)工廠A．100B．300C．4003．學(xué)校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)講座，聽(tīng)眾中每2個(gè)人中有1個(gè)六年級(jí)學(xué)生，每4個(gè)人中有1個(gè)五年級(jí)學(xué)生，每6個(gè)人中有1個(gè)四年級(jí)學(xué)生，還有5位是教師。這次講座共有聽(tīng)眾()A．55B．60C．1204．學(xué)校有故事書(shū)占全校圖書(shū)的，又買(mǎi)進(jìn)400本故事書(shū)，這時(shí)故事書(shū)占總數(shù)的。原A．2400B．2000C．80015這時(shí)科技書(shū)占總數(shù)的。又買(mǎi)來(lái)科技書(shū)本。2．有一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。那么這堆糖3．一堆煤，已燒的噸數(shù)和未燒的噸數(shù)比是1：5，如果再燒120噸，已燒的噸數(shù)是未燒的噸數(shù)的，這堆煤有噸。4．甲、乙兩個(gè)書(shū)架，甲書(shū)架存書(shū)的相當(dāng)于乙書(shū)架存書(shū)的，甲書(shū)架比乙書(shū)架多存書(shū)120本，兩個(gè)書(shū)架共有存書(shū)——本。2．三個(gè)分?jǐn)?shù)的和是,第一個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的，第二數(shù)個(gè)是第三個(gè)數(shù)的，三個(gè)3423第三節(jié)逆推問(wèn)題及其解法探究目標(biāo)1．正確理解逆向思維的應(yīng)用題，學(xué)會(huì)反向思考。2.掌握解方程法、倒推法和表格法解決逆推問(wèn)題。探究過(guò)程參與一下”做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！也經(jīng)常出現(xiàn)這種需用逆向思維解決的應(yīng)用題。一般情況下比較簡(jiǎn)單的可采用方程解，特殊情況下，我們采用逆推法反而比較容易解答，有些還可以借助表格進(jìn)行逆推。例1甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的給乙后，乙再拿出現(xiàn)有存款的甲甲1乙360－150＝210180＋180=4現(xiàn)在甲、乙都是180元，和是360元。那么乙拿出后是180元，乙拿出之前有存款：180÷（1－)＝240(元)，這時(shí)甲有存款360－240＝120(元)，即甲拿出后剩下15元，那么甲拿出之前(即甲原有存款)存款為：5155360－150＝210(元)答：甲原有存款150元，乙原有存款210元。[技法點(diǎn)睛]這道題利用了表格來(lái)進(jìn)行推斷，步驟比較清析。今后在解決類似問(wèn)題時(shí)，大家可以借用表格來(lái)理清自己的思路。1例2山頂有棵桃樹(shù)，一只猴子去偷吃桃子，第一天偷吃了，以后8天，分別偷了9當(dāng)天現(xiàn)有桃子的9當(dāng)天現(xiàn)有桃子的12采用逆推法，根據(jù)第九天偷，剩下10個(gè)桃子，可求出第八天后剩下的2122如此類推，可分別求出第七天后，第六天后，……,第一天后以及原來(lái)的桃子個(gè)數(shù)：13141519例3一堆西瓜，第一次賣(mài)出總數(shù)的又4個(gè)，第二次賣(mài)出余下的又2個(gè)，第三次42121[完全解題]根據(jù)第三次賣(mài)出余下的又2個(gè)，還剩2個(gè)，可求出第二次賣(mài)出余下的21根據(jù)第二次賣(mài)出余下的根據(jù)第二次賣(mài)出余下的12又2個(gè)，還剩8個(gè)(上面所求的)，可以求出第一次余下的個(gè)12根據(jù)第一次賣(mài)出總數(shù)的1又4個(gè)，還剩20個(gè)(上一步所求出的)，可以求出原有西瓜的414答：這堆西瓜共有32個(gè)。[技法點(diǎn)睛]本題是用典型的倒推法來(lái)解答的，在分步倒推時(shí)借助線段圖幫助[完全解題]根據(jù)題意，這本書(shū)的總頁(yè)數(shù)為單位“1”，我們可以設(shè)這本書(shū)共有x頁(yè)。那么第一天看的頁(yè)數(shù)為x＋16，第二天看的頁(yè)數(shù)為x－2。