北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，函數(shù)定義域為，不具奇偶性，A不是；對于B，，B不是；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，函數(shù)定義域為，，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，D是.故選：D.3.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，所以的零點在區(qū)間內(nèi).故選：A.4.某校高一年級有名男生，名女生.為了解高一學(xué)生研學(xué)路線的選擇意向，采用分層抽樣的方法，從該校高一學(xué)生中抽取容量為的樣本進行調(diào)查，其中女生名，則的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，所以.故選：B.5.已知，，則實數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，因此實數(shù)的大小關(guān)系是.故選：B.6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于C，由，得，，C正確；對于B，由，，因此，B錯誤；對于D，由，得，，D錯誤.故選：C.7.已知函數(shù).若恒成立，則的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，不等式，依題意恒成立，而當(dāng)時，，當(dāng)且僅時取等號，因此，ABC不是，D是.故選：D.8.點聲源亦稱“球面聲源”或“簡單聲源”.已知點聲源在空間中傳播時，衰減量（單位：）與傳播距離（單位：）關(guān)系式為，其中為常數(shù).當(dāng)傳播距離為時，衰減量為；當(dāng)傳播距離為時，衰減量為.若，則約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意（）.故選：A.9.設(shè)函數(shù)的定義域為，開區(qū)間，則“，且，都有”是“在上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數(shù)在上是增函數(shù)，則且，都有，必要性成立；取函數(shù)，區(qū)間，顯然且，都有，而函數(shù)在上不單調(diào)，充分性不成立，所以“且，都有”是“在上是增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.10.已知函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則下列說法正確的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值【答案】D【解析】因為，當(dāng)時，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，對稱軸為，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，圖象如圖所示，由，得到或（舍），又在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，由圖知，，，所以選項A，B和C錯誤，選項D正確，故選：D.二、填空題.11.計算：=________________.【答案】【解析】因為.12.已知命題：若二次函數(shù)滿足，則在區(qū)間內(nèi)無零點.能說明為假命題的一個函數(shù)是__________________.【答案】（答案不唯一，，滿足時，或時，即可）【解析】令，由得到，當(dāng)時，假設(shè)在區(qū)間0,3內(nèi)有零點，則有①，不妨取，顯然滿足①式，此時，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間0,3內(nèi)有零點，故滿足題意，當(dāng)時，假設(shè)在區(qū)間0,3內(nèi)有零點，則有②，不妨取，顯然滿足②式，此時，令，得到，所以，滿足，但在區(qū)間0,3內(nèi)有零點，故滿足題意.13.已知的圖象經(jīng)過點，則__________；若方程有兩個不等實數(shù)根，滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題知，得到，所以，又方程有兩個不等實數(shù)根，則，又，得到，得到，由，得到或，所以.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為_______________.【答案】【解析】觀察圖象知，奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，不等式，當(dāng)時，不等式成立；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，所以不等式的解集為.15.函數(shù)，其中表示不超過a的最大整數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①的定義域為；②方程沒有實數(shù)根；③函數(shù)的值域為；④存在實數(shù)，使得當(dāng)且時，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是__________________．【答案】②③④【解析】對于①，當(dāng)時，，函數(shù)無意義，①錯誤；對于②，由，得，而，因此方程沒有實數(shù)根，②正確；對于③，函數(shù)，令，則，，，而，隨的增大而增大，則，，因此，函數(shù)的值域為，③正確；對于④，取，，，由，得，令，則，由，得，而，當(dāng)，取，此時，，，，都有，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是②③④.三、解答題.16.已知關(guān)于不等式的解集，集合．（1）求實數(shù)的值；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求實數(shù)的取值范圍．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分解：（1）由，得到，即，又因為關(guān)于不等式的解集，所以，解得，所以實數(shù)的值為.（2）選擇條件①，因為，，又，由圖知，解得.選擇條件②，因為，，又，即，由圖知，解得.17.某市在旅游旺季時，為應(yīng)對景區(qū)可能出現(xiàn)人流量過大的情況，規(guī)定：當(dāng)人流量達(dá)到景區(qū)最大承載量的時，將對該景區(qū)采取局部限流措施；當(dāng)人流量達(dá)到景區(qū)最大承載量的時，將對該景區(qū)采取完全限流措施.小明計劃假期去該市甲、乙、丙三個旅游景區(qū)旅行，他調(diào)查了甲、乙、丙三個旅游景區(qū)在去年同期天的限流措施情況，見下表：假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙三個景區(qū)限流情況相互獨立.（1）小明某天到甲景區(qū)旅游，估計小明遇到完全限流的概率；（2）小明任選兩天，分別到乙、丙兩景區(qū)游覽，估計小明在兩個景區(qū)至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；（3）小明計劃在一天內(nèi)從甲、乙、丙三個景區(qū)中選擇兩個景區(qū)，并分別在上午和下午游覽.若存在以下兩種情況之一，則不能完成游覽：（?。┰谏衔绲挠斡[中遇到局部限流，且下午的游覽中遇到完全限流；（ⅱ）在上午的游覽中遇到完全限流.請幫助小明制定游覽計劃，使他完成游覽的概率最大：上午游覽景區(qū)，下午游覽景區(qū).（從“甲、乙、丙”中選擇兩個填寫）解：（1）由數(shù)表知，天中，甲景區(qū)完全限流的天數(shù)是2，所以小明遇到完全限流的概率為.（2）由數(shù)表知，乙景區(qū)不限流的概率為，丙景區(qū)不限流的概率為，所以小明在兩個景區(qū)至少遇到一次限流的概率.（3）若小明上午選甲景區(qū)，下午選乙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選甲景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區(qū)，下午選甲景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區(qū)，下午選甲景區(qū)能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區(qū)，下午選乙景區(qū)能完成游覽的概率，而最大，即小明上午選甲景區(qū)，下午選丙景區(qū)能完成游覽的概率最大.18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）當(dāng)時，用函數(shù)單調(diào)性定義證明在區(qū)間上增函數(shù)；（3）若，，恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值.解：（1）函數(shù)，由，得，所以.（2）當(dāng)時，，任取，，由，得，則，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（3）不等式，依題意，，恒成立，而，恒有，則，又，因此，任取，，由，得，而，則，即，又，于是，則，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最小值是1.19.已知非空集合滿足如下三個性質(zhì)，則稱集合滿足性質(zhì)：①；②，；③，.（1）判斷下列集合是否滿足性質(zhì)？；.（只需寫出結(jié)論）（2）若集合滿足性質(zhì)，且存在，使得，求證：，，都有；（3）若集合滿足性質(zhì)，且，，，求所有的符合題意的集合.解：（1）對集合，當(dāng)，，但，令，解得，則集合不具有性質(zhì)，對于集合，顯然，滿足條件①，