2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第2節(jié)等差數(shù)列

第2節(jié)等差數(shù)列高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于

,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

,通常用字母d表示.定義表達(dá)式為

等差中項若三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則A叫做a與b的等差中項,且有2A=

同一個常數(shù)公差an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù))a+b[教材知識深化]1.在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項(有窮等差數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項,即{an}成等差數(shù)列?an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的“等差中項法”2.任何兩個實數(shù)都有等差中項,且等差中項是唯一的.2.等差數(shù)列的有關(guān)公式公差d的幾何意義是點(1,a1),…,(n,an),…所在直線的斜率通項公式an=a1+(n-1)d前n項和公式

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣:an=am+

(m,n∈N*).(2)若{an}是等差數(shù)列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.

但若am+an=ap+aq,卻不一定有m+n=p+q特別地,當(dāng)m+n=2p時,am+an=2ap.

ap為am和an的等差中項(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.在等差數(shù)列中下標(biāo)成等差的項組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列(n-m)dmd

等差等差自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p,則am+an=ap.(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(3)“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)”.(

)×√×2.(人教A版選擇性必修第二冊4.2.2節(jié)例8改編)某劇場有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多2個座位,最后一排有60個座位,則該劇場總共的座位數(shù)為

.820

3.(人教A版選擇性必修第二冊習(xí)題4.2第6題改編)已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100,則數(shù)列{an+bn}的前100項的和為

.6000

4.(人教B版選擇性必修第三冊5.2.2節(jié)練習(xí)B第4題改編)已知一個凸n邊形內(nèi)角的度數(shù)按從小到大構(gòu)成等差數(shù)列,且最小角為40°,公差為20°,則n=

.3

B

研考點?精準(zhǔn)突破考點一等差數(shù)列的基本量運算例1(1)(2024·山東聊城模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a5=5,a1+S11=67,則a3a10是{an}中的(

)A.第30項 B.第36項C.第48項 D.第60項A

D

(3)(2020·全國Ⅱ,理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊C

[對點訓(xùn)練1](1)(2024·新高考Ⅱ,12)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=

.95

(2)(2023·全國乙,文18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=11,S10=40.①求{an}的通項公式;②求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

考點二等差數(shù)列的判定與證明

考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1

等差數(shù)列項的性質(zhì)例3(1)(2023·全國甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15C

(2)(2024·河北邢臺模擬)已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,則a2025-3b2025=

.2028解析

因為數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{an-3bn}是等差數(shù)列.設(shè){an-3bn}的公差為d,又a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=5,解得d=1,所以a2

025-3b2

025=4+2

024=2

028.考向2

等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例4(1)(2024·廣東深圳模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=1,S8=4,則a17+a18+a19+a20=(

)A.7 B.8

C.9

D.10C解析

在等差數(shù)列{an}中,S4=1,S8=4,則S8-S4=3,由等差數(shù)列性質(zhì)知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,所以S20-S16=1+(5-1)×2=9,即a17+a18+a19+a20=9.(2)已知等差數(shù)列{an}共有2n+1項,其中奇數(shù)項之和為290,偶數(shù)項之和為261,則an+1的值為(

)A.30 B.29

C.28

D.27B

A

12150

D

[對點訓(xùn)練3](1)(2024·山東煙臺模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a5+a8=30,S10=120,則S14=(

)A.156 B.252

C.192 D.200B

B

考向3

等差數(shù)列前n項和的最值問題例5設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}