根據(jù)“第一天看的頁(yè)數(shù)＋第二天看的頁(yè)數(shù)＋剩下的88頁(yè)＝這本書(shū)總頁(yè)數(shù)”來(lái)列方程：x＋16＋x－2＋88＝x7x＋102＝x7[技法點(diǎn)睛]我們?cè)诮獯饝?yīng)用題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到逆解的題目，我們可以選擇用方程解答，對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也不例外。在列方程解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：其一，我們一般設(shè)單位“1”為x；其二，找準(zhǔn)等量關(guān)系式來(lái)列方程。1例5某校五年級(jí)共有學(xué)生152人，選出男生的和5名女生參加科技小組，剩下的由于題目中男生人數(shù)是單位“1”，那么可以設(shè)男生人數(shù)為x人，那么女生人數(shù)為(152-x)人。根據(jù)“剩下男、女生人數(shù)相等”，我們可以列方程來(lái)解答：1x－x＝152－x－5x＝147－xx＝147答：五年級(jí)男生有77人，女生有75人。[技法點(diǎn)睛]根據(jù)剩下的男、女生人數(shù)相等，我們可以推出，原來(lái)女生人數(shù)相當(dāng)于男生1那么，如果男生有x人，則女生人數(shù)為(x＋5)人。根據(jù)“男生人數(shù)＋女生人數(shù)-=[完全解題]題目中存在甲、乙兩班人數(shù)兩個(gè)單位“1”，我們假設(shè)其中一個(gè)班的人數(shù)為x，另一個(gè)班的人數(shù)可以用(62－x)表示，并且根據(jù)“乙班人數(shù)的－2＝甲班人數(shù)的”設(shè)甲班有x人參加科技小組活動(dòng)，乙班有(62－x)人參加科技小組活動(dòng)。x＝(62－x)×-2x＋x＝13答：甲班有30人參加科技小組活動(dòng)，乙班有32人參加科技小組活動(dòng)．創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！11．小英三天看完一本故事書(shū)，第一天看了全書(shū)的還少4頁(yè)，第二天看了全書(shū)剩下的31還多14頁(yè)，第三天看了90頁(yè)。這本故事書(shū)共有()頁(yè)。2A．222B．306C．61253A．400B．140C．36013．甲、乙兩人各有錢(qián)若干，已知甲的錢(qián)數(shù)是乙的4倍，當(dāng)甲花去后，又花去余下的31,如果這時(shí)甲給乙7元錢(qián)，甲、乙兩人的錢(qián)數(shù)正好相等。甲原來(lái)有()元錢(qián)。3A．72B．108C．45A．80B．60C．7515——2．某個(gè)商店買(mǎi)進(jìn)兩筐蘋(píng)果共200千克，如果從第一筐中取出放到第二筐中，然后再?gòu)牡诙鹬腥〕龇湃氲谝豢鹬?，這時(shí)兩筐一樣重，原來(lái)第一筐蘋(píng)果重千克。3．甲、乙兩人原有錢(qián)的比是3：4，后來(lái)甲又給乙50元，這時(shí)甲的錢(qián)數(shù)是乙的，原4．甲、乙兩堆煤共140噸，當(dāng)甲堆運(yùn)走，乙堆運(yùn)走10噸時(shí)，甲、乙兩堆煤的噸數(shù)1．小販把他所有的西瓜的又半個(gè)賣(mài)給第一位顧客，把余下西瓜的又半個(gè)賣(mài)給第二1位顧客，這樣，他把所余西瓜的又半個(gè)賣(mài)給了以后的各位顧客，賣(mài)給第七個(gè)人以后，正22．有A、B、C、D、E五筐蘋(píng)果，各筐蘋(píng)果的數(shù)量不等，如果把B筐蘋(píng)果的一半搬入A筐內(nèi)，C筐蘋(píng)果的搬入B筐內(nèi)，D筐蘋(píng)果的搬入C筐內(nèi)，E筐蘋(píng)果的搬入D筐內(nèi)，最將一張正方形紙分成面積相等的兩部分。這張正方形紙對(duì)折后，得到圖2；將圖案沿對(duì)稱軸3對(duì)折，得到圖3。已知圖3所覆蓋桌面的面積占長(zhǎng)方形紙面積的，陰影部分面積為6平第四節(jié)工程問(wèn)題基本類型探究目標(biāo)理清工程問(wèn)題的解題思路，掌握工程問(wèn)題的特點(diǎn)，會(huì)根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式正確解答。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！工程應(yīng)用題屬于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一種類型，它是研究工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間關(guān)系的應(yīng)用題。在工程問(wèn)題中，常常把工作總量看作單位“1”，工作效率則用每天完成工作總量的幾分之幾來(lái)表示。例如，一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需20天完成，乙單獨(dú)做需25天完成。根據(jù)條件，我們可以把這項(xiàng)工程看作單位“1”，甲單獨(dú)做需20天完成，那么甲的工作效率就是每天完成這項(xiàng)工程的，同理，乙的工作效率就是。在解答工程問(wèn)題時(shí)，一般采用下面三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系式：工作效率×工作時(shí)間＝工作總量工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率111(+11÷(+99×2=)==119)工程問(wèn)題中講述的某項(xiàng)工程一般都未給出具體的數(shù)量，首先在解題時(shí)關(guān)鍵要把一項(xiàng)工程問(wèn)題的三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系式來(lái)列式解答。例1一條公路，甲獨(dú)修需24天完成，乙獨(dú)修需30天完成。甲、乙兩隊(duì)先合修若干天作總量÷工作效率＝工作時(shí)間”來(lái)解答。這里的工作量應(yīng)是單位“1”減去后來(lái)甲6天的工1-×6=[技法點(diǎn)睛]我們也可以根據(jù)“甲、乙合修的工作量十甲隊(duì)修6天的工作量＝1”用方+)x+×6＝1x=例2修一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)修20天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)修30天可以完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合修，中途甲隊(duì)休息2.5天，乙隊(duì)休息若干天，這樣一共14天才修完。乙隊(duì)休息了幾天？[完全解題]我們把這條公路看作單位“1”，可以分成兩部分：一部分由甲隊(duì)修，另一部分由乙隊(duì)修。根據(jù)題意，甲隊(duì)休息2.5天，說(shuō)明甲隊(duì)修了14－2.5－11.5(天)，可以先1剩下的就是乙隊(duì)修這條公路的幾分之幾：1-=404014-÷3=14－1241414[技法點(diǎn)睛]想一想：這題也可以用列方程來(lái)解答，你會(huì)做嗎？試一試。例3運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，甲在A倉(cāng)庫(kù)，乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又去幫助乙搬運(yùn)，最后同時(shí)搬完兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物。丙幫助甲搬運(yùn)了幾小時(shí)？[完全解題]我們可以先不考慮具體是怎樣搬運(yùn)的，可以先從總體上看，甲、乙、丙三人同時(shí)搬這兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，即兩個(gè)單位“1”，那么，我們可以先求出甲、乙、丙搬完貨12÷(+1=2÷4+)=8(小時(shí))根據(jù)題意，甲、乙、丙都搬運(yùn)8小時(shí)，甲在A倉(cāng)庫(kù)搬運(yùn)8小時(shí)，那么倉(cāng)庫(kù)貨物中有一部分是甲搬8小時(shí)的工作量，另一部分則是丙幫助甲搬了幾分之幾：1-×8=1最后我們根據(jù)丙在A倉(cāng)庫(kù)搬運(yùn)了，就可以求出丙幫助甲搬運(yùn)的小時(shí)數(shù)：5÷=3(小時(shí))答：丙幫助甲搬運(yùn)了3小時(shí)。例4一項(xiàng)工程，如果單獨(dú)做，甲需10天完工，乙需15天完工，丙需20天完工?，F(xiàn)在三人合做，中途甲先休息一天，乙再休息三天，而丙一直工作到完工為止。這樣一共用了[完全解題]根據(jù)“甲的工作量十乙的工作量十丙的工作量＝1”我們可以用方程來(lái)解。答：這樣一共用了6天。丙工作的天數(shù)一樣，那么，三人完成的工作量應(yīng)該是：1+×1+×3=1++3=1用完成的工作量除以效率和，就能求出一共用的天數(shù)：例5某市舉辦花展，新建了一個(gè)噴水池。單開(kāi)甲水管一小時(shí)可將噴水池注滿，單開(kāi)乙水管40分鐘可以將噴水池注滿，兩管同時(shí)開(kāi)10分鐘后，注入水4噸，噴水池能裝水1必須先求出4噸對(duì)應(yīng)的分率是該水池的幾分之幾，這就應(yīng)該運(yùn)用工程問(wèn)題的方法求出兩水325=×4÷=10(噸)例6加工一批零件，甲獨(dú)做需3天完成。乙獨(dú)做需4天完成。兩人同時(shí)加工，完成任[完全解題]我們可以仿照例5，先求出甲比乙多做的24個(gè)占這批零件的幾分之幾：=×171根據(jù)甲比乙多做了這批零件的，求出零件的總數(shù)：7124÷=168(個(gè))7[技法點(diǎn)睛]根據(jù)題意，我們先求出甲、乙兩人的工作效率比：甲、乙工效比為4：3．二人共同完成這批零件，那么兩人的工作量之比為4：3，即這批零件共有7份，甲完成了其中的4份，乙完成其中的3份，可以得出，到完成任務(wù)時(shí)，甲做了這批零件的，乙做了這批零件的EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(3),7)。那么，1=24÷7=168(個(gè))創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！1．一條公路，甲獨(dú)修需24天完成，乙獨(dú)修需30天完成。甲、乙兩隊(duì)合修若干天后，乙隊(duì)停工休息，甲隊(duì)繼續(xù)修了6天完成。甲隊(duì)修了()天。A.10B．16C．22后，乙隊(duì)調(diào)走，余下的甲隊(duì)在3天內(nèi)完成。乙隊(duì)挖了()天。3．一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。中途甲請(qǐng)假2天，乙請(qǐng)假若干天，從開(kāi)工到完成工程共用了4．一項(xiàng)工程，甲、乙合做6等。乙的工作效率是()。天完成了。單獨(dú)做，甲完成與乙完成所需的時(shí)間相1．兩列火車(chē)同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出?？燔?chē)行完全程需要20小時(shí)，慢車(chē)行完全程需要30小時(shí)，開(kāi)出15小時(shí)后兩車(chē)相遇。已知快車(chē)中途停留4小時(shí)，慢車(chē)中途停留——小時(shí)。12．某工程隊(duì)預(yù)計(jì)30天修完一條水渠，現(xiàn)有18人修12天后完成工程的，如果要提3前6天完工，還要再增加——人。3．修一條公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)單獨(dú)做要用24天，現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這條公路長(zhǎng)——米。4．輪船以相同的速度航行，從A城到B城需要3天，從B城到A城需要4天。小木筏從A城飄流到B城，需要——天。1．加工一批零件，甲獨(dú)做需3天完成，乙獨(dú)做需4天完成，兩人同時(shí)加工，完成任務(wù)2．加工一批零件，甲、乙合做2－1天可以完成。由甲先做16天，然后乙再做12天，2還剩下這批零件的沒(méi)有完成。已知甲每天比乙多加工3個(gè)零件，這批零件共有多少個(gè)？53．兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行。經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇后，甲車(chē)?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)到第五節(jié)工程問(wèn)題典型題例探究目標(biāo)1．體驗(yàn)一些典型的工程問(wèn)題的探究過(guò)程，加深對(duì)互程問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，抓住本質(zhì)特點(diǎn)，總結(jié)出工程應(yīng)用題的解題規(guī)律。2．引導(dǎo)探討和工程問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的綜合性問(wèn)題，滲透靈活應(yīng)用工程問(wèn)題的解題規(guī)律的意識(shí)，提高解答工程二奶題的能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！要學(xué)會(huì)運(yùn)用常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，如假設(shè)、轉(zhuǎn)化、替換法等來(lái)幫助自己解題。比如說(shuō)，有的題目中講述的是兩人合做，我們可以假設(shè)成獨(dú)做的形式來(lái)解題，有時(shí)候甲做的工作可以替換成乙做。為了解題的方便，工作的先后順序、工作方式可以改變，這種改變，不會(huì)影響問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和解題的結(jié)果。有些稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如行程問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)也是工程問(wèn)題，我們要善于抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，把它們看做工程問(wèn)題來(lái)解；有些稍復(fù)雜的應(yīng)用題是包含行程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)問(wèn)題與工程問(wèn)題的綜合性題目，需要我們能認(rèn)真分析，綜合運(yùn)用各種方法來(lái)進(jìn)行解答，有時(shí)也可以借助比和比例的方法來(lái)幫助解答。例1甲、乙兩隊(duì)合做工程，24天完成。如果甲隊(duì)做6天，乙隊(duì)做4天，只能完成工15解答，我們可以把他們倆獨(dú)做變成合做，如右圖：1甲、乙兩隊(duì)合做4天，甲隊(duì)再做2天，一共完成了。由于效率和已知，這樣我們就5×4=-=÷2=答：甲隊(duì)單獨(dú)完成工程需60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成工程需40天。例1一項(xiàng)工程，甲先單獨(dú)做2天，然后與乙合做7天，這樣才完成全部工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙單獨(dú)做，需要多[完全解題]如下圖，根據(jù)題意，我們可以得出甲工作(2＋7)＝9(天)，乙工作7天一12根據(jù)甲、乙工效的比2：3，可以知道，完成同樣的工作量，甲、乙所用的時(shí)間比是3：22，也可以理解成完成同樣的工作量，乙所用的時(shí)間相當(dāng)于甲的。那么題目中甲9天的工3作量可以替換乙工作的天數(shù)為：29×=6(天)3這樣，當(dāng)完成工程的一半時(shí)，就可以看成乙用7＋6＝13(天)一共做的，完成工程的一半要用13天，那么乙完成這項(xiàng)工程的天數(shù)也就能求出來(lái)了。13×2＝26(天)2[技法點(diǎn)睛]想一想：根據(jù)完成同樣的工作量。乙所用的時(shí)間相當(dāng)于甲的，可以把3乙做7天的工作量替換成甲工作，你利用這種思路再獨(dú)立解答一下。例3一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12小時(shí)完成，乙獨(dú)做需15小時(shí)完成，丙獨(dú)做需18小時(shí)完成。如果先由甲工作1小時(shí)，然后由乙接替甲工作1小時(shí)，再由丙接替乙工作1小時(shí)，再由[完全解題]甲、乙、丙輪流工作1小時(shí)，也就是3小時(shí)，我們可以看做一個(gè)循環(huán)，先看看完成這項(xiàng)工程大約需幾次循環(huán)：=1÷=4(次)可以得出，完成這項(xiàng)工程需4個(gè)多循環(huán)，我們可以先求出4個(gè)循環(huán)的工作量，剩下的工1－()×4＝1-=-=-=14×3＋1＋1＋0.5＝14.5(小時(shí))答：完成項(xiàng)工程，一共需用．14.5小時(shí)。例4一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入的水量是例定的。打開(kāi)甲管，8小時(shí)可以將滿池水放空，打開(kāi)丙管，12小時(shí)可將滿池水放空。如果打開(kāi)甲、乙兩根水管，4小時(shí)可以將水放空。如果打開(kāi)乙、丙兩根水管，要幾小時(shí)方能把滿池水放空？[完全解題]根據(jù)題意，解答這題其實(shí)應(yīng)考慮滲水量的問(wèn)題，我們不妨假設(shè)每小時(shí)的滲水量為a，那么甲管每小時(shí)排水量為a(為一池水的)，丙管每小時(shí)排水量為：+a，乙管每小時(shí)排水量為：+a－(＋a)=-=那么乙、丙兩管每小時(shí)排水量為：其中“a”可以把每小時(shí)滲水量排出，即幾小時(shí)滲入的水和幾小時(shí)排出的水正好相等。5因此，只要求單位“1”里有幾個(gè)，即可求出幾小時(shí)把水排空：答：要4詈小時(shí)方能把滿池水放空。例5客車(chē)從甲站開(kāi)往乙站需要8小時(shí)，貨車(chē)從乙站開(kāi)往甲站需要12小時(shí)一兩鮞車(chē)同時(shí)從兩站相對(duì)開(kāi)出，據(jù)中心點(diǎn)39千米處相遇。甲、乙兩站相距多[完全解題]這道題是有關(guān)行程方面的問(wèn)題，但它實(shí)際上需用工程問(wèn)題的方法來(lái)解答。39÷(×-)1=39÷=390(千米)答：甲、乙兩站相距390千米。[技法點(diǎn)睛]本題也可以用兩車(chē)速度比的方法來(lái)解答，你自己試一試。例6兩枝粗細(xì)、長(zhǎng)短都不同的蠟燭，長(zhǎng)的一枝可以點(diǎn)4小時(shí)，短的可以點(diǎn)6小時(shí)，將它們同時(shí)點(diǎn)燃，兩小時(shí)后，兩枝蠟燭所余下的長(zhǎng)度正好相等。原來(lái)短蠟燭的長(zhǎng)度是長(zhǎng)蠟燭的[完全解題]根據(jù)題意，我們可以用工程問(wèn)題的方法來(lái)思考。把長(zhǎng)、短兩枝蠟燭分別看作單位“1”，每小時(shí)各自燃燒自己的、，那么兩小時(shí)后，長(zhǎng)蠟燭剩下自己的，短蠟2燭剩下自己的。3由此，根據(jù)兩枝蠟燭所余下的長(zhǎng)度正好相等得出：長(zhǎng)蠟燭的一短蠟燭的:=×=4：333÷4=43答：原來(lái)短蠟燭的長(zhǎng)度是長(zhǎng)蠟燭的。4創(chuàng)新訓(xùn)練檢測(cè)一下自己的能耐吧，你一定很棒！91．一項(xiàng)工程，兩隊(duì)合做每天能完成全部工程的。甲隊(duì)單獨(dú)做3天，乙隊(duì)再單獨(dú)做57天后，可以完成全部工程的。如果全改成乙隊(duì)獨(dú)做，()天可以完成。8A．25B．10C．152．某項(xiàng)工程由甲先單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成。如果兩人合做，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙單獨(dú)完成，那么還需要()天。A．112B．84C．56由乙隊(duì)接著做，共用35天完成了任務(wù)。甲隊(duì)做了()天。A．20B．15C．204．一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)6小時(shí)相遇。相遇后兩車(chē)以原速度繼續(xù)前進(jìn)，客車(chē)又用4小時(shí)才到達(dá)乙地。貨車(chē)還要行()小時(shí)才能到達(dá)甲地。A．9B．15C．111．一項(xiàng)工作，如果單獨(dú)做，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成?，F(xiàn)在合做2天后，剩下的由乙繼續(xù)單獨(dú)做，剛好在規(guī)定的時(shí)間完成。若合做，完成這項(xiàng)工程需要天。2．甲、乙兩隊(duì)合做一項(xiàng)工程，20天可以完成。現(xiàn)在甲隊(duì)做6天，乙隊(duì)做8天后，完成這項(xiàng)工程的。兩隊(duì)單獨(dú)做完全工程各需要天。3．一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12小時(shí)，乙獨(dú)做需18小時(shí)，如果甲先做1小時(shí)，然后乙再做1小時(shí)，再由甲接替做1小時(shí)……兩人如此交替工作，完成任務(wù)時(shí)共用小時(shí)。4．一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)單獨(dú)做6天可以完成。甲隊(duì)3天的工作量，乙隊(duì)要4天完成。兩隊(duì)合做了2天后由乙隊(duì)獨(dú)做，乙隊(duì)還需——天才能完成。11．甲、乙、丙合修一段圍墻。甲、乙合修6天修好圍墻的，乙、丙合修2天修好余31下的，剩下的三人又合修5天才完工。共得到報(bào)酬180元，按個(gè)人完成的工作量的多少42．蓄水池有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開(kāi)甲管需要3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)；要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需要6小時(shí)。1現(xiàn)在池內(nèi)有池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序，輪流各開(kāi)1小時(shí)，多63．(第八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽小學(xué)組復(fù)賽試題)甲、乙兩人從A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米／小時(shí)，中間三分之一路程的行走速度是4.5千米／小時(shí)，最后三分之一路程的行走速度是4千米／小時(shí)；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小時(shí)，后二分之一路程的行走速度是4千米／小時(shí)。已知甲比乙早到30秒，A地到B地本章測(cè)試卷1．甲數(shù)是乙數(shù)的丙是乙數(shù)的倍，甲數(shù)是丙數(shù)的。2．某班男生人數(shù)的等于女生人數(shù)的，男生人數(shù)占全班人數(shù)的。13．一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少，要使它的面積不變，寬應(yīng)增加。6——4．把甲班的人數(shù)的調(diào)入乙班后，兩班人數(shù)相等，原來(lái)乙班人數(shù)是甲班人數(shù)的。15．把一個(gè)正方形的一邊減少，另一邊增加2米，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，它與原來(lái)正方形5面積相等。原來(lái)正方形面積是——。6．有甲、乙兩桶水，把甲中的倒入乙后，這時(shí)兩桶的重量之比是1：2，那么原來(lái)兩桶水重量之比是——。1．一件大衣如賣(mài)140元，可賺40%，如賣(mài)120元，可賺()。A.20%B．25%C．30%2．一水池有3根進(jìn)水管，要灌滿一池水，單開(kāi)A管需5小時(shí)，單開(kāi)B管需6小時(shí)，單開(kāi)C管需10小時(shí)?，F(xiàn)在空池，按A、B、C、A……的順序各打開(kāi)1小時(shí)注水。水池注滿時(shí)，打開(kāi)的是()。A.A管B．B管C．C管3．甲、乙兩車(chē)從A、B兩地相向而行，4小時(shí)后相遇，繼續(xù)前進(jìn)，甲車(chē)又用3小時(shí)到達(dá)B地時(shí)，乙車(chē)還需()小時(shí)到達(dá)A地。A．3B．53C．234．某人上班時(shí)步行，回家時(shí)乘車(chē)，在路上一共用1.5小時(shí)，如果上、下班全部乘車(chē)，全程只需0.5小時(shí)，如果上、下班都步行，全程需()小時(shí)。A.4B．2.5C．3.532．一項(xiàng)工程，由甲、乙合做12天可以完成?，F(xiàn)在由甲、乙合做4天后，余下的先由甲獨(dú)做10天，再由乙獨(dú)做5天，正好完成這項(xiàng)工程。求甲、乙單獨(dú)做各需多少天才能完成？123．甲、乙兩人原有錢(qián)的比是3：4，后來(lái)甲給乙60元，這時(shí)甲的錢(qián)是乙的234．甲、乙兩個(gè)容器共有藥水2000克，從甲中取出34,從乙中取出4,結(jié)果兩個(gè)容器5．有甲、乙、丙、丁四桶酒，現(xiàn)將乙中的并入甲，再把丙中的并入乙，把丁中的144第三章比—3—39,小兒子分得總數(shù)的19。該怎樣分呢？如果按照我們所學(xué)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法，將會(huì)出現(xiàn)17×2＝8.5只的情況。于是聰明的老人借來(lái)一只羊，這樣總數(shù)是181大兒子：18×二兒子：18×大兒子：18×二兒子：18×小兒子：18×1319=9(只)=6(只)=2(只)總數(shù)：9＋6＋2＝17(只)老人又把多出的1只還給了人家。這是古代有名的算術(shù)題。其實(shí)現(xiàn)在我們可以用比的方法加以解決。因此大兒子分得9份，二兒子分得6份，小兒子分得2份，一共是9＋6＋2＝17(份)，小兒子分得2×1＝2(只)。本章就是利用這種比的意義及按比例分配的方法要能積極動(dòng)腦，找準(zhǔn)題中各數(shù)量的比，求出各部分量占總數(shù)的幾分之幾。只要善于觀察和實(shí)踐，你將有新的收獲。第一節(jié)比的意義和性質(zhì)探究目標(biāo)1．掌握比的意義和比的基本性質(zhì)，知道比同除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。2.能靈活運(yùn)用比的意義及比的基本性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。3.提高學(xué)生的分析、綜合、概括的能力。探究過(guò)程參與一下“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，樂(lè)趣盡在其中哦！例一個(gè)容器內(nèi)已注滿水?，F(xiàn)有大、中、小三個(gè)球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中?，F(xiàn)在知道每次1從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的，第三次是第一次的2.5倍。求三個(gè)球3建議：1．找出三個(gè)球的體積，根據(jù)各自的體積寫(xiě)出三個(gè)球的體積比。2．分清每次溢出的水的體積與球的體積之間的關(guān)系。3．寫(xiě)出的比要化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。討論：1．設(shè)小球的體積為1份，這樣就可以根據(jù)第二次、第三次溢出的水的情況分別得出中球和大球的體積。2．第二次溢出的水是小球的3倍，在溢出水之前，容器中的水空了1份，所以中球的體積是3＋1＝4(份)。同樣，第三次的大球和小球也如此。證明：設(shè)小球的體積為1份，第一次把小球沉入水中，容器將溢出1份的水。第一次溢1出的水是第二次的，所以第二次溢出的水是3份。第二次是把小球取出，把中球沉入水3中的，所以中球的體積是3＋1＝4(份)。第三次溢出的水是第一次的2.5倍，所以第三次溢出的是2.5份，第三次是取出中球，把小球和大球一起沉入水中的，那么小球和大球的體積一共是2.5＋4＝6.5(份)，大球的體積就是6.5－1＝5.5(份)。所以，大、中、小三個(gè)球的體積比是：5.5：4：1＝112822。例1兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是3：1，而另一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是4：1。若把兩瓶酒精溶液混合，求混合液中酒精與水的體積之[完全解題]求混合液中酒精與水的體積之比是多少，只要求混合液中酒精與水分別是3水為所以混合液中酒精與水的體積之比為：答：混合液中酒精與水的體積之比是31：9。不能將一個(gè)瓶子的酒精看作3，水看作“1”，另一個(gè)瓶子的酒精看作4，水看作“1”。例2小軍行走的路程比小紅多,而小紅行走的時(shí)間卻比小軍多，求小軍與小紅141+4＝5(份)；小紅所用的時(shí)間比小軍多，即小軍所用的時(shí)間為10份，小紅所用的時(shí)間為10＋1＝11(份)。而路程除以時(shí)間即為速度，可先求出兩人的速度，所以小軍和小紅的速度=11：8答：小軍與小紅的速度比為11：8。[技法點(diǎn)睛]這是一道復(fù)比的題目，先要分別求出小軍和小紅的速度，再求出他們度比。為使解題方便，可以將比轉(zhuǎn)化成份數(shù)解答。例3甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的周長(zhǎng)相等，甲的長(zhǎng)與寬之比是3：2，乙的長(zhǎng)與寬之比是7：5，求甲與乙的面積之比。[完全解題]甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相等，設(shè)每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2。甲長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為寬為乙長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2÷2×=EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(7